《數(shù)學(xué)史》古希臘數(shù)學(xué)(3)

1、圓錐曲線(xiàn)發(fā)展簡(jiǎn)史,梅內(nèi)赫莫斯（Menaechmus）約公元前380-前320，古希臘時(shí)代,屬于柏拉圖學(xué)派。為解決倍立方體問(wèn)題而發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線(xiàn)。,圓錐曲線(xiàn)的第一個(gè)人,他是古希臘數(shù)學(xué)家，為歐多克斯（Eudoxus）的學(xué)生，又是柏拉圖學(xué)園中的成員。他是系統(tǒng)地研究圓錐曲線(xiàn)的第一個(gè)人，建立最早圓錐取線(xiàn)的概念，并分為三類(lèi)來(lái)研究它，所以后來(lái)的學(xué)者稱(chēng)為梅內(nèi)赫莫斯（Menaechmus）三曲線(xiàn)。,,,梅內(nèi)赫莫斯從倍立方問(wèn)題的研究中受到啟發(fā)。他取三種圓錐

2、（即圓錐頂角為直角、銳角和鈍角的圓錐），用垂直于錐面一母線(xiàn)的平面截每種錐面，分別得到了拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的一支。,（見(jiàn)課本第43面）,梅內(nèi)赫莫斯曾當(dāng)過(guò)當(dāng)時(shí)亞歷山大大帝的老師，亞歷山大問(wèn)梅內(nèi)赫莫斯，是否可以專(zhuān)門(mén)為他把幾何搞得簡(jiǎn)單一些。 梅內(nèi)赫莫斯則回答說(shuō)："在大王的國(guó)家里有老百姓走的小路，也有國(guó)王您走的大道，然而在幾何里卻只有一條道路。"這個(gè)廣為流傳的故事出自古希臘晚期作家斯托比亞斯的著作之

3、中。,故事,2.2.3 阿波羅尼奧斯,阿波羅尼奧斯（Apollonius，公元前262－前190）生于小亞細(xì)亞的珀?duì)柤?，就學(xué)于亞歷山大城。后在Pergamum創(chuàng)建大學(xué)及圖書(shū)館。后返回亞歷山大城執(zhí)教。他所寫(xiě)數(shù)學(xué)專(zhuān)著極為豐富，至今有《圓錐曲線(xiàn)》、《相切》、《軌跡》、《斜線(xiàn)》等七部書(shū)傳世。人們將歐幾里得、阿基米德、阿波羅尼奧斯為亞歷山大數(shù)學(xué)三大師,時(shí)間約當(dāng)公元前300年到前200年，這是希臘數(shù)學(xué)的全盛時(shí)期或“黃金時(shí)代”．,阿波羅尼奧斯（約

4、公元前262－前190）,,阿波羅尼奧斯的貢獻(xiàn)涉及幾何學(xué)和天文學(xué)，但他最重要的數(shù)學(xué)成就是在前人的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了相當(dāng)完美的圓錐曲線(xiàn)理論?！秷A錐曲線(xiàn)論》就是這方面的系統(tǒng)總結(jié)。這部以歐幾里得嚴(yán)謹(jǐn)風(fēng)格(至今仍用來(lái)教不會(huì)的初學(xué)者的風(fēng)格)寫(xiě)成的巨著，對(duì)圓錐曲線(xiàn)研究所達(dá)到的高度，直到17世紀(jì)笛卡爾、帕斯卡出場(chǎng)之前，始終無(wú)人能夠超越。,圓錐概念: 從與圓不在同一平面上的一點(diǎn)作與圓相交的直線(xiàn)，如果該點(diǎn)固定，把所作直線(xiàn)沿圓周旋轉(zhuǎn)，……，那么

