經(jīng)驗(yàn)累積而成的數(shù)學(xué)

1、經(jīng)驗(yàn)累積而成的數(shù)學(xué)巴比倫與埃及數(shù)學(xué)的探討曹亮吉近東地區(qū)是人類、同時(shí)也是西方文明的搖籃。雖然有一些更好動(dòng)的人群離開家鄉(xiāng)，漫遊於歐洲的平原，他們的同胞留下來創(chuàng)造了文明與文化。幾世紀(jì)之後，留在近東，而成為較具智慧的人群，要挑起責(zé)任，教導(dǎo)那些未具文采的同類。這些由智者傳入西方的智識(shí)中，數(shù)學(xué)占著重要的部分。因此，為了追尋數(shù)學(xué)銘記於現(xiàn)代文化的印象，我們必須探討近東的主要文明。順帶一提，原始文明也會(huì)發(fā)展一些簡單的數(shù)學(xué)。這種發(fā)展無疑地是起因於實(shí)際需要。

2、在最原始的人類社會(huì)中也會(huì)發(fā)生的日用品物物交換的行為，就需要計(jì)數(shù)。因?yàn)橛檬种概c腳趾可以使計(jì)數(shù)方便，原始人類像小孩子那樣，會(huì)用手腳指頭來點(diǎn)算，當(dāng)然不是意外的事。這種古代計(jì)數(shù)的方法還在我們的語言中留下痕跡；digit這個(gè)字不但指的是數(shù)字，而且也有手指或腳趾之意。我們採用十進(jìn)位無疑和使用指頭計(jì)數(shù)有關(guān)。原始文明也採用特定符號以表示數(shù)目。由此可知，他們也認(rèn)識(shí)到三隻羊、三個(gè)蘋果、三支箭之間有很相像的地方，亦即三這個(gè)數(shù)字。數(shù)是獨(dú)立於特定物體的抽象觀念，

3、能夠鑑賞這種抽象觀念是人類思想史上的一大進(jìn)展。我們每個(gè)人在在學(xué)期間也都經(jīng)歷類似的智慧成長，把數(shù)與實(shí)際物體分離。原始文明也發(fā)明了加、減、乘、除四則運(yùn)算。研究現(xiàn)在的原始住民也知道人類並不是一下子就學(xué)會(huì)這些運(yùn)算。許多原始部落的牧羊人拒絕接受他們所賣羊群的總價(jià)錢，他們只會(huì)賣一隻收一隻的價(jià)錢。將每隻價(jià)錢乘以羊隻數(shù)而一次付清的方法會(huì)把他們搞糊塗，會(huì)使他們以為受了騙。毫無疑問地，幾何與數(shù)目系統(tǒng)一樣，是在原始文明中，為滿足人類需要，孕育而成的。觀察實(shí)物

4、的形狀而形成基本的幾何觀念。譬如角的觀念可能就是經(jīng)由觀察手肘或膝蓋的彎角而得的。在包括現(xiàn)代德語的許多語言中，就用「腿」這個(gè)字代表一個(gè)角的夾邊。在我們的語言裏，我們也說直角三角形的兩「股」。西方文化與數(shù)學(xué)所承繼的主要近東文明為埃及和巴比倫。在這些文明的最早紀(jì)錄中，我們發(fā)現(xiàn)他們有發(fā)展很好的數(shù)系、一些代數(shù)及簡單的幾何。埃及人用GIF1、GIF2、GIF3等表1至9這些數(shù)目。他們用特別的記號GIF4表10，還有其他的特別符號表100、1000以

5、及更大的數(shù)目。他們用很自然的方法結(jié)合解。埃及人要把一個(gè)分?jǐn)?shù)寫成單分?jǐn)?shù)之和，譬如寫成，才能作進(jìn)一步的運(yùn)算。雖然現(xiàn)代的分?jǐn)?shù)運(yùn)算已經(jīng)較為方便，但它仍然使許多成年人困惑不已。巴比倫與埃及這些古代的文明，把算術(shù)推展而不限於整數(shù)與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算。我們知道他們能夠解一些含有未知數(shù)的問題，雖然他們的方法比現(xiàn)在在中學(xué)所學(xué)的要粗糙以及欠缺一般性。事實(shí)上，有人認(rèn)為歐幾里得的代數(shù)知識(shí)有些是源自巴比倫的。與巴比倫發(fā)展了優(yōu)越的算術(shù)以及代數(shù)相比，埃及人通常被認(rèn)為在幾何方

6、面超過了他們。有各種說法試圖說明其原因。埃及人從未曾發(fā)展方便的運(yùn)算數(shù)字的方法，尤其是分?jǐn)?shù)，因此在代數(shù)方面不能再有進(jìn)展，只好轉(zhuǎn)而強(qiáng)調(diào)幾何學(xué)。這是歷史學(xué)者所提供的一種說法。另一種說法認(rèn)為幾何是「尼羅河的禮物」。四世紀(jì)的希臘學(xué)者Herodotus說，西元前十四世紀(jì)的埃及王Sesostris讓每個(gè)人擁有一塊矩形的土地，並據(jù)以課稅。假如某人因尼羅河的洪水而失掉土地，他必須向法老呈報(bào)，法老就會(huì)派人來丈量損失，並將稅金適量的減免。因此從埃及的土地，幾

7、何這門學(xué)問就得以興起而且流行起來──geometry（幾何）的geo表示土地，metron表示測量。也許Herodotus選對了理由以說明埃及人為什麼重視幾何學(xué)，但他似乎沒注意到幾何學(xué)在西元前十四世紀(jì)之前已經(jīng)有了幾千年的歷史。埃及與巴比倫的幾何學(xué)是屬於經(jīng)驗(yàn)累積成的那種。直線指的就是拉緊了的弦；希臘語的hypotenuse（斜邊）實(shí)際上是「拉緊在……之上」的意思──拉緊在直角三角形的兩股之上。平面只不過是一片平坦土地的表面。糧倉的容積及土

8、地的面積公式都是經(jīng)由嘗試錯(cuò)誤而得到的。因此許多公式絕對是錯(cuò)的。譬如，埃及曾有一個(gè)公式說：圓的面積等於3.16乘以半徑的平方。這是不對的，雖然就埃及人的實(shí)用而言，還算相當(dāng)不錯(cuò)。埃及人與巴比倫人把他們的數(shù)學(xué)用到許多實(shí)際的問題上。在留下的草紙及瓦片上，我們可以看到期票、信用狀、抵押、延期付款以及商業(yè)盈利的分配。雖然這些商業(yè)交易只用到了算術(shù)與代數(shù)，另有幾何的公式說明了土地的面積以及在圓柱形及金字塔形糧倉內(nèi)的穀物容量。除此之外，巴比倫人與埃及人還

9、是不屈不撓的建築者。就是在現(xiàn)今摩天大樓的時(shí)代，他們的寺廟與金字塔對我們來說都是了不起的成就。巴比倫人也是擁有高度技術(shù)的水利工程師。經(jīng)由巧妙技術(shù)掘成的運(yùn)河，這些人的生命之血，底格里斯河及幼發(fā)拉底河，使旱地成了沃土，使得在此乾燥炎熱的氣候中，也能使埃及和巴比倫等這樣繁榮富庶、人口眾多的城市成為可能。但是認(rèn)為埃及與巴比倫的數(shù)學(xué)只限於實(shí)際問題的求解，那就錯(cuò)了，不論這種說法是如何地常常被人提及。這種說法不但不合那時(shí)候的史實(shí)，用之於今日也是不對的。