拋物線(xiàn)性質(zhì)歸納、證明和應(yīng)用

1、第1頁(yè)拋物線(xiàn)性質(zhì)歸納、證明和應(yīng)用拋物線(xiàn)是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于到定直線(xiàn)（定點(diǎn)在定直線(xiàn)外）的距離的點(diǎn)的軌跡，它是橢圓過(guò)渡到雙曲線(xiàn)的瞬間曲線(xiàn)，它只有一支（雙曲線(xiàn)有兩支），只有一條對(duì)稱(chēng)軸，沒(méi)有漸近線(xiàn)和對(duì)稱(chēng)中心，屬于無(wú)心曲線(xiàn)拋物線(xiàn)的焦半徑、焦點(diǎn)弦性質(zhì)豐富多彩，此外還有定點(diǎn)、定值、定弦、最值等問(wèn)題也值得探討，拋物線(xiàn)的許多性質(zhì)也是歷年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，這里就它的一些性質(zhì)加以歸納，說(shuō)明和證明，及其在歷年高考和模擬考試出現(xiàn)的典例一、焦半徑、焦點(diǎn)弦性質(zhì)如

2、圖，如圖，AB是過(guò)拋物線(xiàn)是過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px（p＞0）焦點(diǎn)）焦點(diǎn)F的弦，的弦，AD、BC是準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為是準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為D、C，M是CD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)、點(diǎn)、點(diǎn)B(x2，y2)，直線(xiàn)，直線(xiàn)AB交y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)K(0，y3)，則：則：⑴①y1y2＝－p2；②x1x2＝；③＋＝；p241y11y21y3④|AB|＝x1＋x2＋p＝（?為AB的傾斜角）；2psin2?⑤S△OAB＝

3、，S梯形ABCD＝..p22sin?2p2sin3?⑵＋＝；1|AF|1|BF|2p⑶∠AMB＝∠DFC＝Rt∠；⑷AM、BM是拋物線(xiàn)的切線(xiàn)；⑸AM、BM分別是∠DAB和∠CBA的平分線(xiàn)；⑹AM、DF、y軸三線(xiàn)共點(diǎn)，BM、CF、y軸三線(xiàn)共點(diǎn)；⑺A、O、C三點(diǎn)共線(xiàn)，B、O、D三點(diǎn)共線(xiàn)；⑻若|AF|：|BF|＝m：n，點(diǎn)A在第一象限，?為直線(xiàn)AB的傾斜角.則cos?＝；m－nm＋n⑼以AF為直徑的圓與y軸相切，以BF為直徑的圓與y軸相切；以

4、AB為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切.⑽MN交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q，則，Q是MN的中點(diǎn).K(0，y3)CMDB(x2，y2)ROF(，0)p2A(x1，y1)xyHGx＝－p2?NQ第3頁(yè)同理，|BF|＝＝|RF|1＋cos?p1＋cos?∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝.p1－cos?p1＋cos?2psin2?【證法三】極坐標(biāo)法，設(shè)拋物線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為?＝，則p1－cos?|AF|＝?1＝，|BF|＝?2＝＝.p1－cos?p1－cos(?＋?)p

5、1＋cos?∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝.p1－cos?p1＋cos?2psin2?⑤S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝|OF||y1|＋|OF||y1|＝(|y1|＋|y1|)121212p2∵y1y2＝－p2，則y1、y2異號(hào)，因此，|y1|＋|y1|＝|y1－y2|∴S△OAB＝|y1－y2|＝＝＝＝.p4p4(y1＋y2)2－4y1y2p44m2p2＋4p2p221＋m2p22sin?又∵|CD|＝|AB|sin?＝，

6、|AD|＋|BC|＝|AB|＝.2psin?2psin2?∴S梯形ABCD＝(|AD|＋|BC|)|CD|＝＝.12122psin?2psin2?p2sin3?【例1】（2001年新課程高考文）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線(xiàn)y2＝2x與過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，則＝??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

7、??????????????????????????????（）OA→OB→A.B.－C.3D.－33434【解】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－，故選B.OA→OB→p2434【例2】（2009年福建理）過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為45?的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，若線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為8，則p＝.【解】由性質(zhì)⑴得|AB|＝＝＝8，∴p＝＝4.2psin2?2psin245?812

8、2★⑵★⑵＋＝1|AF|1|BF|2p【證法一】由⑴x1x2＝，且|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋.p24p2p2∴＋＝＋＝＝1|AF|1|BF|1x1＋p21x2＋p2x1＋x2＋p(x1＋f(p2))(x2＋f(p2))x1＋x2＋px1x2＋p2(x1＋x2)＋p24＝＝＝x1＋x2＋pp24＋p2(x1＋x2)＋p24x1＋x2＋pp2(x1＋x2＋p)2p【證法二】由|AF|＝?1＝，|BF|＝?2＝＝.p1－cos?p1－