5、生成的曲面是一圓錐面，固定點(diǎn)是頂點(diǎn)，頂點(diǎn)到圓心的直線(xiàn)是軸，圓稱(chēng)作圓錐的底。,圓錐曲線(xiàn),《圓錐曲線(xiàn)論》,《圓錐曲線(xiàn)論》是一部經(jīng)典巨著，它可以說(shuō)是代表了希臘幾何的最高水平，自此以后，希臘幾何便沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的進(jìn)步。直到17世紀(jì)的B.帕斯卡和R.笛卡兒才有新的突破 。此書(shū)集前人之大成，且提出很多新的性質(zhì)。他推廣了梅內(nèi)赫莫斯（公元前4 世紀(jì)，最早系統(tǒng)研究圓錐曲線(xiàn)的希臘數(shù)學(xué)家）的方法，證明三種圓錐曲線(xiàn)都可以由同一個(gè)圓錐體截取而得，并給出拋物線(xiàn)、橢圓

6、、雙曲線(xiàn)、正焦弦等名稱(chēng)。書(shū)中已有坐標(biāo)制思想。他以圓錐體底面直徑作為橫坐標(biāo)，過(guò)頂點(diǎn)的垂線(xiàn)作為縱坐標(biāo)，這給后世坐標(biāo)幾何的建立以很大的啟發(fā)。他在解釋太陽(yáng)系內(nèi)5大行星的運(yùn)動(dòng)時(shí)， 提出了本輪均輪偏心模型，為托勒密的地心說(shuō)提供了工具。,在阿波羅尼奧斯之前，希臘人用三種不同圓錐面導(dǎo)出圓錐曲線(xiàn)。阿波羅尼奧斯則第一次從一個(gè)對(duì)頂錐得到所有的圓錐曲線(xiàn)（只要用一個(gè)平面曲截對(duì)頂錐即可，圓錐曲線(xiàn)有五種可能的類(lèi)型—橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)、圓和直線(xiàn)），并給它們以正式的

7、命名，現(xiàn)在通用的橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)就是他提出的。,亞歷山大里亞時(shí)期的希臘數(shù)學(xué),《圓錐曲線(xiàn)》《圓錐曲線(xiàn)》分8卷，共487個(gè)命題?，F(xiàn)存前7卷，共382個(gè)命題。第一卷給出了圓錐曲線(xiàn)的定義和基本性質(zhì)。從一個(gè)對(duì)頂（直圓或斜圓）錐得到3種圓錐曲線(xiàn)。雙曲線(xiàn)有兩個(gè)分支，也是他首先發(fā)現(xiàn)的。,亞歷山大里亞時(shí)期的希臘數(shù)學(xué),構(gòu)造圓錐曲線(xiàn)的方法第一步定義軸三角形ABC。第二步利用截面定義圓錐曲線(xiàn)。,亞歷山大里亞時(shí)期的希臘數(shù)學(xué),第二卷 討論雙曲線(xiàn)漸近

8、線(xiàn)的作法和性質(zhì)，共軛雙曲線(xiàn)的性質(zhì)；圓錐曲線(xiàn)的直徑和軸的求法；有心圓錐曲線(xiàn)的中心的概念；怎樣作滿(mǎn)足某種條件的圓錐曲線(xiàn)的切線(xiàn)。,亞歷山大里亞時(shí)期的希臘數(shù)學(xué),第三卷 討論了切線(xiàn)與直徑所圍成的圖形的面積；論述了極點(diǎn)和極線(xiàn)的調(diào)和性質(zhì)，討論了橢圓和雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)的性質(zhì)。第四卷 講極點(diǎn)和極線(xiàn)的其它性質(zhì)，并討論了圓錐曲線(xiàn)相交的各種情況，證明了兩條圓錐曲線(xiàn)至多相交于4點(diǎn)。,亞歷山大里亞時(shí)期的希臘數(shù)學(xué),第五卷 討論了從一點(diǎn)到圓錐曲線(xiàn)所能作的最長(zhǎng)和最短

