r 代數(shù)的關(guān)聯(lián)mp濾子

1、西北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)網(wǎng)絡(luò)版)2004年12月，第2卷，第12期ScienceJournalofNthwestUniversityOnlineDec.2004，Vol.2，No.12________________________收稿日期：20040424基金項(xiàng)目：陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2003A02）審稿人：王國俊，男，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)研究所教授、博士生導(dǎo)師。R0代數(shù)的關(guān)聯(lián)MP濾子王保社（咸陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，陜西咸陽）摘要：引入

2、代數(shù)的關(guān)聯(lián)MP濾子的概念，研究了它的特性，證明了如下主要結(jié)果：代數(shù)0R0R成為布爾代數(shù)的充要條件是其MP濾子均為關(guān)聯(lián)MP濾子。關(guān)鍵詞：代數(shù)，MP濾子，關(guān)聯(lián)MP濾子0R中圖分類號(hào)：O153.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1000274X(2004)01125近年來，王國俊教授提出的模糊邏輯命題演算系統(tǒng)L受到學(xué)術(shù)界的普遍關(guān)注[12]，與之相關(guān)聯(lián)的代數(shù)也引起許多研究者的興趣[3～5]。代數(shù)的MP濾子，在證明L系統(tǒng)的完備性時(shí)起到重要作用[6]。0R

3、0RBoole代數(shù)作為代數(shù)的特例，其MP濾子也應(yīng)有獨(dú)特之處，能否用某類MP濾子來刻劃這一點(diǎn)呢？本0R文通過引入關(guān)聯(lián)MP濾子的概念，成功地解決了這一問題。本文直接使用而未給出定義的概念以及未證明的結(jié)論，均可查閱文獻(xiàn)[12]。需要說明的是，本文的主要思想和一些證明技巧來源于文獻(xiàn)[7]，但由于代數(shù)與BCK代數(shù)是不同的代數(shù)系統(tǒng)，所得結(jié)果是新0R的，對(duì)深入研究代數(shù)的結(jié)構(gòu)是有積極意義的。0R1預(yù)備知識(shí)定義1[1]設(shè)M是)型代數(shù)，如果M上有偏序≤使成

4、為有界分配格，且∨是關(guān)于序≤???()(?M的上確界運(yùn)算，﹁是關(guān)于序≤的逆序?qū)蠈?duì)應(yīng)，且(M1)abba?????(M2)11????aaaa(M3))()(cabacb?????(M4))()(cabcba?????(M5))()()()()()(cabacbacabacba????????????(M6)1))(()(???????bababa這里1是中的最大元，則稱M為代數(shù)。)(?M0R有時(shí)也用表示﹁由ˊ為逆序?qū)蠈?duì)應(yīng)知DeMga

5、n對(duì)偶律成立，即a?。另外，記則易知。babababa????????????)()(10??0???aa對(duì)于Boole代數(shù)B，規(guī)定，則B是代數(shù)。baba????0R命題1[1]設(shè)M是代數(shù)，a、b、cM，則以下性質(zhì)成立0R?3是M的MP濾子，但，而，這說明1不是M的關(guān)聯(lián)MP濾子。11))((11?????aba1?a定理2設(shè)M是代數(shù)，F(xiàn)是M的MP濾子，F(xiàn)是關(guān)聯(lián)MP濾子的充要條件是F滿足0R時(shí)有Faba???)((3)Fa?證明假設(shè)F是關(guān)

6、聯(lián)MP濾子，則由式(2)得當(dāng)11時(shí)有。由于1必屬于F，故上述結(jié)果說明式(3)成Fabaaba???????)())((Fa?立。假設(shè)MP濾子F滿足式(3)，若則由MP濾子的定義得Fabacc????))((。應(yīng)用式(3)可得，這說明式(2)成立，即F是關(guān)聯(lián)MP濾子。Faba???)(Fa?定理3設(shè)M是代數(shù)，則對(duì)任意a、b∈M有0R(4)babbba?????))((證明首先，由(M4)及(M2)得1))(())(()))((()(???

7、?????????bbabbabbbaba應(yīng)用性質(zhì)1)得。bbbaba?????))((另一方面)()))(((babbba?????))((bbaa????)()(baba????1?再據(jù)性質(zhì)2)得，于是bababbba????????)(1))((babbba?????))((定理4設(shè)M是代數(shù)，F(xiàn)是M的關(guān)聯(lián)MP濾子，則在F中成立0R當(dāng)時(shí)有Fbcabc????)((5)Fac??證明假設(shè)。由于Fbcabc????)(即)()(acba

8、bc?????))(()(accbc?????Faccbcabc?????????1)))(()(())((Fabc???)(由MP濾子的定義得。再據(jù)及MP濾子的定義得Faccbc?????))(()(Fbc??Facc???)(據(jù)定理3有，而)))((()(aaaccacc???????)())(()))(((acaacaaacc?????????由(M4)即得。由于F是關(guān)聯(lián)MP濾子，故應(yīng)用定理2可得，F(xiàn)acaac?????)())(