數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗

1、1,數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗,后勤工程學(xué)院數(shù)學(xué)教研室,擬 合,2,實驗?zāi)康?實驗內(nèi)容,2、掌握用數(shù)學(xué)軟件求解擬合問題。,1、直觀了解擬合基本內(nèi)容。,1、擬合問題引例及基本理論。,4、實驗作業(yè)。,2、用數(shù)學(xué)軟件求解擬合問題。,3、應(yīng)用實例,3,擬 合,2.擬合的基本原理,1. 擬合問題引例,,4,擬 合 問 題 引 例 1,求600C時的電阻R。,,設(shè) R=at+ba,b為待定系數(shù),,,5,擬 合 問 題 引 例 2,求血藥濃度隨時間

2、的變化規(guī)律c(t).,作半對數(shù)坐標系(semilogy)下的圖形,,,MATLAB(aa1),6,曲 線 擬 合 問 題 的 提 法,已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上 n個點（xi,yi) i=1,…n, 尋求一個函數(shù)（曲線）y=f(x), 使 f(x) 在某種準則下與所有數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好。,y=f(x),?i 為點（xi,yi) 與曲線 y=f(x) 的距離,7,擬合與插值的關(guān)系,函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)

3、造一個函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。,實例：下面數(shù)據(jù)是某次實驗所得，希望得到X和 f之間的關(guān)系？,MATLAB(cn),問題：給定一批數(shù)據(jù)點，需確定滿足特定要求的曲線或曲面,解決方案：,若不要求曲線（面）通過所有數(shù)據(jù)點，而是要求它反映對象整體的變化趨勢，這就是數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合。,若要求所求曲線（面）通過所給所有數(shù)據(jù)點，就是插值問題；,8,最臨近插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結(jié)果：,9

4、,曲線擬合問題最常用的解法——線性最小二乘法的基本思路,第一步:先選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), …rm(x), m<n, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) （1）其中 a1,a2, …am 為待定系數(shù)。,第二步: 確定a1,a2, …am 的準則（最小二乘準則）：使n個點（xi,yi) 與曲線 y

5、=f(x) 的距離?i 的平方和最小 。,記,問題歸結(jié)為，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。,10,線性最小二乘法的求解：預(yù)備知識,超定方程組：方程個數(shù)大于未知量個數(shù)的方程組,超定方程一般是不存在解的矛盾方程組。,如果有向量a使得 達到最小，則稱a為上述超定方程的最小二乘解。,11,線性最小二乘

6、法的求解,定理：當RTR可逆時，超定方程組（3）存在最小二乘解，且即為方程組 RTRa=RTy的解：a=(RTR)-1RTy,,所以，曲線擬合的最小二乘法要解決的問題，實際上就是求以下超定方程組的最小二乘解的問題。,12,線性最小二乘擬合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中函數(shù){r1(x), …rm(x)}的選取,1. 通過機理分析建立數(shù)學(xué)模型來確定 f(x)；,2. 將數(shù)據(jù) (xi,yi

7、) i=1, …n 作圖，通過直觀判斷確定 f(x)：,,13,用MATLAB解擬合問題,1、線性最小二乘擬合,2、非線性最小二乘擬合,,14,用MATLAB作線性最小二乘擬合,1. 作多項式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1擬合,可利用已有程序:,a=polyfit(x,y,m),2. 對超定方程組,3.多項式在x處的值y可用以下命令計算： y=polyval（a，x）,15,例 對下面一組數(shù)據(jù)作二

8、次多項式擬合,16,1）輸入以下命令：x=0:0.1:1; y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; R=[(x.^2)' x' ones(11,1)]； A=R\y',,,MATLAB(zxec1),解法1．用解超定方程的方法,2）計算結(jié)果： Ａ = -9.8108 20.1293 -0.0317,17,,

9、1）輸入以下命令： x=0:0.1:1; y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; A=polyfit(x,y,2) z=polyval(A,x); plot(x,y,'k+',x,z,'r') %作出數(shù)據(jù)點和擬合曲線的圖形,2）計算結(jié)果： Ａ = -9.8108 20.

