第七章動(dòng)態(tài)電路的狀態(tài)變量分析

1、第七章 動(dòng)態(tài)電路的狀態(tài)變量分析,7.1 電路的狀態(tài)和狀態(tài)變量 7.2 狀態(tài)方程及其列寫(xiě) 7.3 狀態(tài)方程的解法 7.4 應(yīng)用實(shí)例：解微分方程電路,7.1 電路的狀態(tài)和狀態(tài)變量,本章將給出電路的狀態(tài)和狀態(tài)變量的定義，討論狀態(tài)方程的列寫(xiě)方法和求解方法。,一、狀態(tài)變量,狀態(tài)的定義：一個(gè)電路的狀態(tài)是指在某個(gè)給定時(shí)刻必須具備最少量的信息，這些信息與該時(shí)刻以后的激勵(lì)，就能夠完全確定以后任何時(shí)刻該電路的行為。,狀態(tài)變量法不僅適用于

2、分析線性非時(shí)變電路，而且適合用來(lái)分析線性時(shí)變電路和非線性電路。,狀態(tài)變量(state variable)：一組能夠確定電路行為的最少變量。,,一般來(lái)說(shuō)，電路變量的集合x(chóng)(t)滿足以下兩個(gè)條件，可作為電路的狀態(tài)。,(1) 如果已知x(t)（其各個(gè)元素都是獨(dú)立的）在t0時(shí)刻的值x(t0)以及從t0開(kāi)始的輸入w(t)，則對(duì)任意t > t0，x(t)就能完全確定。,(2) 由x(t)和w(t)可確定任何其它電路變量集y(t)。,在電路分析

3、中，一般選全部獨(dú)立的電容電壓uC（或電荷qC）和獨(dú)立的電感電流iL（或磁通?L）的集合作為電路的狀態(tài)x(t)。,,狀態(tài)軌跡(state trajectory) —狀態(tài)向量x(t)在任一時(shí)刻t的值稱為電路在該時(shí)刻的狀態(tài)。每一時(shí)刻的狀態(tài)在狀態(tài)空間中都對(duì)應(yīng)一個(gè)“點(diǎn)”，所有這些“點(diǎn)”形成的“軌跡”，稱為狀態(tài)軌跡。通過(guò)狀態(tài)軌跡人們就可以判斷電路的基本性質(zhì),狀態(tài)空間(state space)—把每個(gè)狀態(tài)變量作為一個(gè)坐標(biāo)形成的空間。,,,例：RLC并

4、聯(lián)電路的響應(yīng)分析,（1）以iL為求解對(duì)象的微分方程,初始值：iL(0+)= I0、uC(0+)=U0,（2）以iL和uC作為變量分別列寫(xiě)RLC并聯(lián)電路的方程，則有：,在二階電路中學(xué)過(guò),,,,表示成矩陣形式,,是以iL和uC為變量的一階微分方程組。,初始值iL(0+)= I0、uC(0+)=U0也可表示成,稱這一階微分方程組為RLC并聯(lián)電路動(dòng)態(tài)過(guò)程的狀態(tài)方程(state equations)，并可簡(jiǎn)寫(xiě)成,其中x=[ iL uC]T稱為電

5、路的狀態(tài),x中的元素iL和uC稱為狀態(tài)變量,A、B —為系數(shù)矩陣，取決于電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和元件參數(shù),W —為輸入向量,x(0+)=[ I0 U0]T —為電路的初始狀態(tài),x(0-) —電路的原始狀態(tài),x(0+)=x(0-)=x(0)=x0,根據(jù)換路定律有,（1）當(dāng)w = 0，x0 ? 0時(shí)，狀態(tài)方程描述零輸入響應(yīng)；,（2）當(dāng)w ? 0，x0= 0時(shí)，狀態(tài)方程描述零狀態(tài)響應(yīng)；,（3）當(dāng)w ? 0，x0 ? 0時(shí)，狀態(tài)方程描述完全響應(yīng)。,,

6、,,,,,(a) 欠阻尼情況,(b) 無(wú)阻尼情況,(c) 發(fā)散情況,電路的狀態(tài)空間軌跡能夠反映電路的特性,,,,,,,,（2）欠阻尼情況：狀態(tài)軌跡是從t=0+ 到t=? 時(shí)的螺旋線,（3）無(wú)阻尼情況：狀態(tài)軌跡是以原點(diǎn)為對(duì)稱的橢圓,（4）響應(yīng)為增幅振蕩情況：在t趨于? 時(shí)，零輸入響應(yīng)成為無(wú)界，狀態(tài)軌跡是向外發(fā)散的。,(a) 欠阻尼情況,(b) 無(wú)阻尼情況,(c) 發(fā)散情況,,,,,,,注意：在線性非時(shí)變電路中，由于求解電路響應(yīng)所必需的初始