9、的線(xiàn)段。第六卷 討論了圓錐曲線(xiàn)的全等、相似和圓錐曲線(xiàn)弓形的性質(zhì)及作圖。第七卷 討論有心圓錐曲線(xiàn)的兩條共軛直徑的性質(zhì)。,《圓錐曲線(xiàn)論》中包含了許多即使是按今天的眼光看也是很深?yuàn)W的結(jié)果，尤其突出的是第5卷關(guān)于從定點(diǎn)到圓錐曲線(xiàn)的最長(zhǎng)和最短線(xiàn)段的探討，其中實(shí)質(zhì)上提出了圓錐曲線(xiàn)的法線(xiàn)包絡(luò)即漸屈線(xiàn)的概念，它們是近代微分幾何的課題。 第3、4卷中關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的極點(diǎn)與極限的調(diào)和性質(zhì)的論述，則包含了射影幾何的萌芽思想。,總評(píng)

10、,《圓錐曲線(xiàn)論》可以說(shuō)是希臘演繹幾何的最高成就。阿波羅尼奧斯用純幾何的手段達(dá)到了今日解析幾何的一些主要結(jié)論，這是令人驚嘆的。另一方面，這種純幾何的形式，也使其后數(shù)千年間的幾何學(xué)裹足不前。幾何學(xué)中的新時(shí)代，要到17世紀(jì)，笛卡爾等人打破希臘式的演繹傳統(tǒng)后，才得以來(lái)臨。,2.3 亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落,通常從公元前30-公元6世紀(jì)的這一段時(shí)期，稱(chēng)為希臘數(shù)學(xué)的“亞歷山大后期”。,亞歷山大后期的希臘幾何，已失去前期的光輝。這一時(shí)期開(kāi)始

11、階段唯一值得一提的是幾何學(xué)家海倫（Heron，公元前1世紀(jì)-公元1世紀(jì)間），代表作《量度》，主要討論各種幾何圖形的面積和體積的計(jì)算，其中包括后來(lái)以它的名字命名的三角形面積公式,（ 為三角形面積， 為邊長(zhǎng)， ），其實(shí)這一公式最先為阿基米德所發(fā)現(xiàn)。,(1) 幾何: 海倫《量度》(2) 三角學(xué): 托勒玫《大成》(3) 算術(shù)與代數(shù): 丟番圖《算術(shù)》(4) 帕普斯《數(shù)學(xué)匯編》:希臘數(shù)學(xué)的

12、安魂曲 希帕蒂婭之死(417A.D.):希臘數(shù)學(xué)的終結(jié) 亞歷山大圖書(shū)館被焚 47 B.C. 凱撒; 392 A.D. 基督教徒; 640 A.D. 回教徒,這一時(shí)期的主要成就,海倫,海倫，古希臘數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、機(jī)械學(xué)家。生平不詳。約公元62年活躍于亞歷山大，

13、在那里教過(guò)數(shù)學(xué)、物理學(xué)等課程。他多才多藝，善于博采眾長(zhǎng)。在論證中大膽使用某些經(jīng)驗(yàn)性的近似公式，注重?cái)?shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用。海倫有許多學(xué)術(shù)著作，都用希臘文撰寫(xiě)，但大部分已失傳。主要著作是《量度論》一書(shū)。該書(shū)共3卷，分別論述平面圖形的面積，立體圖形的體積和將圖形分成比例的問(wèn)題。其中卷Ⅰ第8題給出著名的已知三邊長(zhǎng)求三角形面積的海倫公式。,亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落,他的成就還有：正3到正12邊形面積計(jì)算法；長(zhǎng)方臺(tái)體積公式；求立方根的近似公式等。

14、他在另一著作《測(cè)量?jī)x器》中描述了一種類(lèi)似現(xiàn)代經(jīng)緯儀的儀器，并介紹如何使用它去解決各種測(cè)量問(wèn)題。他發(fā)明的各種精巧器械，比理論上的成就更為人們所推崇，主要有氣轉(zhuǎn)球（被稱(chēng)為世界上第一個(gè)蒸汽機(jī)）、自動(dòng)售貨機(jī)、滅火器、水風(fēng)琴、水鐘等。其它著作還有《氣體力學(xué)》、《武器制造法》、《幾何》、《測(cè)體積法》等。,,,,,,,,,,,,海倫公式,《量度》共三卷斜三角形面積已知三角形的三條邊求其面積的海倫公式.,,,,,,,,,,,,亞歷山大里亞時(shí)期的希

