第七講 代數(shù)式的變形（整式與分式）

1、31[文件]sxjsck0009.doc[科目]數(shù)學(xué)[關(guān)鍵詞]初一代數(shù)式整式分式[標(biāo)題]代數(shù)式的變形（整式與分式）[內(nèi)容]代數(shù)式的變形（整式與分式）代數(shù)式的變形（整式與分式）在化簡、求值、證明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的過程中，常需將代數(shù)式變形，現(xiàn)結(jié)合實例對代數(shù)式的基本變形，如配方、因式分解、換元、設(shè)參、拆項與逐步合并等方法作初步介紹.1配方在實數(shù)范圍內(nèi)，配方的目的就是為了發(fā)現(xiàn)題中的隱含條件，以便利用實數(shù)的性質(zhì)來解題.例1（19

2、86年全國初中競賽題）設(shè)a、b、c、d都是整數(shù)，且m=a2b2n=c2d2mn也可以表示成兩個整數(shù)的平方和，其形式是______.解mn=(a2b2)(c2d2)=a2c22abcdb2d2a2d2b2c22abcd=(acbd)2(adbc)2=(acbd)2(adbc)2所以，mn的形式為(acbd)2(adbc)2或（acbd）2(adbc)2.例2（1984年重慶初中競賽題）設(shè)x、y、z為實數(shù)，且(yz)2(xy)2(zx)2=

3、(yz2x)2(zx2y)2(xy2z)2.求的值.)1)(1)(1()1)(1)(1(222??????zyxxyzxyz解將條件化簡成2x22y22z22xy2x22yz=0∴(xy)2(xz)2(yz)2=0∴x=y=z∴原式=1.2.因式分解前面已介紹過因式分解的各種典型方法下面再舉幾個應(yīng)用方面的例子.例3(1987年北京初二數(shù)學(xué)競賽題)如果a是x23x1=0的根試求的值.1825222345????aaaaa解∵a為x23x1

4、=0的根∴a23a1=0且=1.132?aa原式.11313)32)(13(22232????????????aaaaaaaaa說明:這里只對所求式分子進(jìn)行因式分解避免了解方程和復(fù)雜的計算.3.換元33=(ab)33a2b3ab2c33abc=(abc)[(ab)2c2(ab)c]3ab(abc)=(abc)(a2b2c2abbcca)∴k=k(a2b2c2abbcac)∴k(a2b2c2abbcca1)=0∴k(abbcac)=0.若

5、K=0就是abc=0.若abbcac=0即(abc)2(a2b2c2)=0∴(abc)2=1∴abc=1綜上知abc=0或abc=15.“拆”、“并”和通分下面重點介紹分式的變形：（1）分離分式為了討論某些用分式表示的數(shù)的性質(zhì)，有時要將一個分式表示為一個整式和一個分式的代數(shù)和.例8（第1屆國際數(shù)學(xué)競賽試題）證明對于任意自然數(shù)n，分?jǐn)?shù)皆不可約.314421??nn證明如果一個假分?jǐn)?shù)可以通約，化為帶分?jǐn)?shù)后，它的真分?jǐn)?shù)部分也必定可以通約.而3

6、14171314421??????nnnn?171217314?????nnn顯然不可通約，故不可通約，從而也不可通約.171?n17314??nn314421??nn（2）表示成部分分式將一個分式表示為部分分式就是將分式化為若干個真分式的代數(shù)和.例9設(shè)n為正整數(shù)，求證：21)12)(12(1531311?????????nn證明令1212)12)(12(1??????kBkAkk通分，)12)(12()()(21212????????