北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析ⅲ試題mth17042,mth17169

1、課程編號：MTH17042北京理工大學(xué)20142015學(xué)年第一學(xué)期2014.11.32013級數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析Ⅲ階段測驗(yàn)（一）試題1.設(shè)是中的調(diào)和函數(shù)，S是中任意的分片光滑閉曲面。????uuxyzvvxyz??3A3A求證：，其中和分別表示函數(shù)和沿S外法線方向的方SSvuudSvdSnn???????????AAun???vn???uv向?qū)?shù)。2.敘述正項(xiàng)級數(shù)斂散性的比較判別法和D’Alembert比值判別法，并利用前者證明后者。3.

2、判斷下列級數(shù)的斂散性：（1）（2）??331nnnnn????????311122nnnnn????????（3）（4）（5）??211ln1nnnn??????????????221sinsin1nnnn?????12nnn???4.設(shè)。又設(shè)廣義極限存在。求證：012nun???lnlnlimlnlnnnunLn????當(dāng)（含）時(shí)，級數(shù)收斂；1L??L???1nnu???當(dāng)（含）時(shí)，級數(shù)發(fā)散。1L??L???1nnu???5.研究級數(shù)

3、的斂散性，包括絕對收斂性和條件收斂性，其中是實(shí)參數(shù)。32sinlnnnnn?????6.設(shè)收斂，其中R0，求證：對一切，絕對收斂。1nnnaR?????xRR??1nnnnax???7.設(shè)，且有極限。求證：數(shù)列收斂，且。0nnb??1lim10nnnbnpb??????????????nblim0nnb???8.設(shè)存在，又設(shè)絕對收斂。求證：。limnnaA???1nnb???111limnknknnknabAb??????????（2）

4、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在其收斂域內(nèi)不一致收斂。??11lnnxnnn????六、（10分）設(shè)。????012nnfxxxn??????（1）求證：函數(shù)序列在中內(nèi)閉一致收斂；????nfx??0??（2）用兩種方法證明在內(nèi)不一致收斂。????nfx??0??七、（15分）（1）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)；????121112nnnnnx??????（2）求函數(shù)的Maclaurin級數(shù)展開式并確定收斂區(qū)間。????2ln1fxxx???八、（10分）設(shè)函

5、數(shù)在區(qū)間I內(nèi)定義，且，在區(qū)間I????nfxfx??12n??n???nfx內(nèi)一致連續(xù)；又設(shè)時(shí)關(guān)于x在I內(nèi)一致收斂于。求證：在區(qū)n??????nfx??fx??fx間I內(nèi)一致連續(xù)，且在區(qū)間I內(nèi)等度連續(xù)，即，使得????nfx00??????，只要，就有。nxxI??????xx??????????nnfxfx??????九、（10分）設(shè)函數(shù)序列在區(qū)間內(nèi)點(diǎn)態(tài)收斂于極限函數(shù)，且，????nfx??a????fxn?極限存在；又設(shè)當(dāng)時(shí)等度收斂