以圓為背景的相似三角形的計(jì)算與證明

1、1以圓為背景的相似三角形的計(jì)算與證明【經(jīng)典母題】如圖Z13－1，DB為半圓的直徑，A為BD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，AC切半圓于點(diǎn)E，BC⊥AC于點(diǎn)C，交半圓于點(diǎn)F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的長(zhǎng)圖Z13－1經(jīng)典母題答圖解：如答圖，連結(jié)OE，設(shè)⊙O的半徑是R，則OE＝OB＝R.在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB＝＝15.AC2＋BC2∵AC切半圓O于點(diǎn)E，∴OE⊥AC，∴∠OEA＝90＝∠C，∴OE∥BC，∴△AEO∽△ACB，∴＝，∴＝

2、，解得R＝，OEBCAOABR915－R15458∴AO＝AB－OB＝15－R＝.758【思想方法】利用圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑構(gòu)造直角三角形，從而得到相似三角形，利用比例線(xiàn)段求AO的長(zhǎng)【中考變形】1如圖Z13－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90，O是AC邊上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點(diǎn)D，連結(jié)OD.(1)求證：△ADO∽△ACB；(2)若⊙O的半徑為1，求證：AC＝ADBC.證明：(1)∵AB是⊙O的切線(xiàn)，∴O

3、D⊥AB，圖Z13－23直線(xiàn)CD交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.(1)求證：直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)；(2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值圖Z13－4中考變形3答圖解：(1)證明：如答圖，連結(jié)DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB.又∵CO＝CO，OD＝OB，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠CDO＝∠CBO＝90，即OD⊥CD.又∵點(diǎn)D在⊙O上，∴直線(xiàn)CD是⊙O的切

4、線(xiàn)；(2)由(1)知，△COD≌△COB，∴CD＝CB.∵DE＝2BC，∴DE＝2CD.∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO，∴＝＝＝.ADOCDECEDEDE＋CD234[2016廣東]如圖Z13－5，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，∠ABC＝30.過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線(xiàn)BD，與CA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D，與半徑AO的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E.過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)AF，與直徑BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F.(1)求證：△ACF∽△DAE；(2)若S△AOC＝