2015模糊數(shù)學(xué)-王冰冰

1、2015.05,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2015建模專題講座模糊數(shù)學(xué)數(shù)理部王冰冰,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,一、模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識二、模糊聚類分析三、模糊識別四、模糊綜合評價,2015.05,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,引言,用數(shù)學(xué)的眼光看世界，可把我們身邊的現(xiàn)象劃分為：確定性現(xiàn)象：如水加溫到100oC就沸騰，這種現(xiàn)象的規(guī)律 性靠經(jīng)典數(shù)學(xué)去刻畫； 隨機(jī)現(xiàn)象：如擲篩子，觀看那一面向上，這種現(xiàn)象的規(guī)律

2、 性靠統(tǒng)計(jì)學(xué)去刻畫;模糊現(xiàn)象：如“今天天氣很熱”，“小伙子很帥”， … 等等。 此話準(zhǔn)確嗎？有多大的水分？靠模糊數(shù)學(xué)去刻畫。模糊數(shù)學(xué)——研究和揭示模糊現(xiàn)象的定量處理方法。,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,如：你某時到某地去接一個“大胡子. 高個子. 長頭發(fā). 戴寬邊黑色眼鏡的中年男子”，盡管提供的只有一個精確的信息——男人，而其它的信息——大胡子. 高個子. 長頭發(fā). 戴寬邊黑色眼鏡. 中年男人都是模糊的

3、，但你對這些模糊概念經(jīng)過頭腦的綜合分析判斷就可以接到這個人。,應(yīng)用范圍：,農(nóng)業(yè)，林業(yè)，氣象，環(huán)境，地質(zhì)勘探，醫(yī)學(xué)，經(jīng)濟(jì)管理等,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,模糊數(shù)學(xué)的誕生,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,從精確到模糊,精確答案確定：要么是，要么不是f : A → {0,1}他是學(xué)生？他不是學(xué)生？模糊答案不定：也許是，也許不是，也許介于之間μA : U → [0,1]他是成年人？他不是成年人？他大概是成年

4、人？,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,定義:設(shè)U是論域，稱映射 A(x)：U→[0,1]確定了一個U上的模糊子集A，映射A(x)稱為A的隸屬函數(shù)，它表示x對A的隸屬程度. 使A(x) = 0.5的點(diǎn)x稱為A的過渡點(diǎn)，此點(diǎn)最具模糊性. 當(dāng)映射A(x)只取0或1時，模糊子集A就是經(jīng)典子集，而A(x)就是它的特征函數(shù). 可見經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊情形.,第一節(jié) 模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識

5、,一、模糊集合論的基礎(chǔ)知識,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,這幾個圖型相對于圓的隸屬度,,a,b,c,d,e,A為圓：,U={a,b,c,d}稱為論域,uA(a)=1uA(b)=0.9uA(c)=0.4uA(d)=0.2uA(e)=0稱為U在A上的隸屬函數(shù),2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,模糊集并不再回答“是或不是”的問題，而是對每個對象給一個隸屬度，所以與經(jīng)典集有本質(zhì)區(qū)別。而且與隸屬函數(shù)是捆綁一起的，所以

6、可以不做區(qū)分。,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：,（1）Zadeh表示法,這里 表示 對模糊集A的隸屬度是 。,,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,（3）向量表示法,（2）序偶表示法,若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,例 設(shè)論域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160),

7、x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(單位：cm)表示人的身高，那么U上的一個模糊集“高個子”(A)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為,也可用Zadeh表示法：,還可用向量表示A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1).,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2、模糊集的運(yùn)算,定義：設(shè)A，B是論域U的兩個模糊子集，定義,相等：,包含：,并：,交：,余：,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,U = {

8、甲, 乙, 丙, 丁}A = “矮子”隸屬函數(shù) A= (0.9, 1, 0.6, 0)B = “瘦子”隸屬函數(shù) B= (0.8, 0.2, 0.9, 1)找出 C = “既矮又瘦”C = A∩B =(0.9∧0.8,1∧0.2，0.6∧0.9, 0∧1 ) = ( 0.8, 0.2, 0.6, 0)甲和丙比較符合條件,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,幾個常用的算子：,（1）Zadeh算子,（2）

9、取大、乘積算子,（3）環(huán)和、乘積算子,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,（4）有界和、取小算子,（5）有界和、乘積算子,（6）Einstain算子,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,3、模糊矩陣,（1）模糊矩陣間的關(guān)系及運(yùn)算,定義：設(shè) 都是模糊矩陣，定義,相等：,包含：,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,并：,交：,余：,例：,2014.7.27,洛