15、臘數(shù)學(xué),圓內(nèi)接正多邊形面積與邊長(zhǎng)的關(guān)系依次計(jì)算正三角形、正五邊形、六邊形、…、正十二邊形的面積與邊長(zhǎng)的關(guān)系，得出圓內(nèi)接正多邊形面積，從而估測(cè)圓周率為3.圓周率海倫借助阿基米德的結(jié)論計(jì)算密率為即,,,,,,,,,,,,,,亞歷山大里亞時(shí)期的希臘數(shù)學(xué),弓形面積其推導(dǎo)思路是（1）取弧AB，BC中點(diǎn)M，N，得（2）同理，繼續(xù)分割，得弓形面積海倫下結(jié)論：“如果計(jì)算　　　的面積，并且增加三分之一，我們將得到極為接近的弓形面積，即　

16、　　　”,,,,,,,,,,,,,,,,,,,亞歷山大里亞時(shí)期的希臘數(shù)學(xué),求整數(shù)平方根的近似值設(shè)　不是完全平方數(shù)　　　　　，則先取　　　　作為　　的第一近似值，然后取　　　　　　，再取　　　　　　等等，通過(guò)迭代過(guò)程，求得　　較好近似值。,,,,,,,,,,亞歷山大里亞時(shí)期的希臘數(shù)學(xué),用數(shù)值方法解決代數(shù)問(wèn)題給定一正方形，已知其面積與周長(zhǎng)之和為896，求其一邊長(zhǎng)。首先將其歸結(jié)為方程　　　　　然后在方程兩邊加4配成完全平方，最后將其

17、開(kāi)方而求其數(shù)值解。,,,,,托勒密,相傳他生于埃及的一個(gè)希臘化城市赫勒熱斯蒂克。古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家和光學(xué)家。 一生著述甚多。著有《天文學(xué)大成》（主要論述了他所創(chuàng)立的地心說(shuō)及《地理學(xué)指南》（主要論述地球的形狀、大小、經(jīng)緯度的測(cè)定，以及地圖的投影方法）。通過(guò)系統(tǒng)的天文觀(guān)測(cè)，測(cè)算出月球到地球的平均距離為29.5倍于地球直徑，這個(gè)數(shù)值在古代是相當(dāng)精確的。對(duì)幾何學(xué)也有研究。還著有《光學(xué)》(5卷)等。,Ptolemy (85 AD - 1

18、65),主要著作,托勒密著有四本重要著作：《天文學(xué)大成》（Almagest）、《地理學(xué)》(Geography)、《天 文集》(Tetrabiblos)和《光學(xué)》(Optics)。,《天文學(xué)大成》 ——500年的希臘天文學(xué)和宇宙學(xué)思想的頂峰——統(tǒng)治了天文界長(zhǎng)達(dá)13 個(gè)世紀(jì)。他面對(duì)的基本問(wèn)題是：在假設(shè)宇宙是以地球?yàn)橹行牡?、以及所有天體以均勻的速度按完全圓形的軌道繞轉(zhuǎn)的前提下，試圖解釋天體的運(yùn)動(dòng)。無(wú)論這個(gè)體系存在著怎樣的缺點(diǎn)，它還是流行了

19、1300年之久，直到15世紀(jì)才被哥白尼推翻。,《天文學(xué)大成》,《天文學(xué)大成》共13卷，天文和三角混在一起，第1卷側(cè)重三角，后面各卷側(cè)重天文，但內(nèi)容不是數(shù)學(xué)性質(zhì)。第1卷編制一張從　 到　 　的每隔　 的弦表。,,,,,,,,,,,托勒密定理： 圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的乘積等于兩對(duì)對(duì)邊長(zhǎng)乘積之和。,托勒密: 三角學(xué),正弦函數(shù)的定義：,弦表(相當(dāng)于正弦三角函數(shù)表): 給出了(1/2) 0 到1800 每隔 (1