10、1293 -0.0317,解法2．用多項式擬合的命令,MATLAB(zxec2),,18,1. lsqcurvefit已知數(shù)據(jù)點： xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan）， ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）,用MATLAB作非線性最小二乘擬合,Matlab的提供了兩個求非線性最小二乘擬合的函數(shù)：lsqcurvefit和lsqnonlin。兩個命令都

11、要先建立M-文件fun.m，在其中定義函數(shù)f(x)，但兩者定義f(x)的方式是不同的,可參考例題.,lsqcurvefit用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù)F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F(xiàn)（x，xdatan））T中的參變量x(向量),使得,,19,輸入格式為: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘f

12、un’,x0,xdata,ydata,options); (3) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’); (4) [x, options] = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,…); (5) [x, options,funval] = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,…);

13、 (6) [x, options,funval, Jacob] = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,…);,說明：x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,options);,20,lsqnonlin用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù) f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T 中的參量x，使得 最小。

14、 其中 fi（x）=f（x，xdatai，ydatai） =F(x,xdatai)-ydatai,2. lsqnonlin,已知數(shù)據(jù)點： xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan） ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）,21,輸入格式為： 1） x=lsqnonlin（‘fun’，x0）； 2）

15、 x= lsqnonlin （‘fun’，x0，options）； 3） x= lsqnonlin （‘fun’，x0，options，‘grad’）； 4） [x，options]= lsqnonlin （‘fun’，x0，…）； 5） [x，options，funval]= lsqnonlin （‘fun’，x0，…）；,說明：x= lsqnonlin （‘fun’，x0，options）；,22,,例

16、2 用下面一組數(shù)據(jù)擬合 中的參數(shù)a，b，k,該問題即解最優(yōu)化問題：,23,MATLAB(fzxec1),1）編寫M-文件 curvefun1.m function f=curvefun1(x,tdata) f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata) %其中 x(1)=a; x(2)=b；x(3)=

17、k;,2）輸入命令tdata=100:100:1000cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59]; x0=[0.2,0.05,0.05]; x=lsqcurvefit ('curvefun1',x0,tdata,cdata) f= curvefun1(x,tdata),F(x，tdata)=

18、 ，x=(a，b，k),解法1. 用命令lsqcurvefit,24,3）運算結(jié)果為：f =0.0043 0.0051 0.0056 0.0059 0.0061 0.0062 0.0062 0.0063 0.0063 0.0063 x = 0.0063 -0.0034 0.2542,4）結(jié)論：a=0.0063, b=-0.0034, k=0.

19、2542,25,MATLAB(fzxec2),解法 2 用命令lsqnonlin f(x)=F(x,tdata,ctada)= x=（a，b，k）,1）編寫M-文件 curvefun2.m function f=curvefun2(x) tdata=100:100:1000; cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90, 6

20、.10,6.26,6.39,6.50,6.59]; f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)- cdata,2）輸入命令: x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqnonlin('curvefun2',x0)f= curvefun2(x),函數(shù)curvefun2的自變量是x，cdata和tdata是已知參數(shù)，故應(yīng)將cdata tdata的值寫在curvefun2.m中,26

21、,,3）運算結(jié)果為 f =1.0e-003 *(0.2322 -0.1243 -0.2495 -0.2413 -0.1668 -0.0724 0.0241 0.1159 0.2030 0.2792 x =0.0063 -0.0034 0.2542,可以看出,兩個命令的計算結(jié)果是相同的.,4）結(jié)論：即擬合得a=0.0063 b=-0.0034 k=0.2542,27,M

22、ATLAB解應(yīng)用問題實例,1、電阻問題,2、給藥方案問題,*3、水塔流量估計問題,,28,MATLAB(dianzu1),電阻問題,得到 a1=3.3940, a2=702.4918,方法2.直接用,結(jié)果相同。,,MATLAB(dianzu2),29,一室模型：將整個機體看作一個房室，稱中心室，室內(nèi)血藥濃度是均勻的?？焖凫o脈注射后，濃度立即上升；然后迅速下降。當濃度太低時，達不到預(yù)期的治療效果；當濃度太高，又可能導(dǎo)致藥物中毒或副作用太強

23、。臨床上，每種藥物有一個最小有效濃度c1和一個最大有效濃度c2。設(shè)計給藥方案時，要使血藥濃度 保持在c1~c2之間。本題設(shè)c1=10，c2=25(ug/ml).,一種新藥用于臨床之前，必須設(shè)計給藥方案.,藥物進入機體后血液輸送到全身，在這個過程中不斷地被吸收、分布、代謝，最終排出體外，藥物在血液中的濃度，即單位體積血液中的藥物含量，稱為血藥濃度。,30,要設(shè)計給藥方案,必須知道給藥后血藥濃度隨時間變化的規(guī)律。從實驗和理論兩方面著手：,給

24、藥方案,1. 在快速靜脈注射的給藥方式下，研究血藥濃度（單位體積血液中的藥物含量）的變化規(guī)律。,t,問題,2. 給定藥物的最小有效濃度和最大治療濃度，設(shè)計給藥方案：每次注射劑量多大；間隔時間多長。,分析,理論：用一室模型研究血藥濃度變化規(guī)律,實驗：對血藥濃度數(shù)據(jù)作擬合，符合負指數(shù)變化規(guī)律,3.血液容積v, t=0注射劑量d, 血藥濃度立即為d/v.,2.藥物排除速率與血藥濃度成正比，比例系數(shù) k(>0),模型假設(shè),1. 機體看作一

