概率統(tǒng)計課件第1章

1、第1章 隨機事件及概率,第1章 隨機事件及概率,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,2,§1.1 隨機事件及其運算§1.2 事件的頻率與概率§1.3 古典概型和幾何概型§1.4 條件概率§1.5 事件獨立性,第1章 隨機事件及概率,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,3,1. 確定性現(xiàn)象（決定性現(xiàn)象）：在一定條件下必

2、然發(fā)生(或必然不發(fā)生)某一確定結(jié)果的現(xiàn)象．如 “早晨，太陽從西方升起”；“同性電荷互相吸引”．,2. 隨機現(xiàn)象：在一定條件下可能出現(xiàn)多種結(jié)果，但事先又不能肯定出現(xiàn)哪種結(jié)果的現(xiàn)象．例如：“拋擲一枚均勻硬幣，可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面，擲前無法確定會出現(xiàn)哪一面”； “幸運抽獎時，一張獎券可能中獎，也可能不中獎，事前無法預(yù)知” ．,自然界的現(xiàn)象可以分為如下兩種：,1.1.1隨機試驗,在相同條件下，對隨機現(xiàn)象進行大量重復(fù)性試驗，各種結(jié)果出現(xiàn)的

3、可能性會呈現(xiàn)出某種規(guī)律性，這就叫做隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.,(1)在相同的條件下可以重復(fù)進行； （可重復(fù)性）,(2)每次試驗的可能結(jié)果不止一個，且在試驗之前已知道試驗的所有可能結(jié)果；（不唯一性）,(3)進行一次試驗前不能確定將會出現(xiàn)何種結(jié)果．(不確定性）,定義1 具有下述3個特點的試驗稱為隨機試驗，簡稱試驗，用E表示 ．,§1.1 隨機事件及其運算,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,4,E7：在

4、單位圓中任取一點，記錄其坐標(biāo).,E1：上拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況；,E2：上拋兩枚硬幣并觀察出現(xiàn)正面和反面的情況；,E3：擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)；,E4：在一班級選一學(xué)生,觀察其高數(shù)期末考試的得分;,E5：記錄某市110報警臺每天收到的報警電話數(shù);,E6：從一批電子元件中任取一只，測試其使用壽命；,例1 下面列舉一些隨機試驗的例子：,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,5,例2 在

5、例1中各隨機試驗對應(yīng)的樣本空間分別為:,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,6,定義2 隨機試驗E中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間，記為Ω．樣本空間的元素稱為樣本點，記為ω，即有Ω={ω} ．,1.1.2 樣本空間,Ω1={H，T}，H={出現(xiàn)正面}，T={出現(xiàn)反面}；,Ω2={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)};,Ω3={0, 1, 2,… 6 }；,Ω4={0, 1, 2

6、,… 100 }；,Ω5={0, 1, 2, 3,… }；,Ω6={ t | 0≤t ≤ T}，T為這批元件最長使用壽命；,Ω7={ (x,y) | x2+y2≤1}.,根據(jù)樣本點數(shù)不同,樣本空間可分為有限集或無限集.,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,7,定義3 隨機試驗E的樣本空間Ω的子集為E的隨機事件，簡稱事件，常用大寫字母A，B，C，……表示．在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個樣本點出現(xiàn)時就

7、稱這一事件發(fā)生．,1.1.3 隨機事件,一個樣本點組成的單點集合，稱為基本事件，例如，試驗E1有兩個基本事件{H}和{T}；試驗E3有6個基本事件{0}，{1}，…，{6} ．,定義4 每次試驗都必然發(fā)生的事件稱必然事件,也即樣本空間Ω;每次試驗都必然不發(fā)生的事件稱為不可能事件,也即空集.,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,8,定義5 如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件A包含于B或事件B包含A

8、，記作A? B或B ?A。,1.1.4 事件的關(guān)系與運算,設(shè)Ω為試驗E的樣本空間，而A、B、Ak是Ω的子集．,定義6 若A ?B且B ? A，則稱事件A與B相等, 記作A=B．即A、B中含有相同的樣本點。,定義7 “事件A與B中至少有一個發(fā)生”稱為事件A與B的和或并，記作A∪B。,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,9,定義8 “事件A與事件B同時發(fā)生”稱為事件A與B的積或交，記作A∩B或AB 。,定