20、/2) 0 的圓心角所對(duì)的弦的長(zhǎng)度，相當(dāng)于給出了從 00 到 900 每隔 (1/4)0 的角的正弦。,,《大成》中的球面三角關(guān)系,兩角和的正弦公式：即兩角和的余弦公式：即,,,,,,,,,,,,,,,半角公式：即分析如下：AE=AB，CD2＝AC·CF=CF·（AC-AB）/2,,,,,,,,,,,,,托勒密定理在圓內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線(xiàn)之積等于兩對(duì)對(duì)邊之積的和。,,,,,,,,,,,,（大家試

21、著證明一下這個(gè)定理）,丟番圖,丟番圖，是古希臘亞歷山大學(xué)后期的重要學(xué)者和數(shù)學(xué)家（約公元２４６—３３０年，據(jù)推斷和計(jì)算而知）丟番圖是代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人之一，對(duì)算術(shù)理論有深入研究，他完全脫離了幾何形式，在希臘數(shù)學(xué)中獨(dú)樹(shù)一幟。,,丟番圖對(duì)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起了極其重要的作用，對(duì)後來(lái)的數(shù)論學(xué)者有很深的影響。丟番圖的《算術(shù)》是講數(shù)論的，它討論了一次、二次以及個(gè)別的三次方程，還有大量的不定方程?，F(xiàn)在對(duì)于具有整數(shù)系數(shù)的不定方程，如果只考慮其整數(shù)解，這類(lèi)方程就

22、叫做丟番圖方程，它是數(shù)論的一個(gè)分支。不過(guò)丟番圖并不要求解答是整數(shù)，而只要求是正有理數(shù)。 從另一個(gè)角度看，《算術(shù)》一書(shū)也可以歸入代數(shù)學(xué)的范圍。代數(shù)學(xué)區(qū)別於其它學(xué)科的最大特點(diǎn)是引入了未知數(shù)，并對(duì)未知數(shù)加以運(yùn)算。就引入未知數(shù)，創(chuàng)設(shè)未知數(shù)的符號(hào)，以及建立方程的思想﹝雖然未有現(xiàn)代方程的形式﹞這幾方面來(lái)看，丟番圖的《算術(shù)》完全可以算得上是代數(shù)。,,希臘數(shù)學(xué)自畢達(dá)哥拉斯學(xué)派後，興趣中心在幾何，他們認(rèn)為只有經(jīng)過(guò)幾何論證的命題才是可靠的。為了邏輯的嚴(yán)密

23、性，代數(shù)也披上了幾何的外衣。 一切代數(shù)問(wèn)題，甚至簡(jiǎn)單的一次方程的求解，也都納入了幾何的模式之中。直到丟番圖，才把代數(shù)解放出來(lái)，擺脫了幾何的羈絆。他認(rèn)為代數(shù)方法比幾何的演繹陳述更適宜於解決問(wèn)題，而在解題的過(guò)程中顯示出的高度的巧思和獨(dú)創(chuàng)性，在希臘數(shù)學(xué)中獨(dú)樹(shù)一幟。他被後人稱(chēng)為『代數(shù)學(xué)之父』不無(wú)道理。,丟番圖《算術(shù)》,最有名問(wèn)題: 將一個(gè)已知的平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)。 現(xiàn)代符號(hào)表述:已知平方數(shù) z2 , 求數(shù) x 和 y

24、, 使 x2+y2=z2. 丟番圖以 z2=16 來(lái)說(shuō)明其解法: 設(shè)第一個(gè)平方數(shù)為x2, 則另一個(gè)平方數(shù)為16 - x2, 從而要求做到的是 16 - x2 是一個(gè)平方數(shù) y2 . 令 y = m x - 4 , m 為某一整數(shù), 4為16的根, 令m=2,于是有4 x2-16x+16=16 - x2. 從而x = 16/5 ,另一個(gè)為y=12/5.,《算術(shù)》:問(wèn)題集,共13卷,目前發(fā)現(xiàn)10卷,含290個(gè)問(wèn)題.主要貢獻(xiàn)：(a).

