第二屆(2010年)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷和參考答案(非數(shù)學(xué)類)

1、第二屆第二屆(2010年)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷及參考答案全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷及參考答案（非數(shù)學(xué)類）（非數(shù)學(xué)類）(150分鐘)解：（1）=22(1)(1)(1)nnxaaa?????22(1)(1)(1)(1)(1)nnxaaaaa???????===222(1)(1)(1)(1)naaaa??????12(1)(1)naa???12limlim(1)(1)1(1)nnnnxaaa???????????(2)22211ln(1

2、)ln(1)1lim1limlimxxxexxxxxxxxeeex????????????????????令x=1t則原式=21(ln(1))1(1)112(1)22000limlimlimttttttttteeee?????????????（3）0000112021011()()[|](1)!!sxnnsxnsxsxnnsxnnnnnIexdxxdexeedxssnnnnnnexdxIIIsssss??????????????????

3、??????????????（4）略（不難，難得寫）（5）用參數(shù)方程求解。答案好像是14二、（15分）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，并且()fx()????且存在一點(diǎn)，使得。()0lim()0lim()0xxfxfxfx?????????????????0x0()0fx?證明：方程在恰有兩個(gè)實(shí)根。()0fx?()????解：（簡要過程）二階導(dǎo)數(shù)為正，則一階導(dǎo)數(shù)單增，f(x)先減后增，因?yàn)閒(x)有小于0的值，所以只需在兩邊找兩大于0的值。將f

4、(x)二階泰勒展開2()()(0)(0)2ffxffxx????因?yàn)槎A倒數(shù)大于0，所以，lim()xfx??????lim()xfx??????證明完成。而，收斂于k。1111111111lim11nsnsnssaasdxkxss??????????????????????所以，收斂。1nnnas????（2）limnns?????所以發(fā)散，所以存在，使得1nna???1k112knnaa???于是，111122212kkknnnnn

5、kaaasss???????依此類推，可得存在121...kk???使得成立112iiknknas????所以112NknnaNs????當(dāng)時(shí)，n??N??所以發(fā)散1nnnas????五、（15分）設(shè)是過原點(diǎn)、方向?yàn)?，（其中的直線，均勻橢球l()???2221)??????，其中（密度為1）繞旋轉(zhuǎn)。2222221xyzabc???0cba???l（1）求其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）求其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量關(guān)于方向的最大值和最小值。()???解：（1）橢球上一