初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料

1、智浪教育—普惠英才文庫268初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料數(shù)的整除(三)甲內(nèi)容提要甲內(nèi)容提要在第1講《數(shù)的整除(一)》和44講《數(shù)的整除(二)》中，分別介紹了數(shù)的整除特征和運(yùn)用因式分解法解答數(shù)的整除問題，本講介紹應(yīng)用“同余”方面的知識.一.同余的概念兩個整數(shù)a和b被同一個正整數(shù)m除，所得的余數(shù)相同時，稱ab關(guān)于模m同余.記作a≡b(modm).如：8和15除以7同余1，記作8≡15(mod7)讀作8和15關(guān)于模7同余.∵2003=72861，∴2

2、003≡1(mod7)；∵－7和6對于模13同余6（余數(shù)是非負(fù)數(shù)）∴－7≡6（mod13）；∵35和0除以5，余數(shù)都是0（即都能整除）∴35≡0（mod5）.二.用同余式判定數(shù)的整除若a≡b(modm)，則m|(a－b).即a－b≡0(modm)m|(a－b).?例如：11≡25(mod7)7|(25－11)；或7|(11－25).?∵2535≡23≡0(mod5)，∴5|2535.三.同余的性質(zhì)(注意同余式與等式在變形中的異同點(diǎn))1.

3、傳遞性：.)(mod)(mod)(modmcamcbmba???????2.可加可乘性：?????????????).(mod)(mod).(mod)(modmbdacmdbcamdcmba；，推論可移性：a≡bc(modm)(a－b)≡c(modm).?可倍性：a≡b(modm)ka≡kb(modm)(k為正整數(shù)).?可乘方：a≡b(modm)an≡bn(modm)(n為正整數(shù)).?3.當(dāng)d是abm的正公因數(shù)時，a≡b(modm)(m

4、od).?dbda?dm如：2是20，26，6的正公因數(shù)，20≡26(mod6)(mod3).1310??四.根據(jù)抽屜原則：任給m1個整數(shù)，其中至少有兩個數(shù)對于模m同余.即至少有兩個，其差能被m整除.例如：任給5個數(shù)abcde.其中至少有兩個，它們的差能被4整除.∵除以4的余數(shù)只有0，1，2，3四種.∴5個數(shù)除以4至少有兩個同余.智浪教育—普惠英才文庫270個屬于同一類.設(shè)ab的末位數(shù)是同一類，那么a3b－ab3≡ab－ab≡0(mod

5、10)；或a3b－ab3≡(－a)b－a(－b)≡0(mod10).∴10|(a3b－ab3)丙練習(xí)丙練習(xí)261.三個數(shù)33，45，69除以正整數(shù)N有相同余數(shù)，但余數(shù)不是0，那么N=_______.2.求的個位數(shù)字.7773.求37除以19的余數(shù)；41989除以9的余數(shù).92454.求198919901990的余數(shù).5.四個數(shù)2836，4582，5164，6522都被同一個正整數(shù)除，所得的余數(shù)都相同且不是0，求除數(shù)和余數(shù).6.求證：7|

6、(3333444444443333).7.已知：正整數(shù)n2.求證：(mod4).31111?????個n8.任給8個整數(shù)，其中必有兩個，它們的差能被7整除，試證之.9.求使2n1能被3整除的一切自然數(shù)n.10.已知69，90，125除以N(N1)有同余數(shù)，那么對于同樣的N，81同余于()（A）3.（B）4.（C）5.（D）7.（E）8.（1971年美國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）年美國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）參考答案參考答案練習(xí)練習(xí)261.N=12，6

7、，2.(舍去3，∵余數(shù)是0).解法仿例1.2.個位數(shù)字是3.∵7≡－1(mod4)∴7≡(－1)7(mod4)……仿例37773.余數(shù)是18和1.∵37≡－1(mod19)∴原式≡－1≡18(mod19)；41989=(43)66364≡1(mod9)64663≡1663≡1.4.余數(shù)是1.∵1989≡－1(mod1990)∴19891990≡(－1)1990≡1(mod1990).5.根據(jù)題意2836≡4582≡5164≡6522≡r

8、(modm)而且4582－2836=17466522－5164=1358.∴m|1746且m|1358，(1746，1358)=297∴m=194972(2不合題意.舍去)答：除數(shù)為194，余數(shù)是120或除數(shù)為97，余數(shù)是236.∵3333444444443333≡14444(－1)3333≡0(mod7).7.0011≡11≡3(mod4).????????個個211111111??nn8.8個正整數(shù)分別除以7，必有兩個或兩個以上是同