9、義9 若事件A與B不可能同時發(fā)生，則稱事件A與B互不相容或互斥，即AB= ?,也就是說AB是一個不可能事件.,定義10 若事件A與B滿足條件A∪B=Ω，AB= ? ，則稱事件A與B互為對立事件或互為逆事件．常將A的對立事件,定義11 由屬于事件A而不屬于事件B的樣本點組成的集合稱為事件A與B的差,記作A-B。,多個事件的并： “n個事件A1, A2, …, An中至少有一個發(fā)生”也是一事件，稱為事件A1, A2, …, A

10、n的和或并，記作,“可列個事件A1, A2, …, An …中至少有一個發(fā)生”也是一事件,稱為A1, A2, …, An …的和或并，記作,,多個事件的交： “n個事件A1, A2, …, An同時發(fā)生”也是一事件，稱為事件A1, A2, …, An 的交或積，記作,“可列個事件A1, A2, … , An … 同時發(fā)生”也是一事件, 稱為A1, A2, …, An …的交或積，記作,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出

11、版社, 2014.2,10,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,11,例3 拋擲一枚骰子，觀察其點數(shù)的情況. 設(shè)A={出現(xiàn)的點數(shù)是6}，它是一個基本事件；設(shè)B表示出現(xiàn)偶數(shù)點的事件，則B是一個隨機事件；設(shè)C={出現(xiàn)的點數(shù)不超過6}，因為任何一次試驗其結(jié)果都不超過6，所以C是一個必然事件，即C= Ω ；設(shè)D={出現(xiàn)的點數(shù)是7}，顯然它是不會發(fā)生的，是一個不可能事件，即D=Φ .,.,例4 如例3中拋擲

12、骰子試驗中，有 ，若再設(shè)E={出現(xiàn)的點數(shù)是2,4,6}，則有B=E.,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,12,.,例5 在拋擲骰子的試驗中，記事件A={出現(xiàn)的點數(shù)小于4}，事件B={出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)}，則A∪B={出現(xiàn)的點數(shù)為1，2，3，5}，而AB={出現(xiàn)的點數(shù)是1，3}.,例6 在一個班級中選一名學(xué)生, 觀察他的《高等數(shù)學(xué)》課程期末考試的得分. 令A(yù)=

13、{得分≥60分}，B={得分<60分}，則AB=Φ，且A∪B=Ω，所以B=,.,例7 某種圓柱形零件的長度與外徑都合格時才算合格，事件A表示“長度合格”，事件B表示“外徑合格”. 則差事件A-B表示“長度合格但外徑不合格”.,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,13,事件運算的性質(zhì):,(2) 交換律,(3) 結(jié)合律,(4) 分配律,(5) 對偶律(De. Morgan公式),(1) 冪等律,歐啟通主

14、編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,14,,,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,15,記號 概率論 集合論 Ω 樣本空間, 必然事件 全集 φ 不可能事件 空集 ? 樣本點 元素 A?B A發(fā)生必然導(dǎo)

15、致B發(fā)生 A是B的子集 AB=φ A與B互不相容 A與B無相同元素 A?B A與B至少有一發(fā)生 A與B的并集 AB A與B同時發(fā)生 A與B的交集 A?B A發(fā)生且B不發(fā)生 A與B的差集 A不發(fā)生、對立事件 A的余集,,,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社

16、, 2014.2,16,,,例8 某重型機械廠一周內(nèi)生產(chǎn)了三臺挖掘機，設(shè)事件Ai 表示 “出廠時經(jīng)檢驗第i臺挖掘機合格”，i=1,2,3，試用A1,A2,A3表示下列隨機事件.,1）第1臺挖掘機合格；2）只有第1臺挖掘機合格；3）恰有1臺挖掘機合格；4) 恰有2臺挖掘機合格；5）至少有1臺挖掘機合格；6）至多有1臺挖掘機合格.,解 事件 表示 “出廠時經(jīng)檢驗第i臺挖掘機不合格”，i=1,2,3.,1）這時第2臺，第3臺挖

