1.計算固體力學緒論_第1頁
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文檔簡介

1、計算固體力學第1章 緒論,莊 茁 2009.10,,本課程全面介紹非線性有限元的前沿性內(nèi)容,使學習者能進入這一領(lǐng)域的前沿,應用非線性有限元方法求解彈塑性材料、幾何大變形和接觸碰撞這些非線性力學的主要問題,增強工程結(jié)構(gòu)中非線性計算和虛擬仿真的能力,提高非線性有限元的教學和科研水平。,計算固體力學課程體系,,非線性有限元的內(nèi)容:三場變分原理(弱形式):速度,變形率,應力一種格式:Lagrangian格式(TL,UL,

2、ALE) TL-完全的L格式UL-更新的L格式兩種解法:隱式和顯式求解器隱式-Newton-Raphson迭代顯式-中心差分三種非線性:材料,幾何,接觸材料:彈塑性,超彈性,粘彈性幾何:Jaumann率,弧長法,接觸:Lagrange乘子,罰函數(shù),計算固體力學課程體系,,緒論:非線性有限元的基本概念,發(fā)展歷史,工程應用,標記方法,網(wǎng)格表述和偏微分方程的分類。(2)一維L

3、有限元:TL和UL格式的控制方程。E有限元:E公式的控制方程,弱形式與強形式。(4)連續(xù)介質(zhì)力學:變形和運動,應力-應變的度量,守恒方程,框架不變性。(4)L網(wǎng)格:UL有限元離散,編制程序,旋轉(zhuǎn)公式。(4)材料本構(gòu)模型:一維彈性,非線性彈性,如次彈性和超彈性。一維塑性,多軸塑性,超彈-塑性(橡膠和泡沫模型),粘彈性(蠕變和松弛等),經(jīng)驗本構(gòu)模型,如J-C方程等。應變硬化和軟化。(4)求解方法:應力更新算法,平衡解答和隱式時間積分

4、(N-R求解等),顯示時間積分(中心差分等) ,波的傳播問題。(4),教學內(nèi)容:,計算固體力學課程體系,7. 穩(wěn)定性:穩(wěn)定性和連續(xù)化,平滑性,數(shù)值穩(wěn)定性,材料穩(wěn)定性。屈曲和后屈曲,弧長法,模態(tài)分析。(4)8. ALE有限元:ALE連續(xù)介質(zhì)力學,公式推導,率形式,弱形式,路徑相關(guān)材料,網(wǎng)格更新方法,Petrov-Galerkin公式的動量方程,離散方程的線性化,整體ALE公式。(4)有限元單元性能:分片試驗,完備性和再造條件,Hu-W

5、ashizu多場變分原理,多場弱形式。(4) 單元穩(wěn)定性:體積自鎖,剪切自鎖,減積分,不完全積分,沙漏模式。(4) 梁、殼和連續(xù)體單元:理論分析,基于連續(xù)體(CB)的梁。(4) 基于連續(xù)體(CB)的殼,連續(xù)體單元,膜單元的性能,假設(shè)應變單元,一點積分單元。(4) 接觸和沖擊:接觸界面方程(主從接觸,從從接觸,多點約束,約束方程),摩擦模型(罰函數(shù),庫侖等),接觸弱形式,有限元離散。(4),,計算固體力學課程體系,14. 斷裂力學

6、的有限元計算:K場計算,J積分,T積分,動態(tài)裂紋擴展計算(能量平衡、節(jié)點力釋放和XFEM)。(4)15. 流固弱耦合算法。(2),,計算固體力學課程體系,程序訓練:1. 顯式有限元程序-DYFRAC:大變形板殼結(jié)構(gòu)分析計算2. 隱式有限元程序-ABAQUS/Standard:開發(fā)UMAT或UEL接口程序,完成一個結(jié)構(gòu)的完整計算分析過程,成績:1. 期末考試:60%2. 程序?qū)嵺`:20%3. 課堂作業(yè):20%,,教材與參考書,

7、計算固體力學課程體系,緒論,虛擬科學與工程(SBES)有限元的發(fā)展和相關(guān)著作有限元軟件的發(fā)展非線性有限元的分類非線性有限元的應用網(wǎng)格和標記偏微分方程分類,,1 虛擬科學與工程(Simulation-based Engineering and Science,SBES),人類需要借助各種工具來增強、延伸和擴大自己認識世界的能力,虛擬科學與工程(Virtual Science and Engineering)正是用高科技手段構(gòu)

8、造出一種人工環(huán)境,幫助工程師和科學家創(chuàng)造一個時域和空域可變的虛擬世界,使人們能夠在這個虛擬世界中縱觀古今,瞬扶四海,實現(xiàn)從必然王國到自由王國的認識過程。,,CAD/CAE/CAM,伴隨著計算機硬件和軟件的發(fā)展而發(fā)展,適應工業(yè)與科技的需求。,在國家十一、五發(fā)展規(guī)劃中,提出自主創(chuàng)新、集成創(chuàng)新、引進吸收再創(chuàng)新,發(fā)展CAE技術(shù),是工業(yè)和科技提高創(chuàng)新能力的手段之一。,1 虛擬科學與工程,縱觀古今,瞬扶四海:源于我國晉代的儒學家陸機(261-303