25、個房室，室內(nèi)血藥濃度均勻——一室模型,模型建立,在此，d=300mg，t及c（t）在某些點處的值見前表，需經(jīng)擬合求出參數(shù)k、v,用線性最小二乘擬合c(t),MATLAB(lihe1),計算結(jié)果：,用非線性最小二乘擬合c(t),給藥方案 設(shè)計,設(shè)每次注射劑量D, 間隔時間?,血藥濃度c(t) 應(yīng)c1? c(t) ? c2,初次劑量D0 應(yīng)加大,給藥方案記為：,2、,1、,計算結(jié)果：,給藥方案：,c1=10,c2=25k=0.2347v

26、=15.02,35,故可制定給藥方案：,即: 首次注射375mg， 其余每次注射225mg， 注射的間隔時間為4小時。,,36,,估計水塔的流量,2、解題思路,3、算法設(shè)計與編程,1、問題,,37,某居民區(qū)有一供居民用水的園柱形水塔，一般可以通過測量其水位來估計水的流量，但面臨的困難是，當水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時，水泵自動啟動向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時停止供水，這段時間無法測量水塔的水位和水泵的

27、供水量．通常水泵每天供水一兩次，每次約兩小時.水塔是一個高12.2米，直徑17.4米的正園柱．按照設(shè)計，水塔水位降至約8.2米時，水泵自動啟動，水位升到約10.8米時水泵停止工作．表1 是某一天的水位測量記錄，試估計任何時刻（包括水泵正供水時）從水塔流出的水流量，及一天的總用水量．,38,,39,流量估計的解題思路,擬合水位~時間函數(shù),確定流量~時間函數(shù),估計一天總用水量,,40,擬合水位~時間函數(shù) 測量記錄看，一天有兩

28、個供水時段（以下稱第1供水時段和第2供水時段），和3個水泵不工作時段（以下稱第1時段t=0到t=8.97，第2次時段t=10.95到t=20.84和第3時段t=23以后）．對第1、2時段的測量數(shù)據(jù)直接分別作多項式擬合，得到水位函數(shù)．為使擬合曲線比較光滑，多項式次數(shù)不要太高，一般在3~6．由于第3時段只有3個測量記錄，無法對這一時段的水位作出較好的擬合．,,41,2、確定流量~時間函數(shù) 對于第1、2時段只需將水位函數(shù)求導(dǎo)數(shù)即可

29、，對于兩個供水時段的流量，則用供水時段前后（水泵不工作時段）的流量擬合得到，并且將擬合得到的第2供水時段流量外推，將第3時段流量包含在第2供水時段內(nèi)．,,42,3、一天總用水量的估計 總用水量等于兩個水泵不工作時段和兩個供水時段用水量之和，它們都可以由流量對時間的積分得到。,,43,算法設(shè)計與編程,1、擬合第1、2時段的水位，并導(dǎo)出流量,2、擬合供水時段的流量,3、估計一天總用水量,,4、流量及總用水量的檢驗,,44,1、擬合

30、第1時段的水位，并導(dǎo)出流量 設(shè)t，h為已輸入的時刻和水位測量記錄（水泵啟動的4個時刻不輸入），第1時段各時刻的流量可如下得：1） c1=polyfit（t（1：10），h（1：10），3）； %用3次多項式擬合第1時段水位，c1輸出3次多項式的系數(shù)2）a1=polyder（c1）； % a1輸出多項式（系數(shù)為c1）導(dǎo)數(shù)的系數(shù) 3）tp1=0：0.1：9；

31、x1=-polyval（a1，tp1）； % x1輸出多項式（系數(shù)為a1）在tp1點的函數(shù)值（取負后邊為正值），即tp1時刻的流量,MATLAB(llgj1),4）流量函數(shù)為：,45,2、擬合第2時段的水位，并導(dǎo)出流量 設(shè)t，h為已輸入的時刻和水位測量記錄（水泵啟動的4個時刻不輸入），第2時段各時刻的流量可如下得：1） c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),3)； %用3次

32、多項式擬合第2時段水位，c2輸出3次多項式的系數(shù)2） a2=polyder(c2)； % a2輸出多項式（系數(shù)為c2）導(dǎo)數(shù)的系數(shù) 3）tp2=10.9:0.1:21; x2=-polyval(a2,tp2); % x2輸出多項式（系數(shù)為a2）在tp2點的函數(shù)值（取負后邊為正值），即tp2時刻的流量,MATLAB(llgj2),,4）流量函數(shù)為：,46,3、擬合供水時段的流量 在第1供水時段（t=9~11）之