17、掘機可能合格，也可能不合格. 因此該事件可表示為 A1 ;,.,2）這時只有第1臺挖掘機合格，而第2臺,第3臺挖掘機肯定不合格，因此該事件可表示為,,,,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,17,,,例8 某重型機械廠一周內(nèi)生產(chǎn)了三臺挖掘機，設(shè)事件Ai 表示 “出廠時經(jīng)檢驗第i臺挖掘機合格”，i=1,2,3，試用A1,A2,A3表示下列隨機事件.,1）第1臺挖掘機合格；2）只有第1臺挖掘機合格；3）恰有

18、1臺挖掘機合格；4) 恰有2臺挖掘機合格；5）至少有1臺挖掘機合格；6）至多有1臺挖掘機合格.,.,,解 3）該事件可表示為 ;,4）該事件可表示為 ;,5）該事件可表示為 ;,6）該事件可表示為

19、 .,,,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,18,,,.,,,.,解 1） 表示n個零件全是正品 ;,2） 表示至少有1個零件不是正品 ;,3） 表示僅有1個零件不是正品 .,1.2.1概率的統(tǒng)計定義,定義13 如果在n次重復(fù)試驗中事件A發(fā)生了

20、nA次，則稱nA /n為事件A在n次試驗中發(fā)生的頻率，記為fn(A)，即,§1.2 事件的頻率與概率,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,19,隨機事件發(fā)生的可能性有大小之分,投一枚均勻的骰子，考察下列事件發(fā)生的可能性大?。睿粒匠霈F(xiàn)點數(shù)２，Ｂ＝出現(xiàn)偶數(shù)點，則B比A更容易出現(xiàn)。,fn(A)＝,頻率有以下三個性質(zhì):,(1) 非負性: 0≤fn (A)≤1; (2) 規(guī)范性: fn

21、 (Ω) =1;,(3) 頻率的有限可加性:若A1，A2，…，Am 是兩兩互不相容的事件，則,頻率在某種意義下反應(yīng)了事件發(fā)生的可能性大小。 頻率的缺陷是其取值依賴于具體的試驗。,拋一枚硬幣,觀察事件“正面向上”發(fā)生的規(guī)律。,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,20,大量次的觀察，發(fā)現(xiàn)盡管事件發(fā)生的頻率具有波動性, 但頻率具有穩(wěn)定性,我們稱之為隨機事件的統(tǒng)計規(guī)律性。,頻率具有穩(wěn)定性,定義14 在相

22、同條件下大量重復(fù)進行的n次試驗中，事件A發(fā)生的頻率fn(A)＝ 穩(wěn)定的在某一常數(shù)p附近擺動且隨n越大擺動幅度越小，則稱p為事件A的概率，記作P(A)．,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,21,1.2.2概率的公理化定義,定義15 設(shè)E是隨機試驗，Ω是它的樣本空間，對于E的每一事件A對應(yīng)于一個實數(shù)P(A)，稱P(A)為事件A的概率，若P(A)滿足下列三個條件： (1)非負性:

23、對任意事件A,有 0≤P(A); (2) 規(guī)范性:P(Ω)=1； (3) 可列可加性: 對于兩兩互不相容的事件A1，A2，…，有,利用概率的定義可以推出概率的一些重要性質(zhì)。,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,22,性質(zhì)1,證明: 因為,由可列可加性,故,性質(zhì)2 若A1，A2，…，An為兩兩互不相容的事件，則,由可列可加性有,1.2.3 概率的性質(zhì),歐啟通主編. 概率論

24、與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,23,性質(zhì)3 對于任一事件A，有,證明: 因為,則有,于是有,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,24,則有 P(B－A)= P(B)－P(A).,證明 由于A?B,知 B =A∪(B－A) 且 A (B－A) = Φ, P(B) = P(A)+ P(B－A), 于是 P(B－A) = P(B)－P(A).,性質(zhì)4 設(shè)A，B

25、是兩事件，若A?B,,,性質(zhì)5 Ｐ(B )=Ｐ(B-A)=P(B)-P(AB).,證明 因為 且 ,與性質(zhì)4同理可證得Ｐ(B-A)=P(B)-P(AB).,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,25,證明:由于Φ ? A ? Ω, 根據(jù)單調(diào)性可得 0 ≤ P (A) ≤1.,性質(zhì)6 設(shè)A，B是兩事件