9、)在他的《文賦》中談及文學創(chuàng)作的思維活動時說,應“觀古今于須臾,扶四海于一瞬”。,,1 虛擬科學與工程,實現(xiàn)從必然王國到自由王國的認識過程:源于毛澤東(1893-1976)的《實踐論》。,縱觀古今為從時間尺度,是宙的概念;瞬扶四海為從空間尺度,是宇的概念。馳騁宇宙為在四維時空尺度中遨游。,虛擬科學與工程是指對科學現(xiàn)象、工程/產(chǎn)品的功能、性能和運行行為實施計算機模擬的方法體系,尤其對:難以或耗資昂貴的科學現(xiàn)象的物理實驗,如受控熱核反應、

10、核聚變、環(huán)境污染等;,重大工程/復雜產(chǎn)品的功能、性能和極端行為的模擬仿真、科學本質(zhì)的顯現(xiàn),如潰壩,車輛、船舶或飛機的碰撞等。,,1 虛擬科學與工程,虛擬科學與工程是迅速發(fā)展中的計算力學、計算數(shù)學、計算物理、計算材料科學以及相關(guān)的計算工程科學,與現(xiàn)代計算機科學和技術(shù)相結(jié)合,而形成的一種綜合性、集成化、網(wǎng)絡化與智能化的信息處理方法、技術(shù)和產(chǎn)品。,科學與工程計算=》   科學與工程仿真=》      虛擬科學與工程,1 虛擬科學與工程,,

11、1 虛擬科學與工程,,力學的分支計算力學,發(fā)展了有限元、有限差分等理論和方法,為虛擬科學與工程仿真提供了工具。有限元分析是虛擬設(shè)計的基本組成部分。它提供了更快捷和低成本的方式評估設(shè)計的概念和細節(jié),因此,人們越來越多地應用仿真的方法代替樣品原型的試驗(Virtual Prototyping)。,,1997年9月,錢學森院士已經(jīng)預見到了虛擬工程與科學在未來世紀的重要性,他在為清華大學工程力學系建系40周年的賀信中寫道:“隨著力學計算能力的提

12、高,用力學理論解決設(shè)計問題成為主要途徑,而試驗手段成為次要的了。由此展望21世紀,力學加電子計算機將成為工程設(shè)計的主要手段,就連工程型號研制也只用電子計算機加形象顯示。都是虛的,不是實的,所以稱為“虛擬型號研制”(Virtual Prototyping)。最后就是實物生產(chǎn)了。”,1 虛擬科學與工程,,1 Simulation-based Engineering and Science-SBES,2005年6月,美國總統(tǒng)信息技術(shù)咨詢委員會

13、的報告中指出“計算科學已成為科學領(lǐng)導地位、經(jīng)濟競爭力和國家安全的關(guān)鍵”,并發(fā)出“美國政府還沒有充分認識到計算科學的潛力”的警告。 2006年2月,美國國家科學基金會(NSF)發(fā)表報告“基于仿真的工程與科學”(Simulation-based Engineering and Science,SBES),指出“SBES采用模擬和計算機仿真的原理和方法以獲取和應用知識并造福人類,應成為工程與科學領(lǐng)域國家優(yōu)先發(fā)展項目”。,1 Sim

14、ulation-based Engineering and Science-SBES,,目標: 在數(shù)學建模、計算方法、計算機速度和數(shù)據(jù)集成處理的科學與技術(shù)的進展已經(jīng)將計算機仿真領(lǐng)域帶到了一個新紀元的門口,它可能史無前例地改善了人類的健康、安全、產(chǎn)品和國家的競爭力。如果不依靠仿真方法,就不可能在一個新的層面上理解、發(fā)展和利用大量的關(guān)鍵技術(shù)。 --The NSF BR Panel Report on SBES-J.T.

15、 Oden, 2007,1 Simulation-based Engineering and Science-SBES,,Science-Cambridge International Dictionary of English:Knowledge obtained from the systematic study of the structure and behavior of the physical universe, inv

16、olving experimentation and measurement and the development of the theories to describe the results of these activities.,Knowledge obtained in two ways:Observation and theory.,1 Simulation-based Engineering and Science-S

17、BES,,Engineering- is the application of science to the needs of humanity. This is accomplished through the application of scientific and mathematical principles, and practical experience to the design of useful objects o

18、r processes.,Engineering Science- is the systematic acquisition of knowledge for the purpose of applying it to the solution of problems effecting the needs and well-being of human kind.,SBES- engineering science and scie

