古典概型中的幾類基本問題

1、1古典概型中的幾類基本問題1引言對于古典概型問題的求解，首先要做到這三方面的工作：一是明確分辨問題的性質(zhì)，即是67]1[不是古典概型問題；二是掌握古典概型的公式；三是根據(jù)公式要求，確定（基本事件總數(shù)）和n（有利事件總數(shù)）的值，這是解題的關(guān)鍵一步，計算方法靈活多變，沒有一個固定的模式，k17]2[但古典概型的種種解法大體上都是圍繞和展開的nk拋硬幣、擲骰子、摸球、取數(shù)等隨機試驗，在概率問題的研究中有著十分重要的意義一方面，這些模型是人們從

2、大量的隨機現(xiàn)象中篩選出來的理想化的概率模型，它們的內(nèi)容生動形象，結(jié)構(gòu)清楚明確，富有直觀性和典型性，便于深入淺出地反映事物的本質(zhì)，揭示事物的規(guī)律另一方面，這種模式化的解決，常常歸結(jié)為某種簡單的模型因此，有目的地考察并掌握若干常見的概率模型，有助于我們舉一反三，觸類旁通，豐富解題的技能和技巧，不斷提高解題能力通過對相關(guān)資料的查詢及老師的指導(dǎo)，本文主要討論古典概率的三類基本問題：摸球問題、質(zhì)點入盒問題、隨機取數(shù)問題，給出它們的一般解法，指出其

3、典型意義，并介紹其推廣應(yīng)用2摸球模型摸球模型是指從個可分辨的球中按照不同的要求（例如是否放回、是否計序等）一個一個地n從中取出（）個，從而得到不同的樣本空間，然后在各自的樣本空間中計算事件的概mnm?率一般說來，根據(jù)摸球的方式不同，可分為四種情況來討論，得如下表一的四種不同的樣本空間：表一26]3[其中表示從個不同元素中取個元素進行元素的可重復(fù)的組合時其不同的組mnmmnHC???1nm摸球方式不同摸法總數(shù)計序mn有放回不計序mnmmn

4、HC???1計序mnA從個球n中摸個球m無放回不計序mnC3第一個和第三個黑球可在個黑球中依次取得，有種取法；第二個白球可在個白球中取得，?2?P?有種取法因此，所包含的樣本點總數(shù)為，于是1?PA12??PP312)(??????PPPAP2.42.4無放回且不計序問題無放回且不計序問題如果摸球是無放回且不計序，其樣本空間的基本事件總數(shù)是從不同元素中取出若干個元素的所有不同的組合個數(shù)例袋中有個白球，個黑球，問：從中不放回取出（4??nm

5、?）個球，試求所取出的球恰有個白球的概率?????nmNnm，，、m思考方法：這些同類球都不加區(qū)別，即不計序，又抽取后部返回，因而本例屬無放回且不計序的摸球模型，其基本事件總數(shù)為，此事件為“取出個球中恰有個白球”，而事件nmC????Anm?m所包含的樣本點數(shù)，相當(dāng)于從個白球中取出個，從另外個球中任取個取法種A?mm????n數(shù)共，所以nmmCC?????nmnmmCCCAP??????????)(前面我們對摸球模型的各種類型進行了歸納

6、，如果把白球、黑球換成產(chǎn)品中的正品、次品，或換成甲物、乙物，這樣的人、那樣的人……就可以得到形形色色的摸球問題如果能靈活地將這些實際問題與前面的模型類型對號入座，我們就能解決有關(guān)的實際問題，為我們的生活帶來方便和樂趣，例如燈泡廠檢驗合格率等這些產(chǎn)品抽樣問題；還有可以把全班學(xué)生分成兩組，求每組中男女生人數(shù)相對等的概率；從一副撲克牌中任取張，求得張紅色的和張黑色的概率；在安排值班的633問題中，也可以按照無放回模型進行分析；在買彩票的過程中

7、，可以把雙色球、、選等玩D3367法的中獎概率求出，增加自己中獎機會這樣不僅把古典概率的知識應(yīng)用在了生活中，給生活帶來方便，同時也使數(shù)學(xué)給自己帶來了樂趣，激發(fā)了對數(shù)學(xué)應(yīng)用的動力3質(zhì)點入盒模型該模型是指有個可分辨的盒子，（）個質(zhì)點，按照質(zhì)點是否可分辨，每盒可容納質(zhì)nmnm?點的多少等不同情況，把個質(zhì)點放入個可分辨的盒子，從而形成不同的樣本空間，然后在各自mn樣本空間計算事件的概率，與摸球模型類似，這里也可分四種情況討論，清晰地可見這種模型