26、，若A?B,則有 P(A)≤ P(B).,,性質(zhì)7 對于任意一個事件A，有0 ≤ P (A) ≤1.,證明:由性質(zhì)4可得 P(B－A) = P(B)－P(A),因為概率的非負性,所以P(A)≤ P(B)成立.,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,26,性質(zhì)8 設(shè)任意兩個事件A、B，則 P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB),證明 由右圖可知

27、 A∪B=A∪(B - AB)且,由概率可加性及性質(zhì)4得 P(A∪B)=P(A)+P(B - AB)=P(A)+P(B) - P(AB）,A(B - AB)=Φ，AB?B,推論1. P(A∪B )≤ P(A)+P(B).,推論2. 設(shè)隨機事件A1, A2, A3 , 則,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,27,推論3 設(shè)A1，A2，…，An 是 n 個隨機事件，則,性質(zhì)9 設(shè)A1，A2，

28、…，An 是任意n 個隨機事件，有,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,28,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,29,.,例10 設(shè)A、B、C是三個事件，若P( )=0.5，P(B)=0.4，P( B)=0.2，求（1）P(AB)；（2）P( )；（3）P(A ∪ B)；(4)P( ).,解 (1)因為

29、 , 所以 ,從而 =0.4-0.2;,(2),，故,,(3),,(4),歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,30,.,,,,,解 A,B,C 都不發(fā)生可以表示為 ,,,,由,,，且已知,,，得,,故,,,,易知,1.3.1 古典概

30、型,定義16 若試驗E具有以下兩個特征： (1)有限性:試驗E的樣本空間僅含有有限個樣本點，即 Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2)等可能性:每個基本事件的發(fā)生是等可能的，即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。則稱這類試驗的數(shù)學(xué)模型為古典概型。,§1.3 古典概型和幾何概型,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,31,設(shè)

31、一個古典概型E的樣本空間Ω中共有n個樣本點,有利于事件A的樣本點數(shù)為nA,那么事件A的概率為：,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,32,例12 將一顆骰子連擲兩次，試求下列事件的概率：(1)兩次擲得的點數(shù)之和為9；(2)第二次擲得6點.,解 將擲骰子兩次看做一次試驗，第一次擲得i點，第二次擲得j點，則樣本空間Ω為：,,顯然共有36個樣本點，因為骰子質(zhì)量均勻，故每個點面朝上是等可能的，從而是古典概型.,設(shè)A

32、表示點數(shù)之和為9，B表示第二次擲得6點，則,,,根據(jù)定義，得,,.,,,,,.,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,33,對于計算第二次擲得點數(shù)為6的概率也可以這樣計算：因為事件B只與第二次擲骰子結(jié)果有關(guān)，而與第一次擲得結(jié)果是沒有關(guān)系的，而第二次擲骰子共有6種情況，且等可能，故,.,古典概型是最難的一類題型，難點在于人們往往不知道如何求樣本點總數(shù)與A中的樣本點數(shù). 下面我們簡述一下加法原理、乘法原理和排列組

33、合的相關(guān)內(nèi)容. 然后再通過一些例子來說明古典概型求概率的方法.,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,34,,1°加法原理：若完成某件事有m類不同方式，第一類方式有n1種完成方法，第二類方式有n2種完成方法， …，第m類方式有nm種完成方法，則完成這件事共有n1 + n2 + … +nm種方法.,2°乘法原理：若完成某件事必須經(jīng)過m個不同步驟，第一個步驟有n1種完成方法，第二個步驟有n2種

34、完成方法，…，第m個步驟有nm種完成方法，則完成這件事共有n1×n2×…×nm種方法.,3°排列：從n個不同元素中任意取出r(1≤r≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同元素中取r個元素的排列. 這時既要考慮取出的元素，又要顧及取出的順序.,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,35,,,.,排列數(shù)：從n個不同元素中取r（1≤r≤n）個元素的所有排列的個數(shù)

35、，記為,排列數(shù) 的計算如下： （1）有放回地選?。好看芜x取都有n種可能，由乘法原理知,.（2）不放回地選?。旱谝淮芜x取有n種可能，第二次選取有n-1種可能，…，第r次有n-r+1種可能，由乘法原理知,.特別地，當(dāng)n=r時，稱為全排列，此時,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,36,,,,,,,,組合數(shù)：從n個不同元素中取r(1≤r≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，記為 .,,,由乘法原理知，排