10、陽理工學(xué)院數(shù)理部,（2）模糊矩陣的合成,例：,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,式中“○”表示矩陣的合成運(yùn)算，類似矩陣乘法運(yùn)算，但要將元素的相乘改為求最小值、相加改為求最大值。例如:,矩陣乘法運(yùn)算,矩陣○運(yùn)算,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,（3）模糊矩陣的轉(zhuǎn)置,（4）模糊矩陣的 截矩陣,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,例：,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,二、隸屬函數(shù)的確定,1、模糊統(tǒng)計(jì)法(了

11、解),模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的四個要素：,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,特點(diǎn)：在各次試驗(yàn)中， 是固定的，而 在隨機(jī)變動。,模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)過程：,（1）做n次試驗(yàn)，計(jì)算出,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2.指派方法(常用) 指派方法是一種主觀的方法，它主要根據(jù)人們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，來確定某些模糊集的隸屬函數(shù)。如果模糊集定義在R上，則模糊集的隸屬函數(shù)稱為模糊分布。指派方法就是根據(jù)問題的性質(zhì)主觀的選用某些形式的模糊分布，

12、再依據(jù)實(shí)際測量數(shù)據(jù)確定其中所包含的參數(shù)。常見的模糊分布有 1.矩形分布 4. Γ 型分布 2.梯形分布 5.正態(tài)型分布 3.k次拋物型分布 6.柯西型分布 這些類型所對應(yīng)的具體函數(shù)詳見《數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用》（韓中庚）。,① 偏小型模糊分布一般適合于描述像“小，少，淺，淡，冷，疏，青年”等偏小的程度的模糊現(xiàn)象。 ② 偏大型模糊分布一般適合于描述像“大,多，

13、深，濃，熱，密，老年”等偏大的程度的模糊現(xiàn)象。 ③ 中間型模糊分布一般適合于描述像“中，適中，不太多，不太少，不太深，不太濃，暖和，中年”等處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象。,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,1.矩形型,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2.梯形型(常用),2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,“老年”50歲以下不是老年70歲以上是老年年齡越大，被認(rèn)為是老年的根據(jù)越

14、充分,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,3.K次拋物型,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,4. 型,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,5.正態(tài)型(常用),2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,6.柯西型,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,3、其它方法,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,第二節(jié) 模糊聚類分析,在科學(xué)技術(shù)，經(jīng)濟(jì)管理中常常需要按照一定的標(biāo)準(zhǔn)（相似程度或親疏關(guān)系）進(jìn)行分類。對所研究的事物按

15、一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)方法稱為聚類分析，它是多元統(tǒng)計(jì)“物以類聚”的一種分類方法。然而，在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理中有許多事物的類與類之間并無清晰的劃分，邊界具有模糊性，它們之間的關(guān)系更多的是模糊關(guān)系。對于這類事物的劃分，就應(yīng)該用模糊數(shù)學(xué)的方法，我們把應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法進(jìn)行的聚類分析，稱為模糊聚類分析.,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,所謂模糊聚類方法，就是依據(jù)模糊矩陣將所研究的對象進(jìn)行分類的方法，對于不同的置信水平λ∈[0,1]，可得

16、到不同的分類結(jié)果，從而可以形成動態(tài)聚類圖。模糊聚類的基本步驟： 1）數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理 2）建立模糊相似矩陣 3）聚類分析,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,一、基本概念及定理,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,自反性可推出：,與傳遞性：,結(jié)合，可得到：,模糊等價矩陣實(shí)際滿足:,傳遞性的理解：,若xi與xk有關(guān)系R，xk與xj有關(guān)系R，則xi與xj有關(guān)系R，這種關(guān)系可以理解為大于等于某個閾值λ，在傳遞性

17、下，,等價布爾矩陣是一種普通關(guān)系，在傳遞性條件下，是可以分類的，即rij=1，則xi與xj為一類。我們要分類必須將模糊等價矩陣轉(zhuǎn)化為等價布爾矩陣。所以引入λ截矩陣。,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,例：設(shè)　　　　　　　　　　對于模糊等價矩陣,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,實(shí)際應(yīng)用中建立一個模糊等價矩陣式不容易的，傳遞性不易滿足。,2