19、nce that employs the principles and methods of modeling and computer simulation to acquire and apply knowledge for the benefit of human kind.,美國西北大學教授WK. Liu預言:在不久的將來,將構(gòu)建出集成化的多尺度(MM)程序分析系統(tǒng),和基于概率與仿真的工程與科學(SBES)數(shù)學框架,應用通過驗證

20、與確認(V&V)的精心設(shè)計的實驗,在皮秒尺度(10-12s) 上計算,能夠完成包含材料生命周期評估的產(chǎn)品設(shè)計和制造的數(shù)值仿真。,1 Simulation-based Engineering and Science-SBES,,W.K. Liu, Simulation-Based Engineering and Science Approach to Analysis and Design of Microsystems: Fro

21、m a Dream to a Vision to Reality, In proceedings of the WTEC Workshop on U.S. R&D in Simulation-Based Engineering and Science, 2007, 77-95,2 有限元的發(fā)展和相關(guān)著作,2 有限元的發(fā)展和相關(guān)著作,涉及非線性有限元分析的著作包括:Zienkiewicz和Taylor(1967), (1991)

22、, (2000),莊茁、岑松譯,有限元方法(第5版)-第2卷,固體力學,清華大學出版社,2006 Oden(1972), 是固體和結(jié)構(gòu)非線性有限元分析的開拓,Kleiber(1989), Crisfield(1991), Zhong ZH(1993)。 Belytschko和Hughes(1983),Hughes(1987)Cook、Malkus和Plesha(1989) Bathe(1996), Bonet和Wood(199

23、7),Simo和Hughes(1998)。,2.1 著作,,徐芝綸,彈性力學問題的有限單元法,水利電力出版社,1972 謝貽權(quán),何福保編著,彈性和塑性力學中的有限單元法,機械工業(yè)出版社,1981徐次達,華伯浩,固體力學有限元理論、方法及程序,水利電力出版社,1983 王勖成,邵敏,有限單元法基本原理和數(shù)值方法,清華大學出版社,1987,1995王勖成,有限單元法,清華大學出版社,2003郭乙木,陶偉明,莊茁,線性與非線性有

24、限元及應用,機械工業(yè)出版社,2003,Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures, T. Belytschko, W. K. Liu, B. Moran, John Wiley & Sons, Ltd, 2000莊茁等譯,連續(xù)體和結(jié)構(gòu)的非線性有限元,清華大學出版社,2002,2 有限元的發(fā)展和相關(guān)著作,,有限元的創(chuàng)立與科學的發(fā)展和工業(yè)界需求相關(guān)Ray W.

25、 Clough, 畢業(yè)于MIT1949,Berkeley土木工程學院任教1952,Boeing 暑期研究, detal三角形機翼振動分析, 應用傳統(tǒng)梁理論和數(shù)學計算,基于一維梁模型的 機翼結(jié)構(gòu)撓度計算結(jié)果與小比例機翼模型試驗數(shù) 據(jù)相差甚遠,工作失敗。,1953,計算小三角形板的剛度性能,將一片片匯合成機翼, direct stiffness

26、 method–直接剛度法,有限元的雛形。 機翼結(jié)構(gòu)撓度計算結(jié)果與小比例模型試驗數(shù)據(jù)吻合。,1955,John H. Argyris, 矩形單元1956,第一篇有限元文章發(fā)表。,2 有限元的發(fā)展和相關(guān)著作,2.2 發(fā)展歷史,通過波音研究組的工作和Turner、Clough、Martin和Topp(1956)的著名文章,使線性有限元分析得以聞名,不久后,在許多大學和研究所里,工程師們開始將方法擴展至非線性、小位移

27、的靜態(tài)問題。他們非常清楚有限元方法的前途,它提供了處理復雜形狀真實問題的可能性。,,2 有限元的發(fā)展和相關(guān)著作,我們不僅關(guān)注發(fā)表的文章,而是更關(guān)注軟件的發(fā)展。在這個信息-計算機時代,象許多其它方面的進步一樣,在有限元分析中,軟件常常比文獻更好地代表了最新的進展。,,有限元程序兩條脈絡:隱式 - ABAQUS/Standard,Nastran,ANSYS,MARC顯式 - ABAQUS/Explicit,Dytran,Dyna3D,2

28、 有限元的發(fā)展和相關(guān)著作,3 有限元軟件的發(fā)展,在20世紀60年代,由于Ed Wilson發(fā)布了他的第一個程序,這種激情終于被點燃了。這些程序的第一代沒有名字。在遍布世界的許多實驗室里,通過改進和擴展這些早期在Berkeley開發(fā)的軟件,工程師們擴展了新的用途,帶來了對工程分析的巨大沖擊和有限元軟件的隨之發(fā)展。,SAP:在Berkeley開發(fā)的第二代線性程序稱之為SAP(Structural Analysis Program),之后發(fā)展

