量子動力學(xué) （物理狀態(tài)和觀測量隨時間的變化）

1、第二章：量子動力學(xué) (物理狀態(tài)和觀測量隨時間的變化),2.1 時間演化和 方程時間在量子力學(xué)中是參量而非算符，不是可觀測量。相對性量子理論通過將位置作為參量而將時空對等處理一、時間演化算符,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、時間演化算符的性質(zhì)1. (時間的)連續(xù)性 ? 2. 幺正性（幾

2、率守恒） ? 即對 ， 有3. 結(jié)合性：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,三、時間演化算符的表達,,,,,,,與空間平移相似，考慮無窮小時間演化算符 ： 算符的連續(xù)性、幺正性和組合性可由 且 為厄米算符來滿足。

3、考慮到 的量綱與頻率相同和經(jīng)典力學(xué)中Hamiltonian是時間演化的生成元，可合理地將 寫為 ，即 這里的 與坐標平移算子中的 相同，否則將推不出量子力學(xué)的經(jīng)典極限即牛頓運動定律,,,,,,,,,,,,,,四、薛定諤方程,,,,,,,1. 時間演化算符的薛定諤方程由

4、 ( (t-t0)不必為無窮小)有即2. 態(tài)矢時間演化的薛定諤方程對態(tài)矢 ，有或當然，若知 ，并知其對初態(tài)的作用，則無需解此方程 。,,,,,,,,,,五、時間演化算符的形式解,,,,,,,,,H與 t 無關(guān)，如穩(wěn)恒磁場與磁矩的相互作用 此時容易解得2. ，但 ，如方向恒定的交變磁場

5、。則： 容易驗證該 滿足 方程：3. 不同時的H不對易，如磁場方向隨時間而變的自旋磁場作用 此時的解為 在這一章中我們主要討論第一種情形。,,,,,,,,,,六、能量本征矢,,,,,,,,知道時間演化算符隨時間變化，還需知它如何作用于一態(tài)矢才能求出態(tài)矢的時間變化。如果選用能量本征態(tài)矢為基，則時間演化算符對

6、態(tài)的作用可輕易求得。 ；有 ；即 展開系數(shù)的模不變，但相位變化了。由于不同分量的相對相位發(fā)生變化， 與 可以是完全不同的。對 ，則 ，態(tài)

7、保持為H與A的共同本征態(tài)。,,,,,,,,,,,,,,,六、能量本征矢（續(xù)）,,,,,,,,由上討論可見量子力學(xué)的基本任務(wù)是找出與H對易的觀測量及其本征態(tài)。將初態(tài)由這個觀測量的本征態(tài)展開，便可求出態(tài)隨時間的變化。對有簡并情形，我們需要找出一組完整的相互對易且與 H 對易的算符,并用它們的共同本征態(tài)為基。該基一般用組合指標 表征，這樣,將任意態(tài) 以 展開將可求得其時間的演化了。,,,,,,,,,,,,,,,七、期望

8、值的時間演化,,,,,,,1. 由于：即任何觀測量對能量本征態(tài)的期望值都不隨時間變化。因此,能量本征態(tài)被稱為定態(tài)。 2. 對一般態(tài) ： 可見期望值一般是隨時間變化的。3. 對 也是B的本征態(tài)之特例（ B與H對易），則 不隨時間變化

9、 （與H對易的觀測量是運動的常數(shù)）,,,,,,,八、自旋進動,考慮電子與磁場作用： 若 ， ， 。 對 態(tài)， 設(shè) ， 若 ，則 仍為 態(tài)。,,,,,,,,,,,,,,

10、,,,,,,,,,,,八、自旋進動（續(xù)）,若 時為 態(tài)， ，則 t 時處于 態(tài)的幾率為：可見在磁場作用下,原處于 的自旋產(chǎn)生轉(zhuǎn)動而處于 的混和態(tài)，而且 以角頻率ω振蕩，且 等于兩態(tài)的能量差。類似可得 ,即自旋在xy平面內(nèi)進動。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,九、關(guān)

11、聯(lián)振幅和能量一時間測不準關(guān)系,態(tài)隨時間變化仍保留原態(tài)成份的多少可用關(guān)聯(lián)振幅描述：1. 若 是H本征態(tài)。則 ，其?？倿?。2. 對一般 ，由于振蕩項的作用，一般 隨時間而變小。原則上，態(tài)消亡后仍有可能復(fù)活。對準連續(xù)譜， ， 為能量本征態(tài)的態(tài)密度，

12、 ，有 ， 其中 。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,九、關(guān)聯(lián)振幅和能量一時間測不準關(guān)系（續(xù)）,3. 若初態(tài)近似為能量為 的本征態(tài)，能量展寬為 。則 ，