18、014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,當(dāng)?shù)谝淮纬霈F(xiàn) 時， 即為所求。,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,例：設(shè)有模糊相似矩陣,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,二、模糊聚類的一般步驟,1、建立數(shù)據(jù)矩陣,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,（1）標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,（2）極差正規(guī)化,（3）極差

19、標(biāo)準(zhǔn)化,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2.建立模糊相似矩陣 設(shè)論域Ｕ={x1,x2, …,xn}，xi={xi1,xi2, …,xin}， 如果xi與xj之間的相似程度為rij=Ｒ(i, j)，則稱之為相似系數(shù)。R=(rij)n×n稱為相似系數(shù)矩陣。,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,（1）相似系數(shù)法,①夾角余弦法,②相關(guān)系數(shù)法,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,（2）距離法,①Hamming距離,

20、②Euclid距離,③Chebyshev距離,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,（3）貼近度法,①最大最小法,②算術(shù)平均最小法,③幾何平均最小法,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,3、聚類并畫出動態(tài)聚類圖,（1）模糊傳遞閉包法,步驟：,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,解：,由題設(shè)知特性指標(biāo)矩陣為,采用最大值規(guī)格化法將數(shù)據(jù)規(guī)格化為,2014

21、.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,用最大最小法構(gòu)造模糊相似矩陣得到,用平方法合成傳遞閉包,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,取 ，得,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,取 ，得,取 ，得,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,取 ，得,取 ，得,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,X=[80 10 6 2;50 1 6

22、 4;90 6 4 6;40 5 7 3;10 1 2 4],輸出動態(tài)聚類圖如下：,調(diào)用函數(shù)：F_Jlfx(3,5,X),2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,模糊聚類分析方法 - 講義教程 - 道客巴巴http://www.doc88.com/p-996239848582.html,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,模型識別：根據(jù)研究對象的某種特征對其進(jìn)行分類，得到一組標(biāo)準(zhǔn)模式，對于一個確定的對象識別它屬于哪一類的問題。它有

23、兩個本質(zhì)特征：一是事先給定若干標(biāo)準(zhǔn)模型（標(biāo)準(zhǔn)模型庫），二是有待識別的對象.模糊模型識別：指在模型識別中，標(biāo)準(zhǔn)模型庫中提供的模型和被識別的對象至少有一個是用模糊集表示的.,第三節(jié) 模糊模式識別,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,一、最大隸屬原則,最大隸屬原則Ⅰ：,最大隸屬原則Ⅱ：,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,,原則Ⅰ的例子。 在論域U=[0,100](分?jǐn)?shù))上確定三個代表

24、學(xué)習(xí)成績的模糊集 A =“優(yōu)”，B =“良”，C =“差”。當(dāng)某學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?yōu)?8分時，該學(xué)生的數(shù)學(xué)成績該評為優(yōu)、良、還是差？,為此，要先建立模糊集 隸屬函數(shù)。有人用指派法建立了論域U上模糊集 的隸屬函數(shù)為:,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,把x=88分別代入上述三個隸屬函數(shù)，得: 據(jù)原則Ⅰ，88分相對三個模型應(yīng)隸屬于 ，

25、即可評為優(yōu)。,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,原則Ⅱ的例子,把三個同學(xué)的英語成績分別代入隸屬函數(shù):,由計(jì)算結(jié)果可知，第三位同學(xué)的成績最靠近優(yōu)。據(jù)原則Ⅱ應(yīng)首先聘任第三位同學(xué)。,設(shè)論域U=｛x1, x2, x3｝(三名學(xué)生的學(xué)習(xí)成績),在U上確定以一個模糊集A=“優(yōu)”，若三個學(xué)生的英語成績分別為x1=70, x2=80, x3=90現(xiàn)據(jù)英語成績從三名學(xué)生中招聘一人做翻譯，應(yīng)優(yōu)先招聘誰？,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,二、擇

26、近原則,1、貼近度,表示兩個模糊集A，B之間的貼近程度。,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,⊙C =,⊙C =,故B比A更貼近于Ｃ.,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,輸入數(shù)據(jù)：A=[0.9 0.1 0.6 0.3;0 0.3 0.4 0.8]B=[0.1 0.6 0.3 0.4],調(diào)用函數(shù)：[C]=fuzzy_mssb(1,A,B),輸出結(jié)果：C = 0.4500 0.6500,2014.7.27,

27、洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2、擇近原則,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,輸入數(shù)據(jù)：A=[1 0.8 0.5 0.4 0 0.1; 0.5 0.1 0.8 1 0.6 0; 0 1 0.2 0.7 0.5 0.8;