29、的第一個非線性程序是NONSAP,它具有隱式積分進行平衡求解和瞬時問題求解的功能。,3 有限元軟件的發(fā)展,隱式有限元程序-Implicit,,MARC :1969年,在Brown大學任教的Pedro Marcal,為了第一個非線性商業(yè)有限元程序進入市場,于建立了一個公司;程序命名為MARC ,目前它仍然是主要軟件,1999年被MSC公司兼并,MSC/MARC。,ANSYS:大約在同期,John Swanson為了核能應用在Westing

30、house發(fā)展了一個非線性有限元程序。為了使ANSYS程序進入市場,他于1969年離開Westinghouse。ANSYS盡管主要是關(guān)注非線性材料而非求解完全的非線性問題,它多年來仍壟斷了商業(yè)非線性有限元軟件的舞臺。,3 有限元軟件的發(fā)展,,ABAQUS :David Hibbitt,他與Pedro Marcal合作到了1972年,1978年創(chuàng)立了HKS公司,使ABAQUS商用軟件進入市場。因為該程序是能夠引導研究人員增加用戶單元和材料

31、模型,對軟件行業(yè)帶來了實質(zhì)性的沖擊。2005年被法國達索公司(Dassault Systemes)收購,該公司的主要產(chǎn)品有CATIA。2007年更名為Simulia。,NASTRAN :大型通用有限元軟件。The MacHeal-Schwendler Corporation (MSC),1963年創(chuàng)立,主要得到美國航空界贊助,如NASA和FAA,為飛行器驗證軟件。前處理為PATRAN。,3 有限元軟件的發(fā)展,按照美國反壟斷法,于2003

32、年將NASTRAN源代碼一式二份,分別屬于:MSC/NASTRAN :MSC公司產(chǎn)品;NX.NASTRAN :UGS公司產(chǎn)品。 2007年,SIEMENS收購UGS。,,ADINA :Jürgen Bathe是在Ed Wilson的指導下在Berkeley獲得博士學位的,不久之后開始在MIT任教,這期間他便發(fā)布了他的程序。這是NONSAP軟件的派生產(chǎn)品,稱為ADINA 。據(jù)說UGS目前正準備兼并ADINA 。,3 有限元軟

33、件的發(fā)展,,DOE實驗室的工作強烈地影響了早期的顯式有限元方法,特別是命名為hydro-codes的軟件,Wilkins(1964)。,顯式有限元程序-Explicit,3 有限元軟件的發(fā)展,在1964年,Costantino在芝加哥的IIT研究院發(fā)展了可能是第一個顯式有限元程序。它局限于線性材料和小變形,由帶狀剛度矩陣乘以節(jié)點位移計算內(nèi)部的節(jié)點力。它首先在一臺IBM7040系列計算機上運行,花費了數(shù)百萬美元,其速度遠遠低于一個mega

34、flop和32000字節(jié)RAM。 剛度矩陣存儲在磁帶上,通過觀察磁帶驅(qū)動能夠監(jiān)測計算的過程;當每一步驟完成時,磁帶驅(qū)動將逆轉(zhuǎn)以便允許閱讀剛度矩陣。這些和以后的Control Data機器有類似的性能,如CDC6400和6600。一臺CDC6400價值為一千萬美元,32k內(nèi)存和大約一個megaflop的真實速度。,3 有限元軟件的發(fā)展,,一臺CDC6400價值為一千萬美元,32k內(nèi)存和大約一個megaflop的真實速度。,3 有限

35、元軟件的發(fā)展,,每芯片的晶體管數(shù)每過18個月加倍,為什么要發(fā)展納米技術(shù),奔騰Ⅳ最小元件~130納米,保持計算機技術(shù)的持續(xù)高速發(fā)展!,在1969年,開發(fā)了著名的從單元到單元的求解技術(shù);節(jié)點力計算不必應用剛度矩陣。因此發(fā)展了名為 SAMSON的二維有限元程序,它被美國的武器實驗室應用了十年。在1972年,該程序功能擴展至結(jié)構(gòu)的完全非線性三維瞬態(tài)分析,稱為WRECKER。,3 有限元軟件的發(fā)展,這一工作得到美國運輸部敢于幻想的計劃經(jīng)理Le

36、e Ovenshire的基金資助,他在七十年代初期就預言汽車的碰撞試驗可能被仿真所代替。,然而,比他所預言的時間稍微提前了一點,在當時進行一個300個單元模型的仿真,對于兩千萬次模擬需要約30小時機時,花費約3萬美元,相當于助理教授三年的工資。Lee Ovenshire的計劃資助了若干個開拓性的工作:Hughes的接觸-沖擊,Ivor McIvor的碰撞工作,以及由Ted Shugar和Carly Ward在Port Hueneme

37、的關(guān)于人頭的模擬研究。,3 有限元軟件的發(fā)展,,WHAMS:但是,大約在1975年,運輸部認為仿真太昂貴,決定所有的基金轉(zhuǎn)向試驗方面,使這些研究努力令人痛心的停止下來。在Ford,WRECKER勉強維持生存了下一個十年,在Argonne,由Belytschko發(fā)展的顯式程序被移植應用在核安全工業(yè)上,其程序命名為SADCAT和WHAMS 。,WHAMS-PFRACTsinghua-MPFRAC,3 有限元軟件的發(fā)展,,DYNA:顯式有