36、列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系為 . 于是，有,,4°組合：從n個不同元素中任意取出r(1≤r≤n)個元素并成一組，稱為從n個不同元素中取r個元素的組合. 這時只考慮取出的元素，不管取出元素的先后順序.,組合數(shù)有如下性質(zhì)：,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,37,,,,,,,,例13 在0～9的整數(shù)中可重復(fù)地隨機取6個數(shù)字組成六位數(shù)，求下列事件的概率.(1)6個數(shù)字完全不同；(2)6個數(shù)

37、字中不含0和1.,解 從10個數(shù)中允許重復(fù)地取6個數(shù)進行排列，共有9×105種排列方法.,(1)事件A=“6個數(shù)完全不同”的取法有 種，故,,,(2)事件B=“6個數(shù)字中不含0和1”的取法有nB=86種，故,,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,38,,,,,,,,例14 已知一個裝有10只某元件的箱子中，有次品3只. 現(xiàn)在分別按(1)放回抽樣（每次取一只元件，取出后放回）；(2

38、)不放回抽樣（每次取一只元件，取出后不放回）的方式隨機地連續(xù)從箱中取出3個元件.試求事 =“取出3個元件都是正品”和事件 =“2個是正品，1個是次品”的概率.,,,,解 (1)放回抽樣 由于每次元件取出看完后再放回箱子中，所以每次都是從10個元件抽取，樣本空間的樣本點即為從10個元件中每次取一個連取3次的所有可能取法，有103=1000種，即樣本空間的樣本點總數(shù)為1000.,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014

39、.2,39,而B中含有的樣本點數(shù)nB，即是3次抽取中有2次取的是正品中，1次取的是次品的不同取法數(shù)為 =441 ，于是nB=441. 所以,,,,,,,,,,而A中含有的樣本點數(shù)nA，即是每次從7個正品中取出一個，連取3次的不同取法數(shù)為73=343，于是nA=343.所以,,,,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,40,,（2）不放回抽樣 由于每次元件取出之后不再放回，所以第一次有1

40、0個元件可取，任取一個有10種可能取法，第2次只能從剩下的9個元件中抽取，有9種不同取法，類似地，第3次僅有8種不同取法. 因此，樣本空間中的樣本點總數(shù)n=10×9×8=720.,同理，事件A所含的樣本點數(shù)為nA=7×6×5=210，事件B含有的樣本點數(shù)為 =3×7×6×3=378.所以,,古典概型有許多方面的應(yīng)用，都能用這個模型來求解，這些問題

41、大多數(shù)都能形象化地用摸球模型的紅球和白球來描述.,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,41,,例15 設(shè)有n個人，每個人都等可能地被分配到N個房間中的任一間(n≤N)，求下列事件的概率：(1)A={某指定的n間房中各住1個人}；(2)B ={每個人住不同房間}；(3)C={某指定的房間住k個人}.,解 因每個人都有N個房間可供選擇，由乘法原理知：樣本空間中樣本點總數(shù)有Nn種.,(1)安排某指定的n間房間

42、各住1個人，相當(dāng)于對這n個人進行全排列，因A中含有的樣本點數(shù)為n!種，所以，,.,(2)事件B分兩個步驟，首先從N個房間中指定n間房間，有 種，然后再將這n個人安排到已選定的這n個房間，由(1)知有n!種，根據(jù)乘法原理事件B包含的樣本點數(shù)為 ,所以,,.,,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,42,,例15 設(shè)有n個人，每個人都等可能地被分配到N個房間中的任一間(n≤N)，求下列事件的概率：

43、(1)A={某指定的n間房中各住1個人}；(2)B ={每個人住不同房間}；(3)C={某指定的房間住k個人}.,.,.,(3) 事件C分兩個步驟，首先從n個人中選k個人入住指定的房間，有 種方法，然后再將剩下的n-k個人安排到余下的任意一間，有(N-1)n-k種方法. 于是事件C中包含的樣本點數(shù)為 ，所以,,,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,43,,,,,,,,,,,例16

44、 求任意n(n≤365)個人中至少有兩人同一天生日的概率.,,解 記事件A={n個人中至少有兩人同一天生日}. 要直接計算P(A)非常困難，我們可以先計算 . 因 ={n個人中沒有人同一天生日}，若把一年365天中的每一天看成一個房間，某人在某一天生日看成是將某人分進某一房間，這樣 可理解為將n個人分配到不同的房間去. 這樣，,,,,于是,,對n=20,30,40,50，計算的結(jié)果如下表：,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計