25、不定方程求解;(b). 創(chuàng)用了一套縮寫(xiě)符號(hào).缺點(diǎn)：方法不具有一般性.,費(fèi)爾馬大定理：不定方程 xn+yn=zn ， n≥3無(wú)正整數(shù)解。,由于一個(gè)大于2的整數(shù)n，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，必為4的倍數(shù)或?yàn)槟硞€(gè)奇質(zhì)數(shù)的偶數(shù)倍，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，必是一個(gè)奇質(zhì)數(shù)p的倍數(shù)。因此，實(shí)際上只需證明 和（p為奇質(zhì)數(shù)）都沒(méi)有正整數(shù)解就可以了。對(duì) 可用無(wú)窮遞降法證明，而

26、 無(wú)正整數(shù)解的證明是非常困難的。,什么是不定方程？顧名思義即方程的解不定.一般地有,不定方程,,定義：不定方程是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，或未知數(shù)受到某種限制(如整數(shù) ，正整數(shù)等）的方程和方程組。,,,,丟番圖《算術(shù)》的另一項(xiàng)重要貢獻(xiàn)是創(chuàng)用了一套縮(suo)寫(xiě)符號(hào)。特別是他使用了特殊的記號(hào)來(lái)表示未知數(shù)，據(jù)考證這個(gè)符號(hào)是ζ。,丟番圖還用專(zhuān)門(mén)的符號(hào)來(lái)記乘冪，二次冪記為 三次冪是 ,四次冪是 五次

27、冪 等等。減號(hào)為 ，方程中所有的負(fù)項(xiàng)都放在一個(gè)減號(hào)后，未知數(shù)乘冪的系數(shù)是用放在該冪號(hào)后的希臘數(shù)字表示，常數(shù)項(xiàng)記作 （上面帶一個(gè)。）。,這樣，方程 記作,丟番圖使用的是所謂愛(ài)奧尼亞數(shù)字,壽命計(jì)算,他的壽命有多長(zhǎng)，下面這些文字可以告訴你： 他的童年占一生的1/6，接著1/12是少年時(shí)期，又過(guò)了1/7的時(shí)光，他找到了終生伴侶。 5年之后，婚姻之神賜給他一

28、個(gè)兒子， 可是兒子命運(yùn)不濟(jì)， 只活到父親壽數(shù)的一半，就匆匆離去。 這對(duì)他是一個(gè)沉重的打擊， 后來(lái)4年，丟番圖因?yàn)槭?ài)子而傷悲， 終于告別數(shù)學(xué)，離開(kāi)了人世。,壽命計(jì)算唯美版,上帝給予的童年占六分之一， 又過(guò)十二分之一，兩頰長(zhǎng)胡， 再過(guò)七分之一，點(diǎn)燃起結(jié)婚的蠟燭。 五年之后天賜貴子， 可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進(jìn)入冰冷的墓。 悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)， 又過(guò)四年， 他也走完了人生的旅途。,壽命解法,1

29、.丟番圖的壽命： 　　解：x=1÷6x+1÷12x+1÷7x+5+1÷2x+4 　　x=25÷28x+9 　　x-25÷28x=9 　　3÷28x=9 　　x=9÷3*28 　　x=84 　　答：由此可知丟番圖活了84歲。,壽命解法,第二種解法: 　　12×7=84 解答: 答案就是“12”、“6”、“7”中最大互質(zhì)因子的乘積—