38、限元程序發(fā)展的里程碑來自于Lawrence Livermore實驗室的John Hallquist的工作。1975年,John開始他的工作,1976年,他首先發(fā)布DYNA程序。他慧眼吸取了前面許多人的成果,并且與Berkeley的研究人員緊密交流合作,包括Jerry Goudreau,Bob Taylor,Tom Hughes和Juan Simo。他之所以成功的部分關(guān)鍵因素是與Dave Benson合作發(fā)展了接觸-沖擊相互作用,和他的令

39、人敬畏的編程效率,以及計算程序DYNA-2D和DYNA-3D的廣泛傳播。,3 有限元軟件的發(fā)展,,目前,隱式方法比顯式方法的功能增加得更加迅速。對于處理非線性約束,例如接觸和摩擦,隱式方法已經(jīng)有了明顯的改進。稀疏迭代求解器也已經(jīng)成為更加有效的工具。科學與工程分析功能的強健需要兩種方法的有效性。 因此,在工業(yè)和研究中,精通非線性軟件的應用要求分析者重視對于非線性有限元方法的理解,能夠清楚在分析中許多有興趣的挑戰(zhàn)和機遇。這將是本課程

40、的宗旨。,3 有限元軟件的發(fā)展,,中國建研院:PKPM-建筑結(jié)構(gòu)分析程序胡平(北)KMAX和鐘志華(南):分別開發(fā)了研制汽車 覆蓋件模具的有限元軟件梁國平:飛箭軟件,大連理工大學:有限元程序鄭州機械所:紫瑞軟件清華大學:DYFRAC-斷裂與強度分析程序 PCPC-管道裂紋任意擴展程序…,3 有限元軟件的發(fā)展,,,CAE的發(fā)展概況與前景,國內(nèi)外高性能計算對比分析

41、目前我國與美國研究領(lǐng)域先進的數(shù)值仿真相比,在計算機硬件設(shè)備和軟件開發(fā)能力,以及基礎(chǔ)研究等方面存在的主要差距有以下幾點:(1)硬件與軟件環(huán)境 在硬件方面,美國國家實驗室裝備了峰值速度為136.8萬億次計算機,用于結(jié)構(gòu)分析的計算機浮點運算速度,我國與美國相差2~3個數(shù)量級。在軟件方面,美國可以同時利用數(shù)千個CPU開展并行計算,而我國在結(jié)構(gòu)分析方面有效使用的CPU并行應用數(shù)量比美國低1~2個數(shù)量級,在并行計算效率方面嚴重依賴于國外

42、商用軟件。,2005年,LLNL裝備的藍色基因計算機的并行計算峰值速度達到136.8萬億次。美國完成了武器系統(tǒng)在敵方輻射與爆炸沖擊波環(huán)境下的仿真,以及武器系統(tǒng)從庫存到靶目標的多物理場動力學數(shù)值仿真,計算規(guī)模達數(shù)千萬乃至上億自由度。 1992年法國在進行了210次核試驗之后,宣布其核武器更新將依靠數(shù)值仿真計劃來實現(xiàn),該項目15年總投資210億歐元,這標志著發(fā)達國家在復雜武器工程分析方面已經(jīng)進入了大規(guī)模并行計算時代。,參考文獻[1

43、] ASC program plan FY05, NNSA, USA, 2002-2003[2] 法國原子能委員會《挑戰(zhàn)》,2003年6~8月刊,,CAE的發(fā)展概況與前景,美國戰(zhàn)略武器儲存和管理的挑戰(zhàn)是確保突發(fā)事件時的攻擊力量。隨著美國千枚核彈頭的預期壽命將至,其可靠性和安全性問題也隨之暴露。由IBM公司和洛斯.阿拉莫斯國家實驗室研制出每秒千萬億次的超級計算機“走鵑”,價值1.33億美元,它能精確模擬核彈頭爆炸的情況。

44、 “走鵑”一天的工作量=60億臺筆記本電腦每天24小時連續(xù)工作46年。包括1.296萬個微處理器,11.664萬個芯片。目標直逼每秒百億億次速度。--《紐約時報》2008.06.09,,CAE的發(fā)展概況與前景,(2)求解規(guī)模 美國在結(jié)構(gòu)動力學分析的求解規(guī)模已達到數(shù)千萬自由度,而我國在結(jié)構(gòu)非線性問題分析中的求解規(guī)模一般限制在百萬自由度量級。與美國相比,自由度數(shù)目相差1~2個數(shù)量級,這樣使得三維數(shù)值仿真非線性分析模型的規(guī)模較小,對

