連續(xù)小波變換

1、連續(xù)小波變換,連續(xù)小波變換,連續(xù)小波變換是信號(hào)時(shí)-頻分析的另一種重要工具。它的時(shí)頻窗在低頻時(shí)自動(dòng)變寬，而在高頻時(shí)自動(dòng)變窄，具有自動(dòng)變焦作用。結(jié)果，在很暫短的高頻現(xiàn)象上，小波變換能比窗口Fourier變換更好地”移近”觀察。對(duì)于小波函數(shù)ψ(t) ，函數(shù) 的連續(xù)小波變換為 也常記為 上面用到了,,,,,,小波變換的計(jì)算,注

2、意第2講中函數(shù) 的卷枳定義記 ，連續(xù)小波變換可寫為卷積 其中證明 事實(shí)上，由卷積的定義，得再注意 ，即可得證。,,,,,,,,,,小波變換性質(zhì),定理 設(shè)ψ是小波而 ，則(線性)(平移) 其中 是平移算子

3、 。(3)(伸縮) 其中 是伸縮算子 。,,,,,,,,,小波變換性質(zhì)(續(xù)),(4) (對(duì)稱性)(5)(奇偶性) 其中P是反射算子(奇偶算子)(6)(反線性性)(7)(小波平移)(8)(小波伸縮),,,,,,,小波重構(gòu),如果ψ是一個(gè)基小波，則有Parseval恒等式

4、以及重構(gòu)公式上面討a的積分是從負(fù)無窮到正無窮的。由于a代表頻率的變化，這時(shí)有正頻率也有負(fù)頻率。在信號(hào)分析中，我們只考慮正頻率。,,,小波重構(gòu)(續(xù)),由伸縮因子a 對(duì)頻率的影響可以看到，頻率變量ω是膨賬參數(shù)a 的倒數(shù)的正的常數(shù)倍，例如，寫為 ，其中 是 的中心(假定 總是正的)，這樣，我們只需考慮a的正值。在連續(xù)小波變換重構(gòu)f 中，現(xiàn)在只允許使用值

5、 。這時(shí)，對(duì)小波ψ還需加上進(jìn)一步的限制,,,,,,,小波重構(gòu)(續(xù)2),定理 令ψ是滿足上述條件(1)的基小波，那么 對(duì)所有 成立。進(jìn)而,對(duì)于任何 和在f 的連續(xù)點(diǎn) ，有 附注 定理的證明完全類似于不限制a的情形,只需注意,,,,,,,不同小波的重構(gòu)公式,上面重構(gòu)公式與Parseval恒等式要求f

6、,g 的小波變換都是對(duì)同一小波進(jìn)行的。如使用不同小波進(jìn)行變換，容許性條件變?yōu)檫@時(shí)的Parseval恒等式是重構(gòu)公式是這時(shí)要對(duì) 加上較多條件: , 是可微的,且 并且,,,,,,,,,,小波生成方法,Gauss小波和Mexic帽小波是Gauss函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)生成的。這樣由光滑函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得到小波函數(shù)的

7、作法對(duì)一般情形也成立。設(shè)θ(t)是光滑函數(shù)，滿足 則 就一定是小波函數(shù)，因?yàn)槿绻?t)是滿足容許性條件的基小波，則由下述定理可以構(gòu)造更多的基小波。定理 如果ψ是一個(gè)基小波， 是一個(gè)有界可積函數(shù)，那么卷積

8、 是基小波。,,,,,,小波的光滑性與局部化性質(zhì),當(dāng)對(duì)小波附加了容許性條件后，應(yīng)用中有時(shí)還需要小波滿足其它的性質(zhì)，例如，要求小波是n次連續(xù)可微的或是無限可微的。用卷積方法可以增加小波的光滑性。例如ψ是Haar小波φ是Haar(尺度)函數(shù)，如果ψ與φ微n+1次卷積，則 是n次連續(xù)可微的。上個(gè)例子給出的小波是無限可微的,Mexic帽小波也是無限可微的。除了小波的光滑性外，小波還需要描述的另一

9、個(gè)性質(zhì)是局部化性質(zhì)。我們想ψ在時(shí)間與頻率方面都有好的局部化。,,局部化性質(zhì)與消失矩,對(duì)于時(shí)域局部化，ψ和它的導(dǎo)數(shù)當(dāng)t→0時(shí)必須很快地衰減。對(duì)于頻率局部化， 當(dāng)ω→0必須充分快地衰減，并且 在ω=0的鄰域中是低平的。消失距 在ω=0的低平性依賴于ψ的變?yōu)榱愕木亓康臄?shù)目。ψ的k 階矩定又為 稱小波ψ具有n 階消失矩(即n 階矩量變零)，如果 或等價(jià)地,,,,,,,連續(xù)小波變換,小波及連續(xù)小波變換

