拋物線的性質(zhì)歸納及證明

1、1拋物線的常見性質(zhì)及證明拋物線的常見性質(zhì)及證明概念焦半徑：拋物線上一點與其焦點的連線段；焦點弦：兩端點在拋物線上且經(jīng)過拋物線的焦點線段稱為焦點弦.性質(zhì)及證明過拋物線y2＝2px（p＞0）焦點F的弦兩端點為傾斜角為中點)(11yxA)(22yxB?為C(x0y0)分別過A、B、C作拋物線準線的垂線，垂足為A’、B’、C’.1.求證：①焦半徑焦半徑；②焦半徑焦半徑?cos12||1????ppxAF?cos12||2????ppxBF③＋＝

2、；④弦長弦長|ABAB|＝x1＋x2＋p=；特別地，特別地，當x1=x=x2(1|AF|1|BF|2p?2sin2p=90?)時，弦長時，弦長|AB||AB|最短，稱為通徑，長為最短，稱為通徑，長為2p2p；⑤△AOB⑤△AOB的面積的面積S△OABOAB＝?.?sin22p證明：根據(jù)拋物線的定義，|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋，p2p2|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p如圖2，過A、B引x軸的垂線AA

3、1、BB1，垂足為A1、B1，那么|RF|＝|AD|－|FA1|＝|AF|－|AF|cos?，∴|AF|＝＝|RF|1－cos?p1－cos?同理，|BF|＝＝|RF|1＋cos?p1＋cos?∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝p1－cos?p1＋cos?.2psin2?S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝|OF||y1|＋|OF||y1|＝(|y1|＋|y1|)121212p2∵y1y2＝－p2，則y1、y2異號，因此，|y1|＋|

4、y1|＝|y1－y2|CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyO?A1B1F圖23∴|AM|＝|EM|，|EC|＝|AD|∴|BE|＝|BC|＋|CE|＝|BC|＋|AD|＝|BF|＋|AF|＝|AB|∴△ABE為等腰三角形，又M是AE的中點，∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠【證法二】取AB的中點N，連結(jié)MN，則|MN|＝(|AD|＋|BC|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|，∴|MN|＝|AN|＝|BN|121212∴△ABM為直

5、角三角形，AB為斜邊，故∠AMB＝Rt∠.【證法三】由已知得C(－，y2)、D(－，y1)，由此得M(－，).p2p2p2y1＋y22∴kAM＝＝＝＝＝，同理y1－y1＋y22x1＋p2y1－y22y212p＋pp(y1－y2)y21＋p2p(y1－f(－p2y1))y21＋p2py1kBM＝py2∴kAMkBM＝＝＝＝－1py1py2p2y1y2p2－p2∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠.【證法四】由已知得C(－，y2)、D(－，y1