可分離變量微分方程的解法及其應(yīng)用

1、可分離變量的微分方程及其應(yīng)用,主講人 李海燕,數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)系,授課內(nèi)容,知識(shí)點(diǎn)回顧提出問(wèn)題引例建模定義解法 解決問(wèn)題練習(xí),一、知識(shí)點(diǎn)回顧,常微分方程的形式,通解與特解,常微分方程的定義,二、提出問(wèn)題,怎樣求解一階微分方程呢？（難?。?,,什么是可分離變量的微分方程呢？,初等積分法,,分離變量法,常數(shù)變易法,恰當(dāng)因子法,參數(shù)法,降階法,三、引例建模,故事梗概,直到20年后，1967年卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的科學(xué)家們用微分方程模型

2、解決了真假名畫(huà)問(wèn)題。,維米爾名畫(huà)偽造案,范. 梅格倫（Van Meegren）“偽造”17世紀(jì)荷蘭著名畫(huà)家Jan.Vermeer（維米爾）的名畫(huà)賣(mài)給納粹分子。,思路,,2 原理：著名物理學(xué)家盧瑟夫（Rutherford） 指出，物質(zhì)的放射性（衰變率）正比 于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù) 。,1 分析：油畫(huà)中不可缺少的顏料之一白鉛，具有放 射性，其應(yīng)用已有2000余年，白鉛的成分 中包含

3、了少量的鐳（Ra226）和少量的放 射性鉛（Pb210） 。 我們看下元素衰變示意圖 。,3 建立微分方程：,設(shè)t時(shí)刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量為y(t), y0為t0時(shí)刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量,鐳元素的衰變率為常數(shù)r 。則：,四、可分離變量微分方程的定義,定義： 若一階顯式或微分形式方程可分別寫(xiě)成,,（1）,（2）,則稱：(1)和(2)為變量可分離方程。,五、可分離變量微分方程的解法,積分

4、法,隱式通解（通積分）,,,,變量分離,,以方程（1）為例：,例 解初值問(wèn)題,,六、解決問(wèn)題,經(jīng)驗(yàn)：礦石中鈾的最大含量可能 2-3%，若白鉛 中鉛210每分鐘衰變超過(guò)3萬(wàn)個(gè)原子，則礦 石中含鈾量超過(guò)4% 。,處理：分析鉛210的衰變率，與當(dāng)時(shí)礦物質(zhì)中放 射性物質(zhì)含量比較，來(lái)判別畫(huà)的真?zhèn)?。,維米爾名畫(huà)偽造案,建模：,設(shè)t時(shí)刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量為y(t)，y0為t0時(shí)刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量

5、,鐳元素的衰變率為常數(shù)r 。,,則:,衰變率：,,其中 ?, y(t), r均容易測(cè)出。,假設(shè)：第一幅畫(huà)是真品，則,,,鉛210每分鐘每克衰變數(shù)值不合理，因此為贗品。,同理可判別其他畫(huà)的真?zhèn)巍?結(jié)論：,小結(jié)：,,1.可分離變量的微分方程及其解法,2.可分離變量的微分方程的建模應(yīng)用,1.解方程:,,,七、練習(xí),2.古尸年代鑒定問(wèn)題:,在巴基斯坦一個(gè)洞穴里，發(fā)現(xiàn)了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科學(xué)家把它帶到實(shí)驗(yàn)室，作C14年代

6、測(cè)定，分析表明，與C12的比例僅僅是活組織內(nèi)的6.24%，能否判斷此人生活在多少年前?,Thank you for your attention ！,back,顯式：,,,或 隱式：,,back,通解：解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相等，通常形式為：,,,,特解：滿足初始條件的解，其中初始條件為：,,back,礦石中元素衰變示意圖：,,,,,T=45億年,T=1600年,T=22年,T=138天,,白鉛,back,back

7、2,C14年代測(cè)定：活體中的碳有一小部分是放射性同位素C14，這種放射性碳是由于宇宙射線在高層大氣中的撞擊引起的，經(jīng)過(guò)一系列交換過(guò)程進(jìn)入活組織內(nèi)，直到在生物體內(nèi)達(dá)到平衡濃度,這意味著在活體中，C14的數(shù)量與穩(wěn)定的C12的數(shù)量成定比，生物體死亡后，交換過(guò)程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度減少。,back,設(shè)t時(shí)刻的原子數(shù)為 y(t)，則有,為物質(zhì)的衰變常數(shù)。,back,設(shè)t時(shí)刻的原子數(shù)為 y(t)，則有,為物質(zhì)的衰變常數(shù)。,初