7、條件可以由電容的初始電壓和電感的初始電流完全確定，所以通常選取獨(dú)立的電容電壓uC和獨(dú)立的電感電流iL作為狀態(tài)變量,（1）無(wú)源（RLC）電路的復(fù)雜度為n = nC + nL ? lC ? qL,（2）有源電路復(fù)雜度的上下限為0 ? n ? nC + nL ? lC ? qL,7.2 狀態(tài)方程及其列寫(xiě),7.2.1狀態(tài)方程和輸出方程,,一、狀態(tài)方程—一階微分方程組,其一般形式為,,矩陣形式為,矩陣形式為,初始條件,二、輸出方程的一般形式為,

8、矩陣形式,矩陣形式,C=[cik]r?n和D=[dij]r?m,—系數(shù)矩陣,此時(shí)輸出方程的形式為,則輸出方程中將出現(xiàn)輸出向量導(dǎo)數(shù),,7.2.2 線性非時(shí)變動(dòng)態(tài)電路狀態(tài)方程的列寫(xiě),列寫(xiě)方法,這里介紹直接觀察或置換方法列寫(xiě)電路的狀態(tài)方程。,不太復(fù)雜的電路,復(fù)雜的電路,(1) 選一個(gè)樹(shù)，使它包含全部電容（和無(wú)伴電壓源支路）而不含電感（和無(wú)伴電流源支路）。,(2) 對(duì)每個(gè)電容樹(shù)支確定的基本割集列寫(xiě)KCL方程；對(duì)每個(gè)電感連支確定的基本回路列寫(xiě)KV

9、L方程。,(3) 消去以上兩組方程中的非狀態(tài)變量（就是將非狀態(tài)變量用狀態(tài)變量和激勵(lì)來(lái)表示），并整理成標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程。,二、輸出方程的列寫(xiě),（2）將非狀態(tài)變量用狀態(tài)變量和輸入激勵(lì)表示,（3）整理成標(biāo)準(zhǔn)形式的輸出方程,,(1) 選1、3、4作為樹(shù)支，則2、5為連支。,例7.2.1 試列出圖(a)所示電路的狀態(tài)方程。,解：1.直接觀察法寫(xiě)狀態(tài)方程,,,(2) 對(duì)電容C3確定的基本割集1列寫(xiě)KCL方程,,(a),對(duì)電感L5確定的基本回路列

10、寫(xiě)KVL方程,對(duì)電容C4確定的基本割集2列寫(xiě)KCL方程,(3) 用uC3、uC4、iL5和uS表示非狀態(tài)變量iR1和iR2，得到,,,,代入基本割集和基本回路方程，有,整理成標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程為,整理后可得標(biāo)準(zhǔn)形式的輸出方程,若以iC3和uL5作為輸出變量，則有,,2.寫(xiě)輸出方程,例7.2.2 將上例電路中的電感L5改為電壓控制電壓源?uR1，如圖(a)所示。試列出電路的狀態(tài)方程。,,,解: 按直接觀察的步驟列寫(xiě),（1）受控源可先按獨(dú)

11、立源處理,(2)列寫(xiě)基本割集1和2的KCL方程,,(a),,,,(3) 用uC3、uC4和uS表示非狀態(tài)變量iR1和iR2，得到,代入基本割集方程，有,標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程為,,當(dāng)? = ?1時(shí)，狀態(tài)方程將變成,因?yàn)殡娐分泻惺芸卦矗?dāng)? = ?1時(shí)，電容電壓uC3 =uS已不再獨(dú)立所造成的。,由電路復(fù)雜度公式可知其獨(dú)立狀態(tài)變量的上下限為0 ? n ? 2。,若? ? ?1，則電路的復(fù)雜度為2，電路有兩個(gè)狀態(tài)變量；,若? = ?1，則電路

12、的復(fù)雜度降為1，電路只有1個(gè)狀態(tài)變量,,例7.2.3 試列出圖(a)所示電路的狀態(tài)方程。并以u(píng)R7和uR9作為輸出變量，列寫(xiě)輸出方程。,,(a),(b) 拓?fù)鋱D,解：直接觀察法,選支路3、4、6、7、8和9為樹(shù)支；則1、2作為連支,,,,,列寫(xiě)基本回路1和2的KVL方程,（2）列寫(xiě)基本割集1和2的KCL方程,,,(3)非狀態(tài)變量uR6、uR7、uR8和uR9用iL1、iL2、uC3、uC4和uS表示?？傻?,,,,,uR9的求取可應(yīng)用