13、積分貢獻主要來源于 。即當時間大于特征時間 后， 將與1有較大差別?？梢妼Ψ悄芰勘菊鲬B(tài)，當演化時間超過 時原態(tài)的特征便消失了 （?t?壽命）。 常被稱為時間---能量測不準關(guān)系。 要注意的是，這種測不準關(guān)系與不兼容算符的測不準關(guān)系有本質(zhì)的不同（時間是參量，不是算符。）,,,,,,,,,,,,,,

14、,,,,,,,,,,2.2 薛定諤繪景與海森堡繪景,一、量子動力學(xué)的兩種描述方法薛定諤繪景：i）態(tài)矢隨時間變化（通過作用于態(tài)矢的時間演化算符描述），ii）觀測量算符與時間無關(guān)。海森堡繪景: i)態(tài)矢與時間無關(guān), ii)觀測量算符隨時間變化海森堡繪景和薛定諤繪景是等價的。二、么正算符量子力學(xué)中么正算符有多種功用：1）一種表象的基矢與另一表象的基矢可由么正算符聯(lián)系，態(tài)矢本身不變，但其展開系數(shù)則因表象而變；2）作用于態(tài)矢的空間

15、平移和時間演化算符。在這種么正算符作用下，態(tài)矢改變，但態(tài)矢的內(nèi)積不變 ：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,三、么正變換對態(tài)或算符作用的等價性,由于可有兩種等價方法：1）態(tài)矢變（ ），算符不變；2）態(tài)矢不變，算符變例如對于無窮小平移算符 ，方法一： 的期待值 ?方法二：

16、 ，兩者都得到相同的結(jié)果經(jīng)典物理并無態(tài)矢的概念，但有平移、時間演化等。平移和時間演化等作用于物理量如坐標，角動量等可觀測量而使其改變。因此，方法2）似乎與經(jīng)典力學(xué)的聯(lián)系更密切。,,,,,,,,,,,,四、薛定諤繪景與海森堡繪景中的態(tài)矢和觀測量,在薛定諤繪景中態(tài)矢隨時間變化， 這里 ，算符不變 。在海森堡繪景，

17、 但 在 時， ，在這兩種繪景中，算符的期待值是相同的，,,,,,,,,,,五、海森堡運動方程,對 不是時間顯函數(shù)的情形（適于大部分物理問題），

18、 （對 ）得Heisenberg運動方程： 它是根據(jù) 的定義和u的性質(zhì)推導(dǎo)出來的。,,,,,,,,,,,,,,,,,五、海森堡運動方程（續(xù)),經(jīng)典物理中，對不是時間顯函數(shù)的 ，有 由此，根據(jù)Dirac的量

19、子化規(guī)則便得海森堡運動方程。但在海森堡運動方程中 可以無經(jīng)典對應(yīng)，例如自旋算符也滿足 （但 不能寫成q 和p的函數(shù)） 即經(jīng)典力學(xué)可由對應(yīng)關(guān)系 推出，反之卻不然,,,,,,,,,,,,,,,,六、量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)觀察量的對應(yīng),時間演化算

20、符的薛定諤方程和海森堡運動方程的使用都需要有合適的哈密頓算符H。對有經(jīng)典對應(yīng)的物理體系，我們假定H與經(jīng)典物理有相同的形式而將經(jīng)典的 和 用量子力學(xué)的相應(yīng)算符來代替。當對應(yīng)規(guī)則牽涉不對易觀測量時，則要求H是厄米的。 例如，經(jīng)典力學(xué)的乘積xp之量子力學(xué)對應(yīng)為 。物理體系無經(jīng)典對應(yīng)時，需要猜想H算符的形式。猜想形式的正確性以所用H給出與實驗觀測結(jié)果相同來檢驗。在實際應(yīng)用中經(jīng)常需要計算 或

21、 與 及 的函數(shù)的對易關(guān)系。對此可使用公式：這里F及G分別是可以用 和 級數(shù)展開的函數(shù)，這兩式可通過級數(shù)展開及重復(fù)使用 而得。,,,,,,,,,,,,,七、自由粒子的運動,由經(jīng)典哈密頓的形式： 并將觀測量 和 理解成Heisenberg繪景的算符，1） 即對自由粒子，動量算符是運動常量，即

22、 。一般而言，若 與H對易，則 是運動常量。2） 與勻速直線運動的經(jīng)典軌跡方程相似。由于 不同時刻的坐標算符不對易 根據(jù)測不測關(guān)系，表明粒子的位置會隨時間而變得越來越不確定(對應(yīng)于波動力學(xué)的波包擴展),,,,,,,,,,,,八、 Ehrenfest定理,考慮粒子在勢場 中運動。

23、 是x，y，z算符的函數(shù)由于 與 對易， 與自由粒子情形相同。 即 ，與牛頓第二定律相仿（海森堡繪景）取期望值， （適用于薛定諤和海森堡繪景）由于Ehrenfest定理里無 (要求空間和時間平移算符