柯西施瓦茨不等式

1、安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文第1頁共18頁柯西施瓦茨不等式的應(yīng)用及推廣柯西施瓦茨不等式的應(yīng)用及推廣作者：查敏指導(dǎo)老師:蔡改香摘要摘要本文探討的是柯西施瓦茨不等式在不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的各種形式和內(nèi)容及其多種證明方法和應(yīng)用，并對(duì)其進(jìn)行了一定程度上的推廣.通過一系列的例題，反映了柯西施瓦茨不等式在證明相關(guān)的數(shù)學(xué)命題時(shí)可以使得解題方法得以簡(jiǎn)捷明快，甚至可以得到一步到位的效果，特別是在概率統(tǒng)計(jì)中的廣泛應(yīng)用.關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞CauchyS

2、chwarz不等式Minkowski不等式Holder不等式Hermite陣1引言引言柯西施瓦茨不等式在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用比較廣泛，是異于均值不等式的另一個(gè)重要不等式，靈活巧妙的運(yùn)用它，可以使一些較困難的實(shí)際問題得到比較簡(jiǎn)捷地解決，這個(gè)不等式結(jié)構(gòu)和諧，無論代數(shù)、幾何，都可以應(yīng)用.本文正是從實(shí)數(shù)域、微積分.內(nèi)積空間、概率空間以及矩陣分析這五個(gè)方面的內(nèi)容進(jìn)行證明并舉例說明其應(yīng)用，對(duì)實(shí)數(shù)域和微積分中的形式進(jìn)行了一定程度的推廣.2在實(shí)數(shù)域中的Cauc

3、hy不等式命題命題1設(shè)，則(12)iiabRin???（1）222111()()()nnniiiiiiiabab????????其中當(dāng)且僅當(dāng)（為常數(shù)）等號(hào)成立.(12)iibkain???k證明證明由則21()()0niiifxxabxR???????222111)(2)0nnniiiiiiiaxabxb?????????（由于因此上述不等式的判別式大于零，即：xR??2221114()4)()0nnniiiiiiiabab??????

4、??（易得（1）式成立.例1設(shè)求證(12...)iaRin???21212111()(nnaaanaaa???????（證明證明由不等式左邊的形式，很容易想到柯西不等式解之1212111)()nnaaaaaa???????（安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文第3頁共18頁赫爾德不等式中，當(dāng)時(shí)為柯西施瓦茨不等式，若將則可導(dǎo)出相22pq??n??應(yīng)的無窮不等式.由定理2可將定理1的冪指數(shù)進(jìn)行擴(kuò)充定理定理3若對(duì)任意的非負(fù)實(shí)數(shù)，，

5、且，則iiab111pq??pqR??1p???111111nnnppppppiiiiiiiabab???????????????????????????證明??????1=ppiiiiiiababab?????????????==pqiiiippqqiiiiiiababaabbab???????????????????由楊格不等式??????111nnnpppqqiiiiiiiiiiiabaabbab???????????????11

6、1111nnnppqpppiiiiiiiabab??????????????????????????????????????化簡(jiǎn)即得所要證得的不等式.還可將上述赫爾德不等式推廣到無限和不等式：推論推論1若對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)，有，則iiab11nniiiiab????????11111nnnpqpqiiiiiiiabab????????????????????下面將上命題1進(jìn)行推廣：引理引理1（算術(shù)幾何平均值不等式）設(shè)為個(gè)正數(shù)，則12naaa