等價(jià)關(guān)系

1、,,引例,請判斷上述關(guān)系具備哪些性質(zhì)？,自反、對稱、傳遞,自反、反對稱、傳遞,5.5 等價(jià)關(guān)系基礎(chǔ),,5.5 等價(jià)關(guān)系基礎(chǔ),,5.5.2等價(jià)關(guān)系,Def 對于集合A上的關(guān)系R，若R具有自反、對稱和傳遞性，則稱R為等價(jià)關(guān)系。,若(a,b)∈等價(jià)關(guān)系R，則稱a與b等價(jià)，記作a～b。,5.5.2等價(jià)關(guān)系,example,1)在一群人的集合上, 年齡相等的關(guān)系是否為等價(jià)關(guān)系？ 朋友關(guān)系是否是等價(jià)關(guān)系？2)在動(dòng)物

2、集合上，“具有相同種屬”的關(guān)系是否為等價(jià)關(guān)系？3)集合上的對角關(guān)系是否是等價(jià)關(guān)系?4)在同一平面上三角形的相似關(guān)系是等價(jià)關(guān)系？ 直線之間的平行關(guān)系是等價(jià)關(guān)系？,Y,N（傳遞性）,Y,Y,Y,N（自反，傳遞）,5.5.2等價(jià)關(guān)系,More example,5.5.2等價(jià)關(guān)系,當(dāng)我們僅關(guān)心一個(gè)整數(shù)被3整除的余數(shù)時(shí)，我們只需要知道它在哪個(gè)分支而不必知道它的特定值。,5.5.2等價(jià)關(guān)系,這些獨(dú)立的分支如何描述呢？

3、 ——等價(jià)類,5.5 等價(jià)關(guān)系基礎(chǔ),,5.5.3等價(jià)類,Def 設(shè)R是集合A上的等價(jià)關(guān)系，稱與A中元素a有關(guān)系的所有元素組成的集合為a的等價(jià)類。a的關(guān)于R的等價(jià)類記作,即[x]R={y|y?A?xRy},[x]R，簡記為[x].,Eg. 對剛才mod3的等價(jià)關(guān)系R={,,,,,,,, ,,,,,,, ,,,,,,} [

4、1]={1,4,7}, [2]={2,5,8}, [3]={3,6}, [4]={1,4,7},[5]={2,5,8}, [6]={6,3}, [7]={1,4,7}, [8]={2,5,8}.發(fā)現(xiàn)什么特點(diǎn)沒有？,有等價(jià)關(guān)系的兩元素的等價(jià)類相同！,5.5.3等價(jià)類,等價(jià)類的特征：設(shè)R是非空集合A上的等價(jià)關(guān)系,對任意的x,y，則 （1）[x]??,且[x]?A; （2）若xRy

5、,則[x]=[y]；,[1]={1,4,7}, [2]={2,5,8}, [3]={3,6}, [4]={1,4,7},[5]={2,5,8}, [6]={6,3}, [7]={1,4,7}, [8]={2,5,8}.,考察集合{[x]|x?A}?——{{1,4,7},{2,5,8},{3,6}},可看作集合A的一種劃分,5.5.4等價(jià)類與劃分,,Def 劃分的概念,5.5.4等價(jià)類與劃分,非