南京大學計算機科學與技術系-數值計算方法第3章1-解線性方程組的數值解法-gauss消去法

1、,第3章 解線性方程組的數值解法,引言,在自然科學和工程技術中很多問題的解決常常歸結為解線性代數方程組。例如電學中的網絡問題，船體數學放樣中建立三次樣條函數問題，用最小二乘法求實驗數據的曲線擬合問題，解非線性方程組問題，用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程邊值問題等都導致求解線性方程組，而且后面幾種情況常常歸結為求解大型線性方程組。 線性代數方面的計算方法就是研究求解線性方程組的一些數值解法與研究計算矩陣

2、的特征值及特征向量的數值方法。,引言,關于線性方程組的數值解法一般有兩類。直接法：經過有限步算術運算，可求得方程組的精確解的方法（若在計算過程中沒有舍入誤差）迭代法：用某種極限過程去逐步逼近線性方程組精確解的方法 迭代法具有占存儲單元少，程序設計簡單，原始系數矩陣在迭代過程中不變等優(yōu)點，但存在收斂性及收斂速度等問題,3.1 高斯消元法,設線性方程組簡記 AX=b,,高斯消元法,其中,,高斯消元法,克萊姆法則在理論上有

3、著重大意義，但在實際應用中存在很大的困難，在線性代數中，為解決這一困難給出了高斯消元法。,,例題,例1.用消元法解方程組,例題,第一步：-2 x（1）+(3)得,例題,第二步：1 x（2）+（4）回代得：x=[1,2,3]T,,3.1.1 高斯順序消元法,下三角形方程求解 設 （1）,,高斯順序消元法,由（1）得,,高斯順序消元法,

4、算法：,,高斯順序消元法,,,,上三角方程組的解法設,,,由（2）式回代得,,,上三角方程組的解法,高斯順序消去法,設 Ax=b. 記A(1)=A b(1)=b1、第一次消元。設,,,高斯順序消去法,,,高斯順序消去法,設第k-1次消元得A(k)x=b(k) 其中,,高斯順序消去法,則第k次消元:,,高斯順序消去法,最后,高斯順序消去法,也就是對于方程組AX=b系數矩陣做：,,高斯順序消去法,,,高斯順序消去法,,,高斯順序消

5、去法,高斯順序消去法,高斯順序消去法算法框圖,,高斯消去法的計算量,,,高斯順序消去法條件,,,3.1.2 高斯主元素消去法,Gauss列主元消元法從第一列中選出絕對值最大的元素,,,,,,交換,高斯列主元消去法,,高斯列主元消去法,第k步 從 的第k列 ， ， 中選取絕對值最大項，記錄所在行，即 若 交換第k行與l行的所有對應元素，再進行順序消元。,,,,,框圖,高斯列主

6、元消去法,高斯列主元消去法,高斯列主元消去法,2. 全主元消去法,例如.求解方程組,,全主元消去法,,全主元消去法,,全主元消去法,全主元消去法,全主元消去法,全主元消去法,,,Gauss全主元消元算法,Gauss全主元消元算法,Gauss全主元消元算法,3.高斯-約當消去法,與一般消去法相比，高斯—約當消去法是一種無回代過程的算法設方程組AX=b經過（k-1）次消元得,,高斯-約當消去法,,算法,選列主元的Gauss-Jordan消

7、去法,,Guass-Jordan消去法形式上比Guass消去法簡單,求解無回代過程,但從工作量角度看前者大約需要O( ),而后者需要量 O( ),比有回代的Guass消去法多O( )工作量.,小節(jié),比較而言,Gauss順序消去法條件苛刻,且數值不穩(wěn)定; Gauss全主元消去法工作量偏大，需要比較 個元素及行列交換工作，算法復雜；對于Gauss-Jordan消去法形式上比其他消