45、. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,44,,,,,,,,,,,,,,,例17 某接待站在某一周曾接待過 12 次來訪，已知所有這 12 次接待都是在周二和周四進行的，問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的？,解 不妨假設(shè)接待時間是沒有規(guī)定的，一周內(nèi)的每一天都是有可能的，且是等可能的.據(jù)古典概率，12次接待來訪者都在周二、周四的概率是212/712=0.000000296. 這個值很小，也就是說發(fā)生12次接待來訪者都在周二、周四的可能性很小

46、.,“概率很小的事件在一次試驗中幾乎是不發(fā)生的”，稱之為實際推斷原理. 按此原理，在假設(shè)成立條件下，12次接待來訪者都在周二、周四一般是不會發(fā)生的，但是這個事實卻發(fā)生了，從而假設(shè)是不成立，即接待時間是有規(guī)定的.,古典概型的局限很顯然:它只能用于全部試驗結(jié)果為有限個,且等可能的情況.但在某些情況下,這概率可以稍微延伸到試驗結(jié)果有無窮多的情況,這就是所謂的 “幾何概型”.,古典概型的條件與局限,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出

47、版社, 2014.2,45,1.3.2 幾何概型,定義17 如果隨機試驗E的樣本空間為某一可度量的區(qū)域Ω，并且在Ω中任一子區(qū)域A出現(xiàn)的可能性大小與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與A的形狀和位置無關(guān)，則稱E為幾何概型.,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,46,對于幾何概型E，若其樣本空間Ω為歐氏空間的一個區(qū)域，以m(Ω)表示Ω的幾何度量. A?Ω是Ω中一個可以度量的子集，則隨機事件A的概率為,,歐啟通主編. 概

48、率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,47,,例18 公共汽車每隔10分鐘來一輛，某乘客在任一時刻隨機到達停車站，試求該乘客候車不超過4分鐘的概率.,解 從前一輛公共汽車開走起計算時間，乘客到達車站的時刻t可以是 [0,10)中任一點，即樣本空間為Ω={t|0≤t<10}，因乘客是在任一時刻隨機到達該車站，知乘客到達時刻t均勻分布在Ω內(nèi)，故該問題是幾何概型.,設(shè)A表示“乘客候車不超過4分鐘”事件，則A={t|6≤t&

49、lt;10},故,,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,48,,例19 甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?小時，假定它們在一晝夜的時間段隨機地到達. 試求這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r必須等待的概率.,解 把一晝夜這一時間段以小時為單位記作[0,24)，設(shè)x,y分別表示甲、乙兩艘輪船到達泊位的時刻(單位：小時).于是(x,y)表示一個樣本點. 樣本空間Ω={(x,y)|0≤x<24,0≤y<

50、24}，因此，m(Ω)=242=576.,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,49,,例19 甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?小時，假定它們在一晝夜的時間段隨機地到達. 試求這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r必須等待的概率.,設(shè)事件A表示“這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r必須等待”.事件A也可等價地表示為“這兩艘船到達泊位的時間差不超過6小時”.,于是，A={(x,y)||x-y|≤6}，因此，m(A)=

51、242-(24-6)2=252， 所以由幾何概率的計算公式有,,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,50,,,例20 在400毫升的水中有一隨機游動的大腸桿菌, 今從中任取2毫升水, 試求在這2毫升中發(fā)現(xiàn)該大腸桿菌的概率.,解 設(shè)事件A為“在所取的2毫升中發(fā)現(xiàn)大腸桿菌”, 則當(dāng)大腸桿菌落入該特定的2毫升中時, 稱事件A發(fā)生. 顯然,試驗的可能結(jié)果, 即樣本點總數(shù)有無窮多，并且每一樣本點出現(xiàn)具有等

52、可能性: 即該大腸桿菌處在這400毫升水中的任何一點上是等可能性的,并且它落入某特定的一部分水中的可能性大小與這一部分水的體積成正比, 而與這一部分水在400毫升水中所處的位置無關(guān). 于是,,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,51,,,,,.,,,古典概型與幾何概型是兩類最基本的概率模型, 其不同點在于樣本點是有限個還是無限個,相同點則是樣本點的發(fā)生都具有等可能性，我們稱具有這種性質(zhì)的概率模型為等可能概型