45、結(jié)構(gòu)的物理內(nèi)涵和幾何細節(jié)考慮不夠充分。再是大量的仿真分析基于通用商用程序完成,數(shù)值仿真方法研究和軟件開發(fā)的能力不足,沒有形成較強的創(chuàng)新能力。,,CAE的發(fā)展概況與前景,基于網(wǎng)絡架構(gòu)的NEST系統(tǒng)平臺,,CAE的發(fā)展概況與前景,,硬件技術(shù):上海超級計算中心-曙光4000A系統(tǒng)峰值10.2Tflops(10萬億次/秒)512節(jié)點×4=2048CPU內(nèi)存4256GB,容量95TB,CAE的發(fā)展概況與前景,清華航院的并行計算機

46、群-- 985-I期(39萬)系統(tǒng)峰值0.3萬億次/秒,16節(jié)點×2=32CPU-985-II期(220萬)系統(tǒng)峰值2.77萬億次/秒,32節(jié)點×8=256CPU,4 非線性有限元的分類,線性分析:外加載荷與系統(tǒng)的響應之間為線性關(guān)系。例如線性彈簧,結(jié)構(gòu)的柔度陣(將剛度陣集成并求逆)只需計算一次。通過將新的載荷向量乘以剛度陣的逆,可得到結(jié)構(gòu)對其它載荷情況的線性響應。此外,結(jié)構(gòu)對各種載荷情況的響應,可以用常數(shù)放大

47、和/或相互疊加,以確定它對一種全新載荷情況的響應,所提供的新載荷情況是前面各種載荷的疊加(或相乘)。這種載荷的疊加原理假定所有的載荷情況采用了相同的邊界條件。,4 非線性有限元的分類,,非線性分析:非線性結(jié)構(gòu)問題是指結(jié)構(gòu)的剛度隨其變形而改變。所有的物理結(jié)果均是非線性的。線性分析只是一種近似,它對設(shè)計來說通常已經(jīng)足夠了。但是,對于許多結(jié)構(gòu)包括加工過程的模擬(諸如鍛造或者沖壓)、碰撞分析以及橡膠部件的分析(諸如輪胎或者發(fā)動機支座),線性分析

48、是不夠的。一個簡單例子就是具有非線性剛度響應的彈簧。,4 非線性有限元的分類,,4 非線性有限元的分類,,由于剛度依賴于位移,所以不能再用初始柔度乘以外加載荷的方法來計算任意載荷時彈簧的位移。在非線性隱式分析中,結(jié)構(gòu)的剛度陣在整個分析過程中必須進行許多次的生成和求逆,分析求解的成本比線性隱式分析昂貴得多。在顯式分析中,非線性分析增加的成本是由于穩(wěn)定時間增量減小而造成的。非線性系統(tǒng)的響應不是所施加載荷的線性函數(shù),因此不能通過疊加來獲得不

49、同載荷情況的解答。每種載荷情況都必須作為獨立的分析進行定義和求解。,4 非線性有限元的分類,,非線性的來源:在結(jié)構(gòu)的力學模擬中有三種:材料非線性邊界非線性(接觸)幾何非線性,4 非線性有限元的分類,,材料非線性 大多數(shù)金屬在低應變值時都具有良好的線性應力/應變關(guān)系;但是在高應變時材料發(fā)生屈服,此時材料的響應成為了非線性和不可恢復的。 橡膠材料是一種非線性、可恢復(彈性)響應的材料。 材料的非線性也可能與應

50、變以外的其它因素有關(guān)。應變率相關(guān)材料數(shù)據(jù)和材料失效都是材料非線性的形式。材料性質(zhì)也可以是溫度和其它預先定義的場變量的函數(shù)。,4 非線性有限元的分類,,邊界非線性 如果邊界條件在分析過程中發(fā)生變化,就會產(chǎn)生邊界非線性問題。懸臂梁隨著施加的載荷產(chǎn)生撓曲。,梁端點在接觸到障礙物以前,其豎向撓度與載荷成線性關(guān)系(如果撓度是小量)。當碰到障礙物時梁端點的邊界條件發(fā)生了突然的變化,阻止了任何進一步的豎向撓度,因此梁的響應將不再是線性的。邊界

51、非線性是極度的不連續(xù);當在模擬中發(fā)生接觸時,結(jié)構(gòu)中的響應在瞬時會發(fā)生很大的變化。 另一個邊界非線性的例子是將板材材料沖壓入模具的過程。在與模具接觸前,板材在壓力下比較容易發(fā)生伸展變形。在與模具接觸后,由于邊界條件的改變,必須增加壓力才能使板材繼續(xù)成型。,4 非線性有限元的分類,,幾何非線性 幾何非線性發(fā)生在位移大小影響到結(jié)構(gòu)響應的情況。由于:大撓度或大轉(zhuǎn)動;“突然翻轉(zhuǎn)”(Snap through);初應力或載荷剛性

