數(shù)學(xué)史04古代巴比倫數(shù)學(xué)

1、古代巴比倫數(shù)學(xué),,,,古巴比倫（美索不達(dá)米亞）兩河流域（幼發(fā)拉底河與 底格里斯河）伊拉克美索不達(dá)米亞文明楔形文字,,泥板符號 楔形文字在發(fā)掘出來的50萬塊泥板中，約有400塊是數(shù)學(xué)泥板，其中記載有數(shù)字表和數(shù)學(xué)問題。,1 古巴比倫的記數(shù)制,59記作古巴比倫人的記數(shù)系統(tǒng)是60進(jìn)制1854年 森開萊泥板 1,4,9,16,25,36,49,1·4,1·21…直到58·1

2、 表示2×602+2×60+2=7322,1 古巴比倫的記數(shù)制,古巴比倫人的這種記數(shù)法并不完善。他們用留空位的辦法代表零。古巴比倫人也使用分?jǐn)?shù)，他們總是用60作為分母。古巴比倫人的分?jǐn)?shù)系統(tǒng)是不成熟的。要弄清巴比倫數(shù)字的真正數(shù)值還必須聯(lián)系上下文，依靠智力進(jìn)行推定。,1 古巴比倫的記數(shù)制,為什么要采用六十進(jìn)位制呢？推測一般認(rèn)為60是許多簡單數(shù)字如2,3,4,5, 6,10,12, …的公倍數(shù)

3、，它可以使一些較大單位的1/2,1/3,2/3,1/10…的小單位，在轉(zhuǎn)化為較大單位時成為整數(shù)。也有的認(rèn)為60=12×5，12是一年包含的月數(shù)，5是一只手的手指數(shù)。,2 古巴比倫的算術(shù),與古埃及人相仿，古巴比倫人的算術(shù)運(yùn)算也是借助于各種各樣的表來進(jìn)行的。大約有200塊是乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表，甚至還有指數(shù)表。為了便于計(jì)算，他們大約在公元前2000年以前已經(jīng)編制了從1×1到60×60的乘法表，并

4、用來進(jìn)行乘法運(yùn)算了。倒數(shù)表用于把除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行，經(jīng)常要使用分?jǐn)?shù)。,2 古巴比倫的算術(shù),指數(shù)表和插值法一起用來解決復(fù)利問題的。設(shè)有本金為1，利率為20%，問需要多久即可使利息與本金相等。這需要求解指數(shù)方程(1+20%)x=2。解的結(jié)果是x=4年減去（2+33/60+20/602）月。,3 古巴比倫的代數(shù),在公元前2000年前后，古巴比倫數(shù)學(xué)已出現(xiàn)了用文字?jǐn)⑹龅拇鷶?shù)問題。可能由于許多代數(shù)問題都與幾何有關(guān)，因此他們常常用“長”，“

5、寬”，“面積”來代表未知數(shù)和它們的乘積等。,3 古巴比倫的代數(shù),英國大不列顛博物館13901號泥板“我把我的正方形的面積加上正方形邊長的三分之二得35/60，求該正方形的邊長。”這個問題相當(dāng)于求解方程x2+2/3x=35/60。泥板上的解法這一解法相當(dāng)于將方程x2+px=q的系數(shù)代入公式x=√(p/2)2+q-p/2求解，只不過在計(jì)算時用的是60進(jìn)制。,3 古巴比倫的代數(shù),耶魯大學(xué)的一塊泥板已知依幾布姆比依古姆大7。問依幾布姆

6、和依古姆各為多少？,3 古巴比倫的代數(shù),古巴比倫人那時可能已經(jīng)知道某些類型的一元二次方程的求根公式。由于他們沒有負(fù)數(shù)的概念，二次方程的負(fù)根不予考慮。至于他們是如何得到上述這些解法的，泥板書上沒有具體說明。他們還討論了某些三次方程和雙二次方程的解法。在一塊泥板上，他們給出這樣的數(shù)表，它不僅包含了從1到30的整數(shù)的平方和立方，還包含這個范圍的整數(shù)組合n3+n2，專家經(jīng)研究認(rèn)為，這個數(shù)表是用來解決形如x3+x2=b的三次方程的。,3 古巴比

7、倫的代數(shù),洛佛爾博物館的一塊泥板兩個級數(shù)問題,3 古巴比倫的代數(shù),非完全平方數(shù)的平方根 √2≈17/12、1/√2≈17/24。耶魯?shù)?289號泥板 √2：1+24/60+51/602+10/603≈1.4142155程序化算法 開方根設(shè)x=√a是所求平方根，并設(shè)a1是這根的首次近似；由方程b1=a/a1求出第二次近似b1，若a1偏小，則b1偏大，反之亦然。取算術(shù)平均值a2=1/2(a1+b1)為下一次近似，因?yàn)閍2總是偏