28、 0.4 0 1 0.9 0.6 0.5; 0.8 0.2 0 0.5 1 0.7; 0.5 0.7 0.8 0 0.5 1]B=[0.7 0.2 0.1 0.4 1 0.8],輸出結(jié)果：C = 0.3333 0.3778 0.4545 0.4348 0.8824 0.4565,調(diào)用函數(shù)：[C]=fuzzy_mssb(2,A,B),2014.7.27,洛陽理工學(xué)院

29、數(shù)理部,如果分類后的類別由多個標(biāo)本構(gòu)成，可以取求平均以后的均值向量作為標(biāo)準(zhǔn)模式，還可進(jìn)一步用極差變換等化為無量綱的模式，當(dāng)然待判斷對象也要轉(zhuǎn)化。,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,第四節(jié) 模糊綜合評判,一、一級模糊綜合評判,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,根據(jù)

30、運(yùn)算　的不同定義，可得到以下不同模型：,最后得到一個評價向量,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,其中：,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,例1：教師講課的綜合評判,U是評價因素集，V是評語等級U={清楚易懂，教材熟練，生動有趣，板書整齊}V={很好，較好，一般，不好},2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,rij表示第i個因素著眼，對被評教

31、師作出第j種評語的可能程度：,模糊評價矩陣R,清楚易懂教材熟練生動有趣板書整齊,很好 較好 一般 不好,U,V,數(shù)據(jù)來源：可以在某一班級做問卷調(diào)查，如在清楚易懂方面有40%的學(xué)生認(rèn)為是很好，50%的學(xué)生認(rèn)為是較好，10%的認(rèn)為一般，沒有人認(rèn)為不好。其它的因素如法炮制。,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,權(quán)數(shù),我們可以為U中的各元素分配不同的權(quán)數(shù)，表示各元素隸屬于重要的隸屬度。A=（0.5，0.2，

32、0.2，0.1）,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,評價模型是：A R，表示取小取大運(yùn)算,B=（0.5，0.2，0.2，0.1）,清楚易懂教材熟練生動有趣板書整齊,很好 較好 一般 不好,B1=Max{min{0.5,0.4}, min{0.2,0.6}, min{0.2,0.1}, min{0.1,0.1}}=0.4,B2=Max{min{0.5,0.5}, min{0.2,0.3}, min{

33、0.2,0.2}, min{0.1,0.2}}=0.5,B3=Max{min{0.5,0.1}, min{0.2,0.1}, min{0.2,0.6}, min{0.1,0.5}}=0.2,B4=Max{min{0.5,0}, min{0.2,0}, min{0.2,0.1}, min{0.1,0.2}}=0.1,,,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,歸一化后：,B=(0.33, 0.42, 0.17,

34、 0.08)根據(jù)最大隸屬原則，該老師講課只能是較好。,很好 較好 一般 不好,B=(0.4, 0.5, 0.2, 0.1),2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)

35、院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,在模糊綜合評判決策中,權(quán)重是至關(guān)重要的,它反映了各個因素在綜合決策過程

36、中所占有的地位或所起的作用,它直接影響到綜合決策的結(jié)果. 憑經(jīng)驗(yàn)給出的權(quán)重,在一定的程度上能反映實(shí)際情況,評判的結(jié)果也比較符合實(shí)際,但它往往帶有主觀性,是不能客觀地反映實(shí)際情況,評判結(jié)果可能“失真”.,模糊數(shù)學(xué)方法中權(quán)重的確定方法,1.加權(quán)統(tǒng)計(jì)方法,因素：權(quán)重：,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2頻數(shù)統(tǒng)計(jì)方法,(1) 對每一個因素 ,在k個專家所給的權(quán)重 中找出最大值 和最小值 ,即

37、 (2) 選取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)p,將因素 所對應(yīng)的權(quán)重 從小到大分成p組,組距為 . (3) 計(jì)算落在每組內(nèi)權(quán)重的頻數(shù)與頻率。 (4) 取最大頻率所在分組的組中值(或鄰近的值)作為因素的 權(quán)重. (5) 將所得的結(jié)果歸一化.,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,3.層次分析法,模糊層次法 常見的一種方法,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,因素集,評判集,2014.

38、7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,二、多級模糊綜合評判（以二級為例）,問題：對高等學(xué)校的評估可以考慮如下方面,高等學(xué)校,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,二級模糊綜合評判的步驟：,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,2014.7.27