30、—“12×7=84”,亞歷山大最后一位重要的數(shù)學(xué)家是帕波斯（Pappus，約公元300-350）。亞歷山大晚期的數(shù)學(xué)研究大都以對(duì)前代名家著作評(píng)注的形式出現(xiàn)。在眾多的評(píng)注家中，帕波斯是最出色的一位。他唯一的傳世之作《數(shù)學(xué)匯編》(Mathematical Collection)，就是一不薈萃總結(jié)前人成果的典型著作，在數(shù)學(xué)史上有特殊的意義。,《 數(shù)學(xué)匯編》也包含了帕波斯本人的創(chuàng)造性貢獻(xiàn)。突出例子有等周問(wèn)題；在周長(zhǎng)相等的平面圖形中，圓

31、的面積最大。帕波斯還據(jù)此考察了蜂巢結(jié)構(gòu)的某種極值性質(zhì)。關(guān)于旋轉(zhuǎn)體體積的帕波斯定理—一平面圖形繞同一平面上的軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)形成的立體體積，等于這圖形的面積乘以其重心所畫(huà)圓周的長(zhǎng)，到17世紀(jì)被古爾丁(P.Guldin)重新發(fā)現(xiàn)。,帕波斯,帕普斯帕普斯（Pappus，公元4世紀(jì)上半葉）生于亞歷山大城，以評(píng)注歐幾里得《原本》、《大匯編》著稱(chēng)。唯一的傳世之作是《數(shù)學(xué)匯編》。亞歷山大最后一位重要的數(shù)學(xué)家。,亞歷山大里亞時(shí)期的希臘數(shù)學(xué),勾股定理的推廣

32、,,,,,,帕波斯,,,,,,帕普斯定理如果A、B、C是一直線(xiàn)g上三點(diǎn)，A‘、B’、C‘是另一直線(xiàn)h上三點(diǎn)，則AB’與A‘B，AC’與A‘C，BC’與B‘C三對(duì)直線(xiàn)的交點(diǎn)X、Y、Z共線(xiàn)。,《 數(shù)學(xué)匯編》被認(rèn)為是古希臘數(shù)學(xué)的安魂曲。帕波斯之后，希臘數(shù)學(xué)日漸衰微?；浇淘诹_馬被奉為國(guó)教后，對(duì)異教學(xué)者橫加迫害。公元415年，女?dāng)?shù)學(xué)家希帕蒂亞(Hypatia)被一群基督暴徒殘酷殺害。這預(yù)示了在基督教的陰影的籠罩下整個(gè)中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)的厄運(yùn)。,有

33、史記載的第一位女?dāng)?shù)學(xué)家,古希臘是數(shù)學(xué)的故鄉(xiāng)。古希臘人為數(shù)學(xué)的進(jìn)步耗費(fèi)了大量心血甚至生命，做出了卓越的貢獻(xiàn)。這個(gè)文明古國(guó)哺育了許多數(shù)學(xué)家，象泰勒斯、畢達(dá)哥拉斯、歐幾里德、阿波羅尼斯、阿基米德、托勒玫、海倫、丟番圖等。希帕蒂婭（Hypatia）——這位有史以來(lái)的第一位女?dāng)?shù)學(xué)家也誕生在這里。,希帕蒂婭，約公元前370｜415,,公元370年希帕蒂婭出生在亞歷山大城的一個(gè)知識(shí)分子家庭。父親賽翁（Theon）是有名的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，在著

34、名的亞歷山大博物院教學(xué)和研究，那是一個(gè)專(zhuān)門(mén)傳授和研討高深學(xué)問(wèn)的場(chǎng)所。一些有名的學(xué)者和數(shù)學(xué)家常到她家做客，在他們的影響下，希帕蒂婭對(duì)數(shù)學(xué)充滿(mǎn)了興趣和熱情。她開(kāi)始從父輩那里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。賽翁也不遺余力地培養(yǎng)這個(gè)極有天賦的女兒。10歲左右，她已掌握了相當(dāng)豐富的算術(shù)和幾何知識(shí)。,,希帕蒂婭不僅容貌美麗，而且聰明好學(xué)。20歲以前，她幾乎讀完了當(dāng)時(shí)所有數(shù)學(xué)家的名著，包括歐幾里德的《幾何原本》、阿波羅尼斯的《圓錐曲線(xiàn)論》、阿基米德的《論球和圓柱》、丟

