彈性力學(xué)基本理論

1、第二章 彈性力學(xué)基礎(chǔ),第二章 彈性力學(xué)基礎(chǔ),§ 2.1 彈性力學(xué)的基本假設(shè)§ 2.2 彈性力學(xué)平面問(wèn)題§ 2.3 能量原理,,,,2.1 彈性力學(xué)的基本假設(shè),1．假定物體是連續(xù)的2．假定物體是完全彈性的3．假定物體是均勻的4．假定物體是各向同性的5．假定位移和形變是微小的,,2.2 彈性力學(xué)平面問(wèn)題,§ 2.2.1 平面應(yīng)力問(wèn)題§ 2.2.2 平面應(yīng)變問(wèn)題

2、7; 2.2.3 平衡微分方程§ 2.2.4 幾何方程§ 2.2.5 物理方程§ 2.2.6 邊界條件及圣維南原理§ 2.2.7 平面問(wèn)題的基本解法,,2.2.1平面應(yīng)力問(wèn)題,幾何特征：一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸小得多，例如等厚度平面薄板。受力特征：外力和約束，僅平行于板面作用，沿z方向不變化。應(yīng)力特征：如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面為xy平面，垂直于中面的任一直線為z軸。由于板面上

3、不受力，有,,因板很薄，且外力沿z軸方向不變，可認(rèn)為整個(gè)薄板的各點(diǎn)都有,由剪應(yīng)力互等定理，有,,，,，,，,因此，平面應(yīng)力問(wèn)題只有三個(gè)應(yīng)力分量，僅為x、y的函數(shù)，與z無(wú)關(guān)，如下,,，,，,2.2.1平面應(yīng)力問(wèn)題,幾何特征：一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸大得多，且沿長(zhǎng)度方向幾何形狀和尺寸不變化，例如水壩，如圖所示。 受力特征：外力和約束平行于橫截面作用，沿長(zhǎng)度z方向不變化。 應(yīng)變特征：如圖選取坐標(biāo)系，以任一橫截面為xy面，任一縱

4、線為z軸。則任一橫截面均可視為對(duì)稱面，有沿z方向的位移,,2.2.2平面應(yīng)變問(wèn)題,所有各點(diǎn)的位移矢量都平行于x y平面，則,,,，,，,因此，平面應(yīng)變問(wèn)題只有三個(gè)應(yīng)變分量，僅為x、y的函數(shù)，與z無(wú)關(guān)，如下,,,,2.2.2平面應(yīng)變問(wèn)題,2.2.3 平衡微分方程,平面問(wèn)題的平衡微分方程，描述了微元體應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系。無(wú)論是平面應(yīng)力還是平面應(yīng)變問(wèn)題，平衡方程是一致的。取出一塊dxdy,厚度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的微元體，將其所受力畫在其

5、上。設(shè)單位體積上的體積力為,,,,由力矩平衡方程，得,,2.2.3 平衡微分方程,2.2.4 幾何方程,平面問(wèn)題的幾何方程，描述了彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)變與位移之間的關(guān)系。經(jīng)過(guò)彈性體內(nèi)的任意一點(diǎn)P，沿x軸和y的方向取兩個(gè)微小長(zhǎng)度的線段PA＝dx和PB＝dy，如圖所示。經(jīng)推導(dǎo)后得出平面問(wèn)題中表明形變分量與位移分量之間的關(guān)系式，如下,圖2.4 變形圖,,2.2.5 物理方程,平面問(wèn)題的物理方程，描述了彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的

6、關(guān)系。在完全彈性和各向同性的情況下，物性方程即為材料力學(xué)中的廣義虎克定律，如下,,三個(gè)彈性常數(shù)的關(guān)系為,2.2.5 物理方程,,,在平面應(yīng)力問(wèn)題中 ，則,,在平面應(yīng)變問(wèn)題中 ，則,,,,,,,2.2.5 物理方程,兩種平面問(wèn)題的物理方程寫成統(tǒng)一形式。若以應(yīng)變表示應(yīng)力，則兩種平面問(wèn)題物理方程的統(tǒng)一形式如下,,,,,2.2.6邊

7、界條件及圣維南原理,圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。,2.2.7 平面問(wèn)題的基本解法,綜合起來(lái)，彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本方程有8個(gè)：2個(gè)平衡微分方程、3個(gè)幾何方程、3個(gè)物理方程。這8個(gè)基本方程中包含8個(gè)未知函數(shù)（坐標(biāo)的未知函數(shù)）：3個(gè)應(yīng)力分量；3個(gè)形變分量；2個(gè)位移分量。基本方程的數(shù)目恰好等于未

8、知函數(shù)的數(shù)目，因此，在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下，從基本方程求解未知函數(shù)是可能的。在實(shí)際求解中，根據(jù)所取基本未知量的不同，彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本解法可以分為兩類：以應(yīng)力為基本未知量的稱為應(yīng)力法；以位移為基本未知量的稱為位移法。,,,2.3 能量原理,系統(tǒng)的能量極值原理指出：在所有滿足內(nèi)部連續(xù)條件和運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件的位移中，滿足平衡方程的位移使系統(tǒng)的總勢(shì)能取駐值。如果駐值是極小值，則平衡是穩(wěn)定的，反之，使系統(tǒng)勢(shì)能取駐值的位移函數(shù)，則是表達(dá)平衡狀態(tài)的微