52、化。,如果端部的撓度較小,可以認為是近似的線性分析。然而,如果端部的撓度較大,結(jié)構(gòu)的形狀乃至其剛度都會發(fā)生改變。另外,如果載荷不能保持與梁軸垂直,載荷對結(jié)構(gòu)的作用也將發(fā)生明顯的改變。當懸臂梁撓曲時,載荷的作用可以分解為一個垂直于梁的分量和一個沿梁長度方向的分量。這兩種效應都會對懸臂梁的非線性響應產(chǎn)生貢獻(即,隨著梁承受載荷的增加,梁的剛度發(fā)生變化)。,4 非線性有限元的分類,,不難理解大撓度和大轉(zhuǎn)動對結(jié)構(gòu)承載的方式會產(chǎn)生顯著的影響。然而

53、,并不一定位移相對于結(jié)構(gòu)尺寸很大時,幾何非線性才顯得重要??紤]一塊很大的具有小曲率的板在所受壓力下的“突然翻轉(zhuǎn)”。,板的剛度在變形時會產(chǎn)生劇烈的變化。當板突然翻轉(zhuǎn)時,剛度變負;盡管位移量值相對于板的尺寸很小,但是有明顯的幾何非線性,必須在模擬中加以考慮。,4 非線性有限元的分類,,幾何非線性,剛性懸臂梁值域,平衡條件約束剛度K線性關(guān)系非線性關(guān)系,4 非線性有限元的分類,,幾何非線性,剛性懸臂柱,平衡條件約束剛度K

54、線性關(guān)系非線性關(guān)系 3個解答,有限元分析:Buckling特征值(eigenvalues)-彈性臨界(屈曲)載荷特征向量(eigenvectors)-屈曲模態(tài),非線性分析包含下列步驟:建立模型-Pre-process基本方程的公式離散方程求解方法表述結(jié)果-Post-process,4 非線性有限元的分類,,4 非線性有限元的分類,,非線性有限元基本解決方案:材料非線性-

55、Newton-Raphson迭代(隱式), 中心差分,R-K(顯式)邊界非線性-接觸 (約束,連接,摩擦,滑移) Lagrange乘子,罰函數(shù)幾何非線性-考慮Jaumann率的大變形算法, 弧長法(Riks),非線性分析包含幾個重要主題:選擇近似的方法(如Newton-R

56、aphson)選擇合適的網(wǎng)格描述,動力學和運動學的描述檢驗結(jié)果和求解過程的穩(wěn)定性(物理和數(shù)值)認識模型的平滑響應和隱含的求解質(zhì)量和困難判斷假設(shè)的作用和誤差的來源,4 非線性有限元的分類,,5 非線性有限元的應用(略),6 網(wǎng)格和標記,6 網(wǎng)格和標記,,非線性有限元分析關(guān)聯(lián)三個領(lǐng)域:線性有限元方法,結(jié)構(gòu)分析矩陣方法的擴展;非線性連續(xù)介質(zhì)力學;數(shù)學,包括數(shù)值分析、線性代數(shù)和泛函。標記方法:矩陣、張量和指標標記,3種標記方

57、法:1. 指標標記 矢量,一階張量,指標重復兩次為求和, 三維問題 缺點:公式,程序難以閱讀2. 張量標記 指標不出現(xiàn),獨立于坐標系統(tǒng):直角,柱,曲線 小寫黑體字母表示一階, v,大寫表示高階, E; 除外。

58、 內(nèi)部指標縮并, 例如線性本構(gòu)方程:,,,,6 網(wǎng)格和標記,,3. 矩陣標記二次項: 應變能:,,,,,,,,,,,6 網(wǎng)格和標記,,Voigt標記,,,,,,在有限元編程中,將對稱的二階張量寫成列矩陣。我們將它和高階張量的任何其它換算稱為列矩陣Voigt標記。關(guān)于轉(zhuǎn)換對稱二階張量到列

59、矩陣的過程稱為Voigt規(guī)則。 動力學Voigt規(guī)則:Voigt規(guī)則取決于是否一個張量是一個動力學量,諸如應力,或者運動學量,諸如應變。關(guān)于動力學張量的Voigt規(guī)則,諸如對稱張量(二維問題),,,,6 網(wǎng)格和標記,,Voigt標記,運動學Voigt規(guī)則 對于二階張量,運動學張量,諸如應變,也可以在表A1.1中給出。但是,剪切應變,即用不相同指標表示的分量,需要乘以2。因此,關(guān)于應變的Voigt規(guī)則為

60、 張量,Voigt,(A1.3),6 網(wǎng)格和標記,,空間坐標:x, Eulerian坐標,指一點在空間的位置。材料坐標:X, Lagrangian坐標, 標記一個材料點,每一個材料點有唯一的材料坐標,一般為在物體初始構(gòu)形中的空間坐標,當t=0, X=x。物體的運動或

