工程數(shù)學(xué)10

1、第四節(jié) 誤差分析及解的精度改進(jìn),一、解的誤差分析基本問題——解的穩(wěn)定性,數(shù)學(xué)穩(wěn)定性:對(duì)數(shù)學(xué)問題而言，如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動(dòng)，引起輸出數(shù)據(jù)（即數(shù)學(xué)問題的解）有很大擾動(dòng)，則稱數(shù)學(xué)問題是病態(tài)問題，否則稱為良態(tài)問題。,數(shù)值方法的穩(wěn)定性:一個(gè)算法如果輸入數(shù)據(jù)有擾動(dòng)（即有誤差），而計(jì)算過(guò)程中舍入誤差不增長(zhǎng)，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則稱此算法為不穩(wěn)定的。,,,,證閉,,,在正交變換下，誤差不增長(zhǎng),,前面介紹的列主元法解決了Gauss消

2、元法由于小主元的出現(xiàn)所導(dǎo)致的舍入誤差的積累，從而出現(xiàn)的失真的問題。但列主元法也有缺點(diǎn)，當(dāng)方程中出現(xiàn)比例因子時(shí)，列主元法就無(wú)能為力了。,列主元法求解x1=x2=1,,按比例消元法 :將每個(gè)方程乘上一個(gè)適當(dāng)?shù)谋壤蜃?，使方程組的最大系數(shù)的絕對(duì)值不超過(guò)1，然后再做列主元消元。,（2）（行）比例增減改善,例4 應(yīng)用按比例消元法求解 方程組,算法 按比例高斯消元法解線性方程組 Ax = b,,,,迭代改善的計(jì)算格

3、式：,,,病態(tài)嚴(yán)重：可用A的正交分解、A的奇異值分解。,輕度病態(tài)：可用雙精度改善、比例增減改善、迭代改善。,2.解的精度改進(jìn),,,,,,,證明：,病態(tài)的程度。,接近奇異,的大小可作為度量矩陣,最小的奇異值,分解,的,n,n,T,T,n,A,A,A,A,A,cond,diag,V,U,A,SVD,A,s,s,s,l,l,s,s,s,1,min,max,2,2,1,),(,),(,),(,),,...,,,,(,,,),1,(,=,=,=,