數(shù)學金融學第八章連續(xù)時間市場1

1、長沙理工大學備課紙長沙理工大學備課紙數(shù)學金融學第八章連續(xù)時間市場第1頁共31頁第八章連續(xù)時間證券市場本章開始討論連續(xù)時間問題.我們假定讀者具有初步的隨機分析知識如果讀者還有一些控制理論方面的知識則更好.有關(guān)隨機分析的一些定義和結(jié)果讀者可以參閱本書的附錄口另外我們作如下說明:在隨機分析中人們遇到的等式或不等式往往是以概率1成立的(未必是對所有的均成立)在一般的文獻中常常用記號來表示(英文almostsurely的縮寫).???..sa為了

2、記號簡便起見我們約定一般不用(除非有特別的強調(diào))但是所有遇到的等式或不等式..sa均理解為“以概率l成立”.8.1證券市場的描述假定在一個金融市場(記作)中有l(wèi)種資產(chǎn):1種是所謂的無風險資產(chǎn)(即其市場價Mn值始終是上升的)我們稱之為債券或投資者的銀行賬戶另外種是所謂的風險資產(chǎn)(它們的n市場價值未必總是上升的)為了方便起見通常這些風險資產(chǎn)可以認為就是普通的股票.我們知道在真實的金融市場中所有涉及的量均是離散的:資產(chǎn)的市場價值是離散的(比如

3、精確到分)交易時刻是離散的(比如精確到秒)交易量是離散的(比如至少l手)等等.利用前面章節(jié)中的結(jié)果原則上我們可以解決許多問題(未定權(quán)益定價、最優(yōu)投資問題等等).但是如果我們面臨的是一個具有1000個狀態(tài)(它們可以代表1000個有影響的投資機構(gòu)或個人獨立地參與投資所帶來的不確定因素)、1000個時段(如果每10秒采一次樣則3小時就有1080個時段)和100種股票的市場則很難想象用前面章節(jié)中的方法能得到深刻而簡潔的結(jié)果.另一方面不難想象將離

4、散的問題“連續(xù)化”比如允許交易時刻是任何實數(shù).交易量也允許是任何實數(shù)(盡管股股票聽起來有點滑稽)則許多諸如微積分、隨機分析等強有力的數(shù)學工具就能2夠在處理金融市場問題中發(fā)揮作用.事實上這種“連續(xù)化”的近似使得原來非常復雜的問題變得相對容易了我們將建立這種連續(xù)化市場模型下若干數(shù)學金融問題的一般理論.在學習這些理論之前首先介紹一些測度論及隨機過程方面的知識.一、預備知識一、預備知識設(shè)為概率測度空間??P?F(一)隨機變量的概率測度積分定義1

5、.0.0(1)若簡單隨機變量其中(或)為A1iniiXaI?????12AAAn?n??n??的一個剖分若存在則稱該值為在概率測度空間上的積分記???1AniiiaP??X??P?F.(1.0.1)??1AniiiXdPaP?????(2)若為非負可測隨機變量且非負簡單隨機變量列滿足XA1|01kininkkniXXaIk???????????若存在則稱該極限為在概率測度空間上的積分記kXX?limkkXdP????X??P?F.(1.

6、0.2)limkkXdPXdP???????(3)若為可測隨機變量設(shè)若X????00XXXXIXXI??????XXX????存在則稱該值為在概率測度空間上的積分記XdPXdP???????X??P?F長沙理工大學備課紙長沙理工大學備課紙數(shù)學金融學第八章連續(xù)時間市場第3頁共31頁10增量具有平穩(wěn)性即與分布ttttwww?????ttttwww?????????00tttwwwwNt??????:相同記為.dtttttwwww??????

7、?20具有獨立增量即對相互獨tw??10012ktttk??????????1|1iiittwwwik??????立.事實上:對均有又與獨立則??10012ktttk??????????111kiiiktwx???????Fkw?1kt?F??????111kkiiiikkiiPwxPwxwx???????????????????????????????????11kiikkiPwxPwx??????????????.????????2

8、1111kkiikkkkiiiiPwxPwxPwxPwx???????????????????????30對均有0ts???(1.0.6)??????????????2222|0|.tsststsststststsEwwEwwEwwEwwEwDwEwts????????????????????????????????獨立性獨立性平穩(wěn)性FF從而得到??????????????222222222||2||2||0.tsstsstsstsss

9、tssstssstsstEwwwPEwtwtEwwwwwwtEwwwEwwwtEwwswttP?????????????????????????????????????????????????:????線性性是鞅是鞅FFFFF(這是因為:若關(guān)于域可測隨機變量與(是的子域)獨立則有?F?EEF?.事實上:①對??EE???????E??AAc???FF則故??A0A011.cbIbbb???????????????AIb??E??????

10、????AAPaIbPaPIb????????所以與獨立②對?AIA??F????????AAAAAEdPdPEIEEIEdP????????????????E所以)??EE???????E40若記則當時??2()()0fgTR???FL??twwt?0tls???(1.0.7)()()0stlEfdw??????????F(1.0.8)()()()()()()sssttlllEgdwfdwEgfd???????????????????