61、變形用函數(shù)稱其為在初始構(gòu)形與當前構(gòu)形之間的變換,如運動:逆變換:,1. 網(wǎng)格描述,2. 動力學描述,應力張量和動量方程3. 運動學描述,應變度量,6 網(wǎng)格和標記,,,6 網(wǎng)格和標記,,Lagrangian網(wǎng)格和Eulerian網(wǎng)格描述,6 網(wǎng)格和標記,一個Lagrangian網(wǎng)格像在材料上的蝕刻:當材料變形時,蝕刻(和單元)隨著變形。 一個Eulerian網(wǎng)格像放在材料前面一薄片玻璃上的蝕刻:當材料變形時,蝕刻不變

62、形,而材料橫穿過網(wǎng)格。,,6 網(wǎng)格和標記,Lagrangian網(wǎng)格,材料點與網(wǎng)格點保持重合,單元隨材料變形,適合描述固體與結(jié)構(gòu)的變形,但容易嚴重扭曲。,解決方法:ALE網(wǎng)格(Arbitrary Lagrangian Eulerian) 節(jié)點能夠有序地任意運動,在邊界上的節(jié)點保持在邊界上運動,內(nèi)部的節(jié)點運動使網(wǎng)格扭曲最小化。,7 偏微分方程分類,當面對這樣的力學問題,引起物體開裂的原因既要考慮到溫度的影響,又要考慮到振動的效應,我們會

63、被問到:應該選擇哪種類型的偏微分方程? 在有限元軟件中,可以將各種因素作為輸入文件,計算得到解答。然而,當討論這些結(jié)果的合理性時,我們會被問到:哪些因素控制著解答,什么情況下是溫度控制,或是振動控制,他們共同控制解答的條件是什么? 帶著這些問題,為了理解各種有限元程序的適用性,我們需要理解偏微分方程的屬性。,7 偏微分方程分類,,在ABAQUS中使用的關(guān)于自由度的順序約定如下:1 1方向的平動2 2方向的

64、平動3 3方向的平動4 繞1軸的轉(zhuǎn)動5 繞2軸的轉(zhuǎn)動6 繞3軸的轉(zhuǎn)動7 開口截面梁單元的翹曲8 聲壓、孔隙壓力或靜水壓力9 電勢 實體單元的溫度 (或質(zhì)量擴散分析中的歸一化濃度), 或者梁和殼厚度上第一點的溫度12 梁和殼厚度上其它點的溫度(繼續(xù)增加自由度),7 偏微分方程分類,,雙曲線,典型問題是波的傳播,如弦振動拋物線,典型問題是擴散方程,如熱

65、傳導橢 圓,典型例子是彈性力學平衡方程; Laplace方程,及其非齊次Poisson方程; 斷裂力學中Griffith解答, 應用了Inglis無限大 平板含橢圓孔的解。,7 偏微分方程分類,雙曲線拋物線橢 圓,,為了理解有限元程序的適用性,解答的屬性,影響解的因素,如解答的平順性,信息傳播(如

66、波、力和場)、邊界與初始條件的影響,因此需要了解各種類型的偏微分方程。,如果不計時間相關(guān)性,三個方程退化為同一種形式,固體力學方程從雙曲線變化為橢圓。,7 偏微分方程分類,,PDEs推演是先降為一階系統(tǒng),如兩個未知量的一個準線性系統(tǒng):,PDEs分類依據(jù)是線段或者表面是否存在交叉,若存在交叉,導數(shù)是不連續(xù)的。,式中的Ai, Bi, Ci, Di是獨立變量x和y,以及兩個非獨立變量u和v的函數(shù)。方程中的導數(shù)是線性的。,讓我們檢驗u和v在x-

67、y平面內(nèi)是否可能有不連續(xù)的導數(shù)??紤]參數(shù)為s的一條曲線Г,沿著Г導數(shù)可能連續(xù),橫向Г導數(shù)可能不連續(xù)。由連鎖法則,非獨立變量的導數(shù)可以寫成:,7 偏微分方程分類,,將上面公式寫成一個矩陣方程,得到,如果導數(shù)是不連續(xù)的,上面系統(tǒng)線性代數(shù)方程的解答是非確定的,例如,沒有唯一解答,它暗示,在某些運算后,得到一個條件服從,式中,除以,,并注意到,7 偏微分方程分類,,得到一元二次方程,公式的解答為二次方程的根,有兩族特征函數(shù),雙曲線,導數(shù)不連續(xù)

68、有一族特征函數(shù),拋物線,平滑無實特征函數(shù), 橢 圓,平滑,雙曲線系統(tǒng)的特征-存在交叉,穿過特征函數(shù)線的導數(shù)可能是不連續(xù)的,如應變或速度分量。,7 偏微分方程分類,,雙曲線,典型問題是波的傳播,如弦振動,在雙曲線系統(tǒng)中,信息以有限的速度傳播,例如一維情況,波速為c=x/t的直線斜率。一個力在t=0時刻施加在桿的左端,在右側(cè)x處的觀察者直到波傳播到該點時才有感覺。,例1:一維波動方程,其解答為兩個實根,波速為

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