排列組合及概率統(tǒng)計

1、???第10講排列組合及概率統(tǒng)計基礎1排列組合及概率統(tǒng)計基礎考綱解析排列組合及概率論部分的內容是比較重要的，因為它很容易和別的部分的知識結合起來，例如條件概率或一些概率分布很容易運用在可靠性計算及圖、路徑和一些相應的算法問題上，所以在復習中一定要靈活掌握，從原理出發(fā)，活學活用，能夠根據例題將知識運用到別的方面上。資源鏈接本講對應CIU視頻資源：概率論及數理統(tǒng)計.jbl。本講內容10.1排列組合基礎10.1.1排列的基本概念及實例從n個不

2、同的元素中，任取m(m≤n)個元素（被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。如果元素和順序至少有一個不同。則叫做不同的排列。元素和順序都相同的排列則叫做相同的排列。排列數的計算公式為（其中m≤n，m，n?Z）。)1()2)(1(?????mnnnnAmn?10.110.110.1（1）7位同學站成一排，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作7個元素的全排列——=5040。77A（2）7位同學

3、站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？解：根據分步計數原理7654321=7！=5040。（3）7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作余下的6個元素的全排列——=720。66A（4）7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據分步計數原理，第一步，甲、乙站在兩端有種；第二步，余下的5名同學22A進行全排列有種，則共有=240種排列方法。55A22A55A（5）7位同學站成一

4、排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法一（直接法）：第一步，從（除去甲、乙）其余的5位同學中選2位同學站在排頭和排尾有種方法；第二步，從余下的5位同學中選5位進行排列（全排列）有種方法，25A55A所以一共有=2400種排列方法。22A55A解法二：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在66A66A這類問題在各種考試中出現得都比較多，關鍵在于熟練，同時要注意審題，題意是可能設置陷阱的地方。對于這類問題

5、，要掌握常用的方法，對于“在”與“不在”的問題，常常直接使用“直接法”或“排除法”，對特殊元素可優(yōu)先考慮。對于相鄰問題，常采用“捆綁法”，即先綁后松，關鍵在于怎么選擇綁定的對象。???第10講排列組合及概率統(tǒng)計基礎3例如：===2002。20012002C200120022002?C12002C4或。ynxnCC?yx??nyx??10.310.310.3一個口袋內裝有大小相同的7個白球和1個黑球。（1）從口袋內取出3個球，共有多少種取

6、法？（2）從口袋內取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？（3）從口袋內取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？解：（1）（2）（3）5638?C2127?C3537?C可發(fā)現：。因為從口袋內的8個球中所取出的3個球，可以分為兩類：?38C?27C37C一類含有1個黑球，一類不含有黑球。因此根據分類計數原理，上述等式成立。一般地，從這n1個不同元素中取出m個元素的組合數是，這些組121?naaa?mnC1?合可以分為兩類：一類含

7、有元素a1，一類不含有a1。含有a1的組合是從這n132?naaa?個元素中取出m?1個元素與a1組成的，共有個；不含有a1的組合是從1?mnC這n個元素中取出m個元素組成的，共有個。132?naaa?mnC10.410.410.46本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法。（1）分給甲、乙和丙三人，每人兩本；（2）分為三份，每份兩本；（3）分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；（4）分給甲、乙和丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本

8、；（5）分給甲、乙和丙三人，每人至少一本。解：（1）根據分步計數原理得到種。90222426?CCC（2）分給甲、乙和丙三人，每人兩本有種方法。這個過程可以分兩步完成：222426CCC第一步分為三份，每份兩本，設有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙和丙三名同學有種方法。根據分步計數原理可得：，所以。因此分為三33A33222426xCCCC?1533222426??ACCCx份，每份兩本一共有15種方法。（3）這是“不均勻分組”問題