知識講解 二項式定理(理)(提高)110

1、第1頁共13頁二項式定理二項式定理【學習目標學習目標】1理解并掌握二項式定理，了解用計數(shù)原理證明二項式定理的方法2會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題【要點梳理要點梳理】要點一：二項式定理要點一：二項式定理1.1.定義定義一般地對于任意正整數(shù)n都有：nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba???????????110)((Nn?)，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做nba)(?的二項展開式。式中的

2、rnrrnCab?做二項展開式的通項，用Tr1表示，即通項為展開式的第r1項：1rnrrrnTCab???，其中的系數(shù)rnC（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數(shù)，2二項式二項式(ab)n的展開式的特點：的展開式的特點：(1)項數(shù)：共有n1項，比二項式的次數(shù)大1；(2)二項式系數(shù)：第r1項的二項式系數(shù)為rnC，最大二項式系數(shù)項居中；(3)次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n字母a降冪排列，次數(shù)由n到0；字母b升冪排列，次數(shù)從0到n，

3、每一項中，a，b次數(shù)和均為n；3.3.兩個常用的二項展開式：兩個常用的二項展開式：①011()(1)(1)nnnrrnrrnnnnnnnabCaCabCabCb???????????????(Nn?)②122(1)1nrrnnnnxCxCxCxx??????????要點二、二項展開式的通項公式要點二、二項展開式的通項公式二項展開式的通項：1rnrrrnTCab??（nr210??）公式特點：①它表示二項展開式的第r1項，該項的二項式系數(shù)

4、是rnC；②字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標相同；③a與b的次數(shù)之和為n。要點詮釋：要點詮釋：（1）二項式(ab)n的二項展開式的第r1項rnrrnCab?和(ba)n的二項展開式的第r1項rnrrnCba?是有區(qū)別的，應用二項式定理時，其中的a和b是不能隨便交換位置的（2）通項是針對在(ab)n這個標準形式下而言的，如(a－b)n的二項展開式的通項是1(1)rrnrrrnTCab????（只需把－b看成b代入二項式定理）。要點三：二項式系數(shù)

5、及其性質要點三：二項式系數(shù)及其性質1.1.楊輝三角和二項展開式的推導。楊輝三角和二項展開式的推導。在我國南宋，數(shù)學家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》如下表，可直觀地看出二項式系數(shù)。第3頁共13頁2.2.利用賦值法進行求有關系數(shù)和。利用賦值法進行求有關系數(shù)和。二項式定理表示一個恒等式，對于任意的a，b，該等式都成立。利用賦值法（即通過對a、b取不同的特殊值）可解決與二項式系數(shù)有關的問題，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個

6、值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項等情況。設2012()()nnnfxaxbaaxaxax????????(1)令x=0，則0(0)nafb??(2)令x=1，則012(1)()nnaaaafab????????(3)令x=－1，則0123(1)(1)()nnnaaaaafab???????????(4)024(1)(1)2ffaaa??????(5)135(1)(1)2ffaaa?????3.利用二項式定理證明整除問題及余數(shù)的求

7、法：利用二項式定理證明整除問題及余數(shù)的求法：如：求證：98322???nn能被64整除（Nn?）4.證明有關的不等式問題：證明有關的不等式問題：有些不等式，可應用二項式定理，結合放縮法證明，即把二項展開式中的某些正項適當刪去(縮小)，或把某些負項刪去(放大)，使等式轉化為不等式，然后再根據(jù)不等式的傳遞性進行證明。①nxxn???1)1(；②22)1(1)1(xnnnxxn?????；（0?x）如：求證：nn)11(2??5.進行近似計算

8、：進行近似計算：求數(shù)的n次冪的近似值時，把底數(shù)化為最靠近它的那個整數(shù)加一個小數(shù)(或減一個小數(shù))的形式。當||x充分小時，我們常用下列公式估計近似值：①nxxn???1)1(；②22)1(1)1(xnnnxxn?????；如：求605.1的近似值，使結果精確到0.01；【典型例題典型例題】類型一、類型一、求二求二項展開式的特定項或特定項的系數(shù)項展開式的特定項或特定項的系數(shù)例1.求52322xx???????的二項式的展開式【思路點撥】按照