高等工程數(shù)學(xué)

1、單因素試驗(yàn)的方差分析,在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科研活動(dòng)中，我們經(jīng)常遇到這樣的問題：影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多，例如影響農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量有品種、施肥種類、施肥量等許多因素。我們要了解這些因素中哪些因素對(duì)產(chǎn)量有顯著影響，就要先做試驗(yàn)，然后對(duì)測試結(jié)果進(jìn)行分析，作出判斷。方差分析就是分析測試結(jié)果的一種方法。,引 言,基 本 概 念,試驗(yàn)指標(biāo)——試驗(yàn)結(jié)果。,可控因素——在影響試驗(yàn)結(jié)果的眾多因素中，可人為

2、 控制的因素。,水平——可控因素所處的各種各種不同的狀態(tài)。每個(gè) 水平又稱為試驗(yàn)的一個(gè)處理。,單因素試驗(yàn)——如果在一項(xiàng)試驗(yàn)中只有一個(gè)因素改變， 其它的可控因素不變，則該類試驗(yàn)稱為 單因素試驗(yàn)。,引例,例1 （燈絲的配料方案優(yōu)選）某燈泡廠用四種配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，在每批燈

3、泡中作隨機(jī)抽樣，測量其使用壽命（單位：小時(shí)），數(shù)據(jù)如下：,,,燈泡的使用壽命——試驗(yàn)指標(biāo),燈絲的配料方案——試驗(yàn)因素（唯一的一個(gè)）,四種配料方案（甲乙丙?。膫€(gè)水平,因此，本例是一個(gè)四水平的單因素試驗(yàn)。,引 例,用X1，X2，X3，X4分別表示四種燈泡的使用壽命，即為四個(gè)總體。假設(shè)X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立，且服從方差相同的正態(tài)分布，即Xi~N（?i，?2）（i=1，2，3，4）,本例問題歸結(jié)為檢驗(yàn)假設(shè) H0：?1=

4、?2= ?3= ?4 是否成立,我們的目的是通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)來判斷因素 A 的不同水平對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)是否有影響。,設(shè) A 表示欲考察的因素，它的 個(gè)不同水平，對(duì)應(yīng)的指標(biāo)視作 個(gè)總體 每個(gè)水平下,我們作若干次重復(fù)試驗(yàn)： （可等重復(fù)也可不等重復(fù)），同一水平的 個(gè)結(jié)果，就是這個(gè)總體 的一個(gè)樣本：,單因素試驗(yàn)的方差分析,單因素試驗(yàn)

5、資料表,縱向個(gè)體間的差異稱為隨機(jī)誤差（組內(nèi)差異），由試驗(yàn)造成；橫向個(gè)體間的差異稱為系統(tǒng)誤差（組間差異），由因素的不同水平造成。,由于同一水平下重復(fù)試驗(yàn)的個(gè)體差異是隨機(jī)誤差，所以設(shè)：,其中 為試驗(yàn)誤差，相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布,線性統(tǒng)計(jì)模型,單因素試驗(yàn)的方差分析的數(shù)學(xué)模型,具有方差齊性。,相互獨(dú)立，從而各子樣也相互獨(dú)立。,首先，我們作如下假設(shè)：,即,令 （其中

6、 ）稱為一般平均值。,稱為因素A的第 個(gè)水平 的效應(yīng)。,則線性統(tǒng)計(jì)模型變成,于是檢驗(yàn)假設(shè)：,等價(jià)于檢驗(yàn)假設(shè)：,顯然有：,整個(gè)試驗(yàn)的均值,考察統(tǒng)計(jì)量,經(jīng)恒等變形，可分解為：,其中,反映的是各水平平均值偏離總平均值的偏離程度。,,如果H0 成立，則SSA 較小。,若H0成立，則,總離差平方和,見書P168,其中,這里,反映的是重復(fù)試驗(yàn)種隨機(jī)誤差的大小。,表示水平Ai的隨機(jī)誤差； 表示整個(gè)試驗(yàn)的隨機(jī)誤差,若假設(shè)

7、 成立，則,由P106定理5.1可推得：,將 的自由度分別記作,則,（記 ，稱作均方和）,（各子樣同分布）,則,（記

8、 ，稱作均方和）,對(duì)給定的檢驗(yàn)水平 ，由,得H0 的拒絕域?yàn)椋?F 單側(cè)檢驗(yàn),,結(jié)論：方差分析實(shí)質(zhì)上是假設(shè)檢驗(yàn)，從分析離差平方和入手，找到F統(tǒng)計(jì)量，對(duì)同方差的多個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。單因素試驗(yàn)中兩個(gè)水平的均值檢驗(yàn)可用第七章的T檢驗(yàn)法。,思考：為什么此處只做單側(cè)檢驗(yàn)？,（1）若 ，則稱因素的差異極顯著（極有統(tǒng)計(jì)意義），或稱因素A的影響高度顯著，這時(shí)作標(biāo)記

9、 ；,約 定,（2）若 ，則稱因素的差異顯著（差異有統(tǒng)計(jì)意義），或稱因素A的影響顯著，作標(biāo)記 ；,（3）若 ，則稱因素A有一定影響，作標(biāo)記（ ）；,（4）若 ，則稱因素A無顯著影響（差異無統(tǒng)計(jì)意義）。,注意：在方差分析表中，習(xí)慣于作如下規(guī)定：,簡便計(jì)算公式：,其中,同一水

10、平下觀測值之和,所以觀測值之和,例2 P195 2 以 A、B、C 三種飼料喂豬，得一個(gè)月后每豬所增體重（單位：500g）于下表，試作方差分析。,解：,,解：,,不同的飼料對(duì)豬的體重的影響極有統(tǒng)計(jì)意義。,列方差分析表,例2的上機(jī)實(shí)現(xiàn)步驟,1、輸入原始數(shù)據(jù)列，并存到A，B，C列；,2、選擇Stat>ANOVA>one-way(unstacked),,,不同的飼料對(duì)豬的體重的影響極有統(tǒng)計(jì)意義。,定理 在單因素方差分析