8、大，再下一步近似b2=a/a2必偏小，取算術(shù)平均a3=1/2(a2+b2)將得到更好的結(jié)果。這一程序?qū)嶋H上可以無限繼續(xù)下去。還沒有根據(jù)證明他們已經(jīng)認(rèn)識了無理數(shù)。,3 古巴比倫的代數(shù),普林頓322號泥板勾股數(shù)表參數(shù)式： x=2uv，y=u2-v2，z=u2+v2而這正是在一千多年以后古希臘數(shù)學(xué)中一個極為重要的成就。,4 古巴比倫的幾何,在古巴比倫人的心目中，幾何是不重要的，因?yàn)閷?shí)際中的幾何問題都很容易轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。古巴比倫人

9、的幾何知識，與他們在代數(shù)學(xué)上所取得的成就來比，相對地要遜色得多。巴比倫幾何學(xué)的主要特征是它的代數(shù)性質(zhì)，一些比較復(fù)雜的問題雖然以幾何術(shù)語來表達(dá)，但實(shí)質(zhì)上還是一些特殊的代數(shù)問題。,4 古巴比倫的幾何,他們的面積和體積計(jì)算是按照一些固定的法則和公式給出的。例如古巴比倫人在公元前2000年到公元前1600年，就已熟悉了長方形、直角三角形、等腰三角形以及直角梯形面積的計(jì)算。他們還掌握了長方體以及特殊梯形為底的直棱柱體體積計(jì)算的一般規(guī)則，他們

10、知道取直徑的三倍為圓周的長，取圓周平方的1/12為圓的面積，還用底和高相乘求得直圓柱的體積。,4 古巴比倫的幾何,在泥板中有足夠的證據(jù)表明，古巴比倫人還有把相當(dāng)復(fù)雜的圖形拆成一些簡單圖形的組合的本領(lǐng)。但他們錯誤地認(rèn)為，圓臺和棱臺的體積是兩底之和的一半與高的乘積。這一事實(shí)表明，古巴比倫的計(jì)算方法還是經(jīng)驗(yàn)型的，這些結(jié)果都沒有經(jīng)過證明。,4 古巴比倫的幾何,古巴比倫人的幾何與古埃及人的幾何有一個共同的缺陷，即對準(zhǔn)確公式與近似關(guān)系混淆不清。

11、四邊形面積正四棱臺體積,4 古巴比倫的幾何,圓周率π為31936年在離巴比倫城300多公里的蘇薩地方出土的一塊泥板給出了正方形與其外接圓周長之比等于0；57，36采用3-1/8作為π的近似值,4 古巴比倫的幾何,勾股定理的廣泛使用。有一塊泥板上有這樣一個問題：倚墻而立的木桿長0；30尺，若上端下滑0；6尺，問其下端將移離墻多遠(yuǎn)？作者運(yùn)用勾股定理求出了正確答案0；18。,,人教社版《數(shù)學(xué)》,,北師大版《數(shù)學(xué)》,5 古巴比倫的天文

12、學(xué),在公元前5000年到公元前4000年間，古巴比倫人就已開始使用年、月、日的天文歷法。他們的年歷是從春分開始的，一年有12個月，每月有30天，每6年加上第13個月作為閏月。圓周分為360度，每度60分，每分60秒，1小時60分，1分60秒的記法，也是來自古巴比倫。,5 古巴比倫的天文學(xué),一個星期有7天，這7天是以太陽、月亮和金、木、水、火、土七星來命名的，每個星神主管一天。所謂“星期”也就是指星的日期。我們現(xiàn)在的“星期制”就是

13、在古巴比倫時代所創(chuàng)立的，這種表示方法在今天的英語單詞中還能找到一些痕跡。,6 小結(jié),古巴比倫和古埃及數(shù)學(xué)的內(nèi)容都與那個地區(qū)的社會和生活的需要密切相關(guān)。古巴比倫人對天文學(xué)的研究比較感興趣，因此，相對而言，他們的以60進(jìn)位記數(shù)法為基礎(chǔ)的算術(shù)與代數(shù)較為領(lǐng)先。而古埃及人偏重于測量與建筑施工，因而他們的幾何成果比較突出。這些表明，數(shù)學(xué)從她的萌芽之日起，就是以實(shí)際需要為基礎(chǔ)的，離開了實(shí)際需要，數(shù)學(xué)研究就缺少了直接動力，數(shù)學(xué)也就不能迅速發(fā)展了。

14、,6 小結(jié),需要指出的是，在古巴比倫或古埃及的數(shù)學(xué)中，雖然出現(xiàn)了一些令人信服的數(shù)學(xué)和重要的公式，但他們的數(shù)學(xué)知識還僅僅表現(xiàn)為對于一些實(shí)際問題觀察的結(jié)果以及某些經(jīng)驗(yàn)的積累，數(shù)學(xué)學(xué)科所特有的邏輯思維與理論概括甚至還未被他們覺察，更談不上掌握了。,6 小結(jié),M.克萊因《古今數(shù)學(xué)思想》“按這個標(biāo)準(zhǔn)說，埃及人和巴比倫人好比粗陋的木匠，而希臘人則是建筑大師?！闭嬲茖W(xué)意義下的理性數(shù)學(xué)，是由希臘人為我們提供的。大約公元前6世紀(jì)在地中海沿岸，那里