33、前（即第1時段）和之后（即第2時段）各取幾點，其流量已經(jīng)得到，用它們擬合第1供水時段的流量．為使流量函數(shù)在t=9和t=11連續(xù)，我們簡單地只取4個點，擬合3次多項式（即曲線必過這4個點），實現(xiàn)如下： xx1=-polyval（a1，[8 9]）； %取第1時段在t=8,9的流量 xx2=-polyval（a2，[11 12]）； %取第2時段在t=11,12的流量 xx12=[x

34、x1 xx2]； c12=polyfit（[8 9 11 12]，xx12，3）； %擬合3次多項式 tp12=9：0.1：11； x12=polyval（c12，tp12）； % x12輸出第1供水時段 各時刻的流量,MATLAB(llgj3),擬合的流量函數(shù)為：

35、,47,在第2供水時段之前取t=20，20.8兩點的流水量，在該時刻之后（第3時段）僅有3個水位記錄，我們用差分得到流量，然后用這4個數(shù)值擬合第2供水時段的流量如下： dt3=diff（t(22：24)）； %最后3個時刻的兩兩之差 dh3=diff（h(22：24)）； %最后3個水位的兩兩之差 dht3=-dh3./dt3；

36、 %t(22)和t(23)的流量 t3=[20 20.8 t(22) t(23)]； xx3=[-polyval(a2，t3(1：2)，dht3)]； %取t3各時刻的流量 c3=polyfit（t3，xx3，3）； %擬合3次多項式 t3=20.8：0.1：24； x3=polyval（

37、c3，tp3）；% x3輸出第2供水時段 （外推至t=24）各時刻的流量,MATLAB(llgj4),,擬合的流量函數(shù)為：,48,3、一天總用水量的估計 第1、2時段和第1、2供水時段流量的積分之和，就是一天總用水量．雖然諸時段的流量已表為多項式函數(shù)，積分可以解析地算出，這里仍用數(shù)值積分計算如下：

38、 y1=0.1*trapz(x1)； %第1時段用水量（仍按高 度計），0.1為積分步長 y2=0.1*trapz(x2)； %第2時段用水量 y12=0.1*trapz(x12)；

39、 %第1供水時段用水量 y3=0.1*trapz(x3)； %第2供水時段用水量 y=（y1+y2+y12+y3）*237.8*0.01； %一天總用水量（ ） 計算結(jié)果：y1=146.2, y2=266.8, y12=47.4, y3=77.3，y=1250.4,MATLAB(llgjz),,49,,4、流量及總用水量的檢

40、驗 計算出的各時刻的流量可用水位記錄的數(shù)值微分來檢驗．用水量y1可用第1時段水位測量記錄中下降高度968-822=146來檢驗，類似地，y2用1082-822=260檢驗．供水時段流量的一種檢驗方法如下：供水時段的用水量加上水位上升值260是該時段泵入的水量，除以時段長度得到水泵的功率（單位時間泵入的水量），而兩個供水時段水泵的功率應(yīng)大致相等．第1、2時段水泵的功率可計算如下： p1=(y12+260)/2；

41、 %第1供水時段水泵的功率 （水量仍以高度計） tp4=20.8：0.1：23； xp2=polyval（c3，tp4）； % xp2輸出第2供水時段

42、 各時刻的流量 p2=(0.1*trapz(xp2)+260)/2.2； %第2供水時段水泵的功率 （水量仍以高度計）計算結(jié)果：p1=154.5 ，p2=140.1,MATLAB (ll),50,計算結(jié)果,流量函數(shù)為：,51,流量曲線見圖,,,,n=(3,4),n=(5,6),,52,練習(xí)1

43、 用給定的多項式，如y=x3-6x2+5x-3，產(chǎn)生一組數(shù)據(jù)(xi,yi，i=1,2,…,n),再在yi上添加隨機干擾(可用rand產(chǎn)生(0,1)均勻分布隨機數(shù),或用rands產(chǎn)生N(0,1)分布隨機數(shù))，然后用xi和添加了隨機干擾的yi作的3次多項式擬合，與原系數(shù)比較。 如果作2或4次多項式擬合，結(jié)果如何？,53,練習(xí)2、用電壓V=10伏的電池給電容器充電，電容器上t時刻的電壓為

44、 ，其中V0是電容器的初始電壓， 是充電常數(shù)。試由下面一組t，V數(shù)據(jù)確定V0， 。,,54,用非線性最小二乘擬合c(t)-用lsqcurvefit,2、主程序lihe2.m如下cleartdata=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8];cdata=[19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01]; x0=[10,0.5];x=lsqcurvefit