53、，兩者概率求法公式類似,可大致地記為部分量除以總量.,1.4.1 條件概率與乘法公式,§1.4 條件概率,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,52,例21 將一枚硬幣拋擲2次，觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況. 設(shè)事件A為“至少有1次出現(xiàn)正面H”, B為“2次擲出同一面”. 求事件A已經(jīng)發(fā)生的情況下事件B發(fā)生的概率.,解 將一枚硬幣拋擲2次，觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況.這個試驗的樣本空間為Ω

54、={HH,HT,TH,TT}，A={HH,HT,TH}, B={HH,TT}，顯然，這是古典概型.,在事件A已經(jīng)發(fā)生的情況下，則“TT”就不能發(fā)生了，因此試驗所有的可能結(jié)果所組成的集合就是A. A中有3個元素，其中只有HH∈B，于是，事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率P(B|A)=1/3.,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,53,,,,,,在這里，我們看到 .另外，我

55、們注意到， ,于是有,,,在例21中，有 .在更一般的情況下，我們給出條件概率的定義.,定義18 設(shè)A, B為隨機試驗E 的兩個事件，且P(A)＞0，則稱,為在事件 A已發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率.,條件概率P(·|A)符合概率公理化定義的三個公理，即(1)非負性 P(B|A)≥0；(2)規(guī)范性 P(Ω|A)=1；

56、(3)可列可加性 設(shè)B1,B2,…是可列個兩兩互不相容的事件，則,,由此可知，概率的有關(guān)性質(zhì)，對條件概率也都適用.,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,55,,,,,,,例22 某年級有學(xué)生180人，其中男生100人，女生80人，男女生中黨員人數(shù)分別有20人和5人.現(xiàn)從該年級中選一名同學(xué)，求：(1)該生為黨員的概率是多少？(2)若已知選出的是女生，她是黨員的概率又是多少？,解 設(shè)A=“任選一名為女生”，B

57、=“任選一名學(xué)生為黨員”，由題設(shè)可得(1) ;,,（2）就是要求在“已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生”的概率，用條件概率公式，有,,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,56,,,,,.,,,,,,,,,此題也可以用縮小樣本空間的方法來做. 既然已知選出的是女生，那么男生就可排除在考慮范圍之外，因此“事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生”就相當(dāng)于在全部女生中任選一人，并選出黨員. 從而Ω

58、A樣本點總數(shù)不再是原樣本空間Ω的180人，而是全體女生數(shù)80人，而上述事件中包含的樣本點數(shù)就是女黨員數(shù)5人，因此所求概率為,.,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,57,,,.,,,,,,,,,,綜上, 計算條件概率有兩種方法: (1) 設(shè)E是一個試驗, 其樣本空間為Ω,A,B為E的事件, 可先計算P(A)，P(AB)，再按(1-3)式求得P(B|A). (2) 若在原來試驗E的基礎(chǔ)上,再加上事

59、件A發(fā)生的條件,便可在減縮了的樣本空間ΩA中計算事件B發(fā)生的概率,從而得到P(B|A).,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,58,,例23 設(shè)一袋中有10個球, 其中3個白球，7個紅球, 先后從袋中不放回兩次從袋中摸球.(1)第一次取到白球的概率.(2)已知第一次取到的是白球，求第二次取到的仍是白球的概率.,解 記事件A為“第一次取到的是白球”，事件B為“第二次取到的是白球”,則由古典概型知(1)P(

60、A)=3/10;,（2） ,從而,.,在縮減了的樣本空間ΩB中考慮，即從直觀上來看，第一次取到一個白球，那么還剩9個球，其中白球只有2個了，故當(dāng)?shù)谝淮稳〉桨浊蚝?，第二次取到白球的概率等?.,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,59,,定義19 設(shè)有兩個事件A、B，若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A)，或者當(dāng)P(B)>0時，有P(AB)=P(B)P

61、(A|B)成立，稱它們?yōu)槌朔ü?,由條件概率的定義可得：,一般地，設(shè)有n個事件A1,A2,…,An，且P(A1A2…An-1)>0，則,,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,60,,,,例24 設(shè)一批電子元件共100個,其中有10個次品，采用不放回地抽取3次，每次抽一個，求第3次才抽到合格品的概率.,解 設(shè)事件Ai(i=1,2,3)為“第i次抽到合格品”，則有,,,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計.

