第2章 運(yùn)動(dòng)方程建立

1、第2章結(jié)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)的離散及運(yùn)動(dòng)方程的建立,2.1 質(zhì)點(diǎn)與剛體慣性力的描述,試由該式推導(dǎo)出矩形、橢圓及三角形的質(zhì)量慣性矩J？,2.2 結(jié)構(gòu)的動(dòng)力自由度,在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析模型中，確定慣性力分布所需考慮的獨(dú)立位移數(shù)稱為結(jié)構(gòu)的動(dòng)力自由度。,質(zhì)點(diǎn)有3個(gè)平動(dòng)自由度，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，共6個(gè)自由度,質(zhì)量連續(xù)分布，慣性力必須沿桿長(zhǎng)逐點(diǎn)定義，無(wú)限自由度,1、離散質(zhì)量體系（質(zhì)點(diǎn)）,2、連續(xù)質(zhì)量體系,舉例：忽略轉(zhuǎn)動(dòng)的平面體系的動(dòng)力自由度確定,W=2,彈性支座不

2、減少動(dòng)力自由度,為減少動(dòng)力自由度，梁與剛架不計(jì)軸向變形。,,W=1,5),W=2,W=2,,舉例：忽略轉(zhuǎn)動(dòng)的平面體系的動(dòng)力自由度確定（續(xù)）,W=1,,8) 平面上的一個(gè)剛體,W=3,9)彈性地面上的平面剛體,W=3,W=2,W=1,11),,,,,W=13,自由度數(shù)與質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，但不大于質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)的2倍。自由度為1的體系稱作單自由度體系；自由度大于1的體系稱作多（有限）自由度體系;自由度無(wú)限多的體系為無(wú)限自由度體系。,系統(tǒng)離散：（

3、1）集中質(zhì)量法,該模型中，梁端部的集中質(zhì)量為什么不出現(xiàn)？,系統(tǒng)離散：（2）廣義位移法,對(duì)于四邊簡(jiǎn)支的矩形板，如何假設(shè)其位移坐標(biāo)？,系統(tǒng)離散：（3）有限元法,有限元法是一種將連續(xù)系統(tǒng)離散化的方法。這種方法先把復(fù)雜結(jié)構(gòu)分割成若干個(gè)彼此之間只在結(jié)點(diǎn)處相互連接的單元，每個(gè)單元都是一個(gè)彈性體，單元內(nèi)位移用節(jié)點(diǎn)位移（即廣義位移）插值函數(shù)來(lái)表示。對(duì)每個(gè)單元，由位移插值函數(shù)和動(dòng)力學(xué)基本原理確定剛度矩陣、質(zhì)量矩陣及其它特征矩陣。,運(yùn)動(dòng)方程的建立: (1

4、）達(dá)朗貝爾原理,按牛頓第二定理：,達(dá)朗貝爾原理：如將慣性力當(dāng)成靜力看待，動(dòng)力系統(tǒng)在所有力作用下應(yīng)保持靜力平衡。,,y(t),運(yùn)動(dòng)方程建立：（2）虛位移原理,虛位移原理：如果給定一個(gè)平衡系統(tǒng)一個(gè)虛位移（即系統(tǒng)約束相容的位移形態(tài)），則作用在該平衡系統(tǒng)上所有的力（外力及內(nèi)力）對(duì)該虛位移所做的虛功之和等于零。,,,運(yùn)動(dòng)方程建立：（2）虛位移原理（舉例）,,,給定一個(gè)虛位移 ， 按虛位移原理：,運(yùn)動(dòng)方程建立：（3）變分方法,

5、由虛位移原理，在t時(shí)刻所有力所做的虛功之和等于零。即：,將上式重新安排，并在[ t1, t2 ]區(qū)間積分：,運(yùn)動(dòng)方程建立：（3）變分方法（續(xù)）,運(yùn)動(dòng)方程建立：（3）變分方法（續(xù)）,Hamilton原理特點(diǎn)：在虛功方程中力和位移均為矢量；而在Hamilton公式中，外力、慣性力和恢復(fù)力不以顯式方式出現(xiàn)，而分別以動(dòng)能和勢(shì)能的變分項(xiàng)所取代；因此， Hamilton公式能較好處理純標(biāo)量能量值。Hamilton原理也可以應(yīng)用到靜力問(wèn)題

