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1、1中考專題中考專題3:材料閱讀題材料閱讀題類型一：代數(shù)1（整除類）1.若整數(shù)能被整數(shù)整除，則一定存在整數(shù)，使得，即。例如若整數(shù)能被整數(shù)3整除，則一定abnnba?bna?a存在整數(shù)，使得，即。nna?3na3?（1）若一個多位自然數(shù)的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）能被13整除，那么原多位自然數(shù)一定能被13整除。例如：將數(shù)字306371分解為306和371，因為371306=65，65是13的倍數(shù)，所

2、以306371能被13整除。請你證明任意一個四位數(shù)都滿足上述規(guī)律。（2）如果一個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位僅有兩個數(shù)交替排列組成，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“擺動數(shù)”，例如：自然數(shù)12121212從最高位到個位是由1和2交替出現(xiàn)組成，所以12121212是“擺動數(shù)”，再如：656989837373，171717，……，都是“擺動數(shù)”，請你證明任意一個6位擺動數(shù)都能被13整除。2.把一個自然數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和得到一個新

3、數(shù)，叫做第一次運算，再把所得新數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和又將得到一個新數(shù)，叫做第二次運算，……如此重復(fù)下去，若最終結(jié)果為1，我們把具有這種特征的自然數(shù)稱為“快樂數(shù)”例如：，1011031132332222222?????????，1011003113079979449077022222222222????????????????所以32和70都是“快樂數(shù)”（1）寫出最小的兩位“快樂數(shù)”；判斷19是不是“快樂數(shù)”；請證明任意一個“快樂

4、數(shù)”經(jīng)過若干次運算后都不可能得到4；（2）若一個三位“快樂數(shù)”經(jīng)過兩次運算后結(jié)果為1，把這個三位“快樂數(shù)”與它的各位上的數(shù)字相加所得的和被8除余數(shù)是2，求出這個“快樂數(shù)”3.若一個正整數(shù)，它的各位數(shù)字是左右對稱的，則稱這個數(shù)是對稱數(shù)，如22，797，12321都是對稱數(shù)最小的對稱數(shù)是11，沒有最大的對稱數(shù)，因為數(shù)位是無窮的（1）有一種產(chǎn)生對稱數(shù)的方式是：將某些自然數(shù)與它的逆序數(shù)相加，得出的和再與和的逆序數(shù)相加，連續(xù)進行下去，便可得到一個

5、對稱數(shù)如：17的逆序數(shù)為71，17＋71=88，88是一個對稱數(shù)；39的逆序數(shù)為93，39＋93=132，132的逆序數(shù)為231，132＋231=363，363是一個對稱數(shù)請你根據(jù)以上材料，求以687產(chǎn)生的第一個對稱數(shù)；（2）若將任意一個四位對稱數(shù)分解為前兩位數(shù)所表示的數(shù)，和后兩位數(shù)所表示的數(shù)，請你證明這兩個數(shù)的差一定能被9整除；（3）若將一個三位對稱數(shù)減去其各位數(shù)字之和，所得的結(jié)果能被11整除，則滿足條件的三位對稱數(shù)共有多少個？4.若

6、整數(shù)a能被整數(shù)b整除，則一定存在整數(shù)n，使得，即，例如：若整數(shù)a能被11anb?abn?整除，則一定存在整數(shù)n，使得，即，一個能被11整除的自然數(shù)我們稱為“光棍數(shù)”，11an?11an?他的特征是奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差能被11整除如：42559奇數(shù)位的數(shù)字之和為459=18，偶數(shù)位的數(shù)字之和為25=7，187=11是11的倍數(shù)，所以42559為“光棍數(shù)”.?①請你證明任意一個四位“光棍數(shù)”均滿足上述規(guī)律；②若七位整數(shù)能被11

7、整除，請求出所有符合要求的七位整數(shù)。17562mn39.10.11.有一個n位自然數(shù)能被整除，依次輪換個位數(shù)字得到的新數(shù)能被整abcdgh?0xbcdgha?01x?除，再依次輪換個位數(shù)字得到的新數(shù)能被整除，按此規(guī)律輪換后，能被cdghab?02x?dghabc?整除，…，能被整除，則稱這個n位數(shù)是的一個“輪換數(shù)”.03x?habcg?01xn??abcdgh?0x例如：60能被5整除，06能被6整除，則稱兩位數(shù)60是5的一個“輪換數(shù)”