10、 常用的基本小波 時(shí)頻分析 連續(xù)小波變換的計(jì)算 小波變換的分類,（重新審視）,小波及連續(xù)小波變換,設(shè)函數(shù),，并且,，即,，則稱,為一個(gè)基本小波或母小波。,,,,,(連續(xù))小波函數(shù),a和b的意義,,,,,,,性質(zhì)： 線性性質(zhì) 平移不變性 ……….,,小波及連續(xù)小波變換,設(shè)函數(shù),則稱,為一個(gè)允許小波。,, 若,,允許條件與,,幾乎是等價(jià)條件.,,,常用的基本小波,,,Haar小波,,,,常用

11、的基本小波,,,2. Daubechies小波,,D4尺度函數(shù)與小波,,D6尺度函數(shù)與小波,常用的基本小波,,3、雙正交小波,雙正交B樣條小波（5-3）、 （9-7）小波濾波器,,bior2.2, bior4.4,（7-5）小波濾波器:,,,,,,,,,,常用于圖形學(xué)中。其中尺度函數(shù)是一個(gè)三次B樣條。,常用的基本小波,,,,,4. Morlet小波,,,,,,Morlet小波不存在尺度函數(shù); 快速衰減但非緊支撐.,Morlet小波是

12、Gabor 小波的特例。,,Gabor 小波,,Morlet小波,,常用的基本小波,,,,5. 高斯小波,,,,,,,,,,,,這是高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，在信號(hào)與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于階梯型邊界的提取。,特性： 指數(shù)級(jí)衰減，非緊支撐；具有非常好的時(shí)間頻率局部化； 關(guān)于0軸反對(duì)稱。,,常用的基本小波,,,6. Marr小波,,,,,,,,,,,這是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，在信號(hào)與圖象的邊緣提取中

13、具有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于屋脊型邊界和Dirac邊緣的提取。,（也叫墨西哥草帽小波）,特性： 指數(shù)級(jí)衰減，非緊支撐；具有非常好的時(shí)間頻率局部化； 關(guān)于0軸對(duì)稱。,,常用的基本小波,7. Meyer小波,,,,,,,,,,,,它的小波函數(shù)與尺度函數(shù)都是在頻域中進(jìn)行定義的。具體定義如下：,,,,常用的基本小波,8. Shannon小波,,,,,,,,,,,,,在時(shí)域，Shannon小波是無限次可微的，具有無窮階

14、消失矩，不是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域，Shannon小波是頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。,,常用的基本小波,9. Battle-Lemarie樣條小波,,,,,,,,,,,,,Battle-Lemarie線性樣條小波及其頻域函數(shù)的圖形,時(shí)頻分析,,1. Fourier變換,Fourier變換沒有反映出隨時(shí)間變換的頻率，也就是說，對(duì)于頻域中的某一頻率，我們不知道這個(gè)頻率是在什么時(shí)候產(chǎn)生的。因此，F(xiàn)ourier分析缺乏信

15、號(hào)的局部化分析能力 。,2. 短時(shí)Fourier變換,短時(shí)Fourier變換的基本思想是：把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，用Fourier變換分析每個(gè)時(shí)間間隔，以便確定在該時(shí)間間隔內(nèi)的頻譜信息。,,,非平凡函數(shù),,稱為窗函數(shù)，,如果,,,,,,,,,,窗口Fourier變換,通常我們用,作為窗函數(shù),的寬度的度量。,,,窗口Fourier變換：,大致反映了,,在時(shí)刻 b、頻率為,的"信號(hào)成分"的相對(duì)含量。,,,,,,,

16、,,,,窗口Fourier變換,,,,,,給出了,,在,,的時(shí)間窗,,內(nèi)的局部化信息。,,,短時(shí)Fourier變換,,若,及其Fourier變換,都是窗口函數(shù),，則稱,,為短時(shí)Fourier變換。,同時(shí)給出了,在時(shí)間窗,內(nèi)的局部化信息。,特別地，當(dāng)窗口函數(shù)取Gaussian函數(shù)時(shí)，,相應(yīng)的短時(shí)Fourier變換稱為Gabor變換。,,和頻率窗,,時(shí)間-頻率窗,的特性：不變的寬度,和固定的窗面積,,測不準(zhǔn)原理：,,應(yīng)用上的局限性：不太適合