62、 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,61,,,,例25 簽筒中放有10支簽，其中只有一支是“好”簽. 10人依次隨機地從中取走一簽，求第i(i=1,2,…,10)人抽得“好”簽的概率.,解 設(shè)Ai(i=1,2,…,10)表示第i人抽得“好”簽.,,,,,…,所以,.,這道題的結(jié)果說明了抽簽問題是與抽簽的順序無關(guān)的，是公平的.,定理1 設(shè)試驗Ｅ的樣本空間為Ω，設(shè)事件A1，A2，…，An為樣本空間Ω的一個劃分，且P(Ａi)>0

63、(i =1,2, …,n)． 則對任意事件B，有,B,證明 因為Ai Aj = ? （i≠j）,按概率的可加性及乘法公式有,1.4.2 全概率公式,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,62,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,63,,,,例26 某工廠的甲、乙、丙車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)量依次占總產(chǎn)量的30%、30%、40%，而三個車間的產(chǎn)品次品率分別為5%、3%、2%. 現(xiàn)從

64、該廠產(chǎn)品中隨機抽取一件，試求該產(chǎn)品是次品的概率.,解 設(shè)Ai (i=1,2,3)分別表示取到甲、乙、丙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，B表示取到的產(chǎn)品是次品，則A1,A2,A3為Ω的一個劃分.,由題意知,,,由全概率公式有,,,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,64,,,,例27 播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子，1.5%的三等種子，1%的四等種子，用一等、二等、三等、四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別

65、為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率.,解 設(shè)從這批種子中任選一顆是一等、二等、三等、四等種子的事件分別為A1,A2,A3,A4，則它們構(gòu)成樣本空間的一個劃分，用B表示在這批種子中任選一顆，且這顆種子所結(jié)的穗含有50粒以上麥粒的事件，則由全概率公式,,,乘法公式是求“幾個事件同時發(fā)生”的概率；全概率公式是求“最后結(jié)果”的概率；貝葉斯公式是已知“最后結(jié)果” ，求“原因”的概率.,貝葉斯公式

66、,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,65,定理2 設(shè)A1，A2，…，An為樣本空間Ω的一個劃分，且P(Ai)>0（i=1,2,…,n），則對于任何一事件B ( P(B)>0), 有,于是 （j=1，2，…，n）。,事實上，由條件概率的定義及全概率公式,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,66,歐啟通主編

67、. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,67,,,,例28 (續(xù)例26)某工廠的甲、乙、丙車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)量依次占總產(chǎn)量的30%、30%、40%，而三個車間的產(chǎn)品次品率分別為5%、3%、2%.若某次抽得的一件是次品，則這件產(chǎn)品是甲車間生產(chǎn)的概率.,解,,,,,,,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,68,,,,例29 據(jù)調(diào)查某一地區(qū)患有癌癥的人占0.0003，患者對一種試驗反應(yīng)是陽

68、性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04，今有一人檢查結(jié)果為陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?,解 設(shè)事件A={居民患有癌癥}，B={試驗結(jié)果為陽性}，由題意有,,于是可得,,由貝葉斯公式，可得,,,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計. 浙江大學(xué)出版社, 2014.2,69,,,,這表明在檢查結(jié)果為陽性的人中，真患癌癥的人只有0.708%，還不到1%，為什么檢驗法的準(zhǔn)確率這么高（達到95%），失誤的概率也很?。ú?%

69、），可檢驗結(jié)果卻非常值得懷疑呢？,事實上，由于在人群中未患這種病的人占到了99.97%，因此檢驗為陽性者中還是未患癌癥的人居多.,在實際中，一般先用簡易辦法排查掉大量明顯不是患者的人，當(dāng)醫(yī)生懷疑某人有可能是患癌癥時，才建議用這種檢驗法. 這時被懷疑的對象中患癌癥的概率已大幅提高了，如P(A)=40%，再用貝葉斯公式計算，可得P(A|B)≈94.06%，這樣就大大提高了檢驗法的準(zhǔn)確率.,例30 一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試，第一次及