6、，但是動(dòng)能項(xiàng)T將消失，而其余各項(xiàng)不隨時(shí)間變化，即：此即為最小勢(shì)能原理。在以上Hamilton方程中，如將T、V 和Wnc用廣義坐標(biāo)q1、q2、…、qN表示，可以導(dǎo)出N個(gè)自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程，即拉格朗日（Lagrange）方程。,運(yùn)動(dòng)方程建立：（3）變分方法（續(xù)）,廣義坐標(biāo)： N個(gè)自由度體系的廣義坐標(biāo)可以定義為任何相互獨(dú)立的量，用于完全確定體系各點(diǎn)的位置；為了完全獨(dú)立，廣義坐標(biāo)需不以任何方式與系統(tǒng)的幾何約束發(fā)生關(guān)系。,

7、但 用來(lái)定義質(zhì)點(diǎn)位置時(shí)，顯然可以獨(dú)立變化，因此可以作為廣義坐標(biāo)。,運(yùn)動(dòng)方程建立：（3）變分方法（續(xù)）,將上式代入到Hamilton公式中，得：,用廣義坐標(biāo)表示結(jié)構(gòu)體系中動(dòng)能、勢(shì)能及非保守力做的虛功:,舉例：有限元法動(dòng)力分析模型－梁元,1、結(jié)構(gòu)的離散化先把梁分成S個(gè)單元，再分別對(duì)單元和結(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)（見(jiàn)圖）。對(duì)于平面梁，結(jié)點(diǎn)的位移為結(jié)點(diǎn)所在截面的撓度和轉(zhuǎn)角，并被取作結(jié)點(diǎn)的廣義坐標(biāo)。每個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度,梁的離散化,舉例

8、：有限元法動(dòng)力分析模型－梁元,2、單元特征 在梁上任取一單元，單元長(zhǎng)度為l，如左圖所示。圖中坐標(biāo)原點(diǎn)取在單元左端，x軸沿單元軸線。這種與單元相聯(lián)系的坐標(biāo)系也稱為局部坐標(biāo)系。設(shè)單元抗彎剛度為El(x)，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為ρ，由于單元長(zhǎng)度一般較小，所以 El(x) 、ρ均當(dāng)作常量。,,梁?jiǎn)卧奈灰颇Ｊ?,,,,,,,,,,,,形函數(shù)N(x),,舉例：有限元法動(dòng)力分析模型－梁元,? 位移模式,舉例：有限元法動(dòng)力分析模型－梁元,建立了單元的位移

9、模式后，其動(dòng)能、勢(shì)能均可用結(jié)點(diǎn)的位移表示。單元的動(dòng)能為,其中m為單元質(zhì)量矩陣，并有,? 質(zhì)量矩陣和剛度矩陣,將插值函數(shù)矩陣表達(dá)式代入上式，經(jīng)積分后得到 ：,舉例：有限元法動(dòng)力分析模型－梁元,單元的勢(shì)能可表示為：,其中k為單元?jiǎng)偠染仃?，并有?同樣，代入插值函數(shù)矩陣，得：,舉例：有限元法動(dòng)力分析模型－梁元,? 阻尼矩陣和廣義力矩陣,單元桿端力向量記為：,如果限于討論粘性阻尼，則單元長(zhǎng)度分布的阻尼力可表示為：,當(dāng)梁上發(fā)生虛位移δqe時(shí)，作用

10、在單元上所有外力的虛功為：,舉例：有限元法動(dòng)力分析模型－梁元,按廣義力的定義有：,故廣義力列陣為：,其中,c是單元的阻尼矩陣。,舉例：有限元法動(dòng)力分析模型－梁元,將得到的單元?jiǎng)幽堋?shì)能、廣義力的表達(dá)式代入拉格朗日方程中，便可寫出梁?jiǎn)卧倪\(yùn)動(dòng)微分方程為：,3、由拉格朗日方程建立單元運(yùn)動(dòng)方程：,拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程：,,注意： 上面推導(dǎo)中要求質(zhì)量陣和剛度陣是對(duì)稱矩陣；,系統(tǒng)離散各方法的優(yōu)缺點(diǎn),本章小結(jié),1、動(dòng)力系統(tǒng)離散化方法