17、分析非平穩(wěn)信號(hào)。,,小波時(shí)頻分析,,,小波分析能夠提供一個(gè)隨頻率改變的時(shí)間-頻率窗口。,假設(shè),是任一基本小波，并且,與,都是窗函數(shù)，,與半徑分別為,它們的中心,,，,，,和,。,不妨設(shè),和尺度 a都是正數(shù)。,,給出了,在時(shí)間窗,,,內(nèi)的局部化信息。,,,,給出了,在頻域窗,內(nèi)的局部化信息。,,,,,小波時(shí)頻分析,,,,,,,內(nèi)的局部化信息,,若用,作為頻率變量,，則,給出了信號(hào),在時(shí)間—頻率平面（,平面）中一個(gè)矩形的時(shí)間—頻率窗,,即小

18、波變換具有時(shí)—頻局部化特征。,,,窗寬:,,,面積:,,,的寬度是,,寬度的,倍.,檢測信號(hào),的高頻成分需用,具有比較小的,,的分析小波,,,變窄，并在高頻區(qū)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行細(xì)節(jié)分析.,. 這時(shí)時(shí)間窗會(huì)自動(dòng),,,,各種變換的比較,,,,,小波變換的特性?分解種類：時(shí)間-尺度或時(shí)間-頻率?分析函數(shù)：具有固定震蕩次數(shù)的時(shí)間有限的波。 小波函數(shù)的伸縮改變其窗口大小。?變量： 尺度，小

19、波的位置 ?信息：窄的小波提供好的時(shí)間局部化及差的頻率 局部化，寬的小波提供好的頻率局部化 及差的時(shí)間局部化。?適應(yīng)場合：非平穩(wěn)信號(hào),,,,,,,,,Fourier變換的特性? 分解種類： 頻率 ? 分析函數(shù)： 正弦函數(shù)，余弦函數(shù)? 變量： 頻率? 信息： 組成信號(hào)的頻率 適應(yīng)場合： 平穩(wěn)信號(hào) ? 算法復(fù)雜度：,短時(shí)Fourier

20、變換的特性 ?分解種類：時(shí)間-頻率 ?分析函數(shù)：由三角震蕩函數(shù)復(fù)合而成的時(shí)間有限的波 ?變量：頻率，窗口的位置 ?信息： 窗口越小，時(shí)間局部化越好，其結(jié)果是濾掉低頻成分； 窗口越大，頻率局部化越好, 此時(shí)時(shí)間局部化較差. ?適應(yīng)場合：次穩(wěn)定信號(hào),,,,連續(xù)小波變換的計(jì)算,,,,,,,,,,,,數(shù)值近似積分法、快速算法（包括Mellin算法，斜交投影算法等）,在Matlab小波工具箱中

21、，用cwt（）函數(shù)計(jì)算連續(xù)小波變換。,連續(xù)小波變換的結(jié)果的顯示方式： 灰度表示，三維表示,,,,連續(xù)小波變換與離散小波變換在分析信號(hào)時(shí)的優(yōu)缺點(diǎn),,,,,,,,,,,,,2, 4, 8, 16 , 32,1，2，…, 32,,小波變換的分類,,,,,,,,,,,,,中,三個(gè)變量均為連續(xù)變量，,離散化條件對(duì)小波及小波變換進(jìn)行分類。下面介紹兩種最重要的分類：,通過對(duì)它們施加不同的,離散小波及離散（參數(shù)）小波變換：二進(jìn)小波及二進(jìn)小波變換,只

22、對(duì)a,b離散化,： 只對(duì)a離散化,,離散小波及離散（參數(shù)）小波變換,,,,,,,,,令參數(shù),，,，其中,，則離散（參數(shù)）小波為：,,在這種情況下，常用,,記,,，即,,相應(yīng)于離散小波,的離散（參數(shù)）小波變換為：,,,重構(gòu)問題：,,在滿足什么條件下，可以由離散小波變換,,重構(gòu)原信號(hào)？,,可以驗(yàn)證，離散（參數(shù)）小波變換不具有平移不變性（習(xí)題6.4）。,,離散小波及離散（參數(shù)）小波變換的進(jìn)一步討論,,,尺度離散化：,實(shí)際工作中最常見的情況是,

23、將尺度 a按照二進(jìn)尺度離散化,此時(shí)a 取值為,位移離散化：,當(dāng)a=2-J (也就是j =J時(shí)),b可以某一基本間隔b0做均勻采樣. b0應(yīng)適當(dāng)選擇使信息仍能覆蓋全b軸而不丟失(如不低于Nyquist采樣率). 每經(jīng)過一次小波變換, 其采樣間隔擴(kuò)大一倍,由此可見此時(shí)a-b平面內(nèi)的采樣點(diǎn)如下圖所示.,,,離散小波及離散（參數(shù)）小波變換的進(jìn)一步討論,,,,,,,,,,,,,,,,,,變?yōu)?,,為簡化書寫,通常認(rèn)為b0=1,,以歸一.并記,,即