35、番圖的《算術(shù)》等。 為了進(jìn)一步擴(kuò)大自己的知識(shí)領(lǐng)域，公元390年的一天，希帕蒂婭來(lái)到了著名的希臘城市——雅典。她在小普魯塔克當(dāng)院長(zhǎng)的學(xué)院里進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、歷史和哲學(xué)。她對(duì)數(shù)學(xué)的精通，尤其是對(duì)歐幾里德幾何的精辟見(jiàn)解，令雅典的學(xué)者欽佩不已，大家都把這位二十出頭的姑娘當(dāng)作了不起的數(shù)學(xué)家。一些英俊少年不由得對(duì)她產(chǎn)生愛(ài)慕之情，求婚者絡(luò)繹不絕。但希帕蒂姬認(rèn)為，她要干一番大事業(yè)，不想讓愛(ài)情過(guò)早地進(jìn)入自己的生活。因此，她拒

36、絕了所有的求愛(ài)者。 此后，她又到意大利訪(fǎng)問(wèn)，結(jié)識(shí)了當(dāng)?shù)氐囊恍W(xué)者，并與之探討有關(guān)問(wèn)題。大約公元395年回到家鄉(xiāng)。這時(shí)的希帕蒂婭已經(jīng)是一位相當(dāng)成熟的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家了。,,執(zhí)著癡情希帕蒂婭從海外歸來(lái)后，便成為亞歷山大博物院里的教師，主講數(shù)學(xué)和哲學(xué)，有時(shí)也講授天文學(xué)和力學(xué)。在傳徒授業(yè)之余，她還進(jìn)行了廣泛地科學(xué)研究，有力地推動(dòng)了數(shù)學(xué)、天文、物理等學(xué)科的發(fā)展。,,公元412年，來(lái)自耶路撒冷的西瑞爾當(dāng)上了亞歷山大的大主

37、教，這是一個(gè)狂熱的基督徒。他在全城系統(tǒng)地推行所謂反對(duì)“異教”和“邪說(shuō)”的計(jì)劃，新柏拉圖主義也在“邪說(shuō)”之例，這對(duì)希帕蒂婭是極為不利的。 但是希帕蒂妞從不向基督教示弱，拒絕放棄她的哲學(xué)主張，堅(jiān)持宣傳科學(xué)，提倡思想自由。,,但這不是一個(gè)崇尚一理性的社會(huì)。那些狂熱的基督徒并不指望“說(shuō)服”這位數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，只想有朝一日拔掉這顆眼中釘。一場(chǎng)有計(jì)劃、有預(yù)謀的暗殺活動(dòng)正在醞釀之中。 公元415年3月

38、的一天，希帕蒂婭象往常一樣，乘著其漂亮的馬車(chē)到博物院講學(xué)。行至凱撒瑞姆教堂旁邊，一伙暴徒立刻沖過(guò)去，攔住馬車(chē)。他們把她從馬車(chē)中拉下來(lái)，迅速拖進(jìn)教堂。希帕蒂婭意識(shí)到，他們要對(duì)自己下毒手了，但她毫不畏懼，高聲怒斥他們的無(wú)恥行為。滅絕人性的暴徒砍去她的手腳，將她那顫抖的四肢投人到熊熊烈火之中……。一顆數(shù)學(xué)明星就這樣隕落了。處于垂死狀態(tài)的希臘數(shù)學(xué)，現(xiàn)在終于斷氣了。,亞歷山大圖書(shū)館： 公元前47年，羅馬大帝凱撒攻城燒港時(shí)遭重創(chuàng)；