2011年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題

1、2011年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一、選擇題一、選擇題(1(1～8小題，每小題小題，每小題4分，共分，共3232分下列每題給出的四個選項中，只有一分下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上)(1)已知當時，與是等價無窮小，則()0x???3sinsin3fxxx??kcx(A)(B)(C)(D)14kc??14kc

2、???34kc??34kc???(2)已知在處可導，且，則=()??fx0x???00f?????23302limxxfxfxx??(A)(B)(C)(D)0??20f????0f????0f?(3)函數的駐點個數為()()ln(1)(2)(3)fxxxx????(A)0(B)1(C)2(D)3(4)微分方程的特解形式為()2(0)xxyyee???????????(A)(B)()xxaee????()xxaxee????(C)(D)(

3、)xxxaebe????2()xxxaebe????(5)設函數均有二階連續(xù)導數，滿足且，()()fxgx(0)0(0)0fg??(0)(0)0fg????則函數在點處取得極小值的一個充分條件是()()()zfxgy?(00)(A)(B)(0)0(0)0.fg??????(0)0(0)0.fg??????(C)(D)(0)0(0)0.fg??????(0)0(0)0.fg??????(6)設，，，則的大40lnsinIxdx???40l

4、ncotJxdx???40lncosKxdx???IJK小關系是()(A)(B)(C)(D)IJK??IKJ??JIK??KJI??(7)設為3階矩陣，將的第2列加到第1列得矩陣，再交換的第2行與第AABB3行得單位矩陣，記，，則()1100110001P???????????2100001010P???????????A?(A)(B)(C)(D)12PP112PP?21PP121PP?121?1?112Oyx222xyy??221xy

5、??(18)(本題滿分10分)設函數具有二階導數，且曲線與直線相切于原點，記為曲線()yx:()lyyx?yx??在點處切線的傾角，若求的表達式l()xyddydxdx??()yx(19)(本題滿分10分)(I)證明：對任意的正整數n，都有成立111ln(1)1nnn????(II)設，證明數列收斂111ln(12)2nannn??????????na(20)(本題滿分11分)一容器的內側是由圖中曲線繞軸旋轉一周而成的曲面，該曲線由y與

6、連接而成的2212()2xyyy???2211()2xyy???(I)求容器的容積；(II)若將容器內盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功？(長度單位：，重力加速度為，水的密度為)m2gms3310kgm圖１(21)(本題滿分11分)已知函數具有二階連續(xù)偏導數，且，，()fxy(1)0fy?(1)0fx?，其中，計算二重積分()Dfxydxdya?????()|0101Dxyxy?????()xyDIxyfxydxdy?????