13、置換定理，將電感和電容分別用電流源和電壓源置換,,(c) 用電流源置換圖(a)中間支路,(d) 圖(c)的等效電路,可得,,,經(jīng)整理可得標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程,其中,整理后標(biāo)準(zhǔn)形式的輸出方程為,因?yàn)閡R7和uR9為輸出,,,例7.2.4 試列出圖(a)所示電路的狀態(tài)方程。已知R1=R2=5?，g=0.2，C=1F，L1=2H，L2=3H，M=1H。,（1）列寫(xiě)基本割集KCL方程,解 直接觀察列寫(xiě),對(duì)耦合電感支路L1確定的基本回路1列寫(xiě)KVL

14、方程,,,對(duì)耦合電感支路L2確定的基本回路2列寫(xiě)KVL方程,(3) 由兩個(gè)基本回路方程可解得,其中,,可得標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程,代入具體參數(shù)，求得狀態(tài)方程,,二、用置換法列寫(xiě)狀態(tài)方程,置換方法：即用電流源iL置換電感L，用電壓源uC置換電容C。置換后的電路成為一個(gè)電阻性電路,,則：“電流源”iL兩端的電壓 uL=LdiL/dt用狀態(tài)變量iL、uC和輸入激勵(lì)iS、uS表示,“電壓源”uC中的電流 iC=CduC/dt用狀態(tài)變量iL、uC和輸

15、入激勵(lì)iS、uS表示,整理后，即可得出狀態(tài)方程,,例7.2.5 試用置換法重新列出圖 (a)所示電路的狀態(tài)方程,,(a),,,等效電路,由等效電路可得：,,,于是,整理可得標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程,,可見(jiàn)與通過(guò)直接觀察的例7.2.3所得結(jié)果一致。,7.2.3 非線性動(dòng)態(tài)電路的狀態(tài)方程列寫(xiě),描述非線性動(dòng)態(tài)電路的方程是非線性微分方程,狀態(tài)方程一般可寫(xiě)成,或,,w(t)—為m維激勵(lì)向量,x(t)—為n維狀態(tài)向量,若儲(chǔ)能元件為非線性元件，則選擇元件

16、特性中的控制量作為狀態(tài)變量。,例如荷控電容，其庫(kù)伏特性為uC= f(qC)，則可選qC作為狀態(tài)變量,例如磁控電感，其韋安特性為iL= f(?L)，則可選?L作為狀態(tài)變量,,,非線性狀態(tài)方程仍可以直接觀察或采用電路分析方法等來(lái)列寫(xiě)。直接觀察的步驟是（1）計(jì)算電路的復(fù)雜性，選取獨(dú)立的狀態(tài)變量；（2）列電路方程；（3）消除非狀態(tài)變量；（4）寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程。,例7.2.6 試直接觀察寫(xiě)出圖所示電路的狀態(tài)方程。已知電壓源的電壓為

17、uS，兩個(gè)線性非時(shí)變電阻分別為R6和R7，各非線性元件的特性方程分別為u1=f1(q1)，u2=f2(q2)，u3=f3(q3)，i4=f4(?4)，i5=f5(?5)。,,解：(1)選獨(dú)立的狀態(tài)變量。由于圖示電路為常態(tài)電路，所以獨(dú)立的狀態(tài)變量有五個(gè)。現(xiàn)選q1 ，q2，q3，?4，?5作為狀態(tài)變量。,,（2） 對(duì)與電容有關(guān)的節(jié)點(diǎn)寫(xiě)出KCL方程,節(jié)點(diǎn)1：,節(jié)點(diǎn)2：,節(jié)點(diǎn)3：,對(duì)含電感的回路寫(xiě)出KVL方程,回路I：,回路II：,,（3） 將

18、有關(guān)的支路方程u1=f1(q1)，u2=f2(q2)，i3=f3(q3)，i4=f4(?4)，i5=f5(?5)代入上述 KCL和 KVL方程，得,,（4）消去非狀態(tài)變量。由于i6，i7為非狀態(tài)變量，因此應(yīng)該消去。從圖中可知,,將上面二式代入（3）內(nèi)的各式，便得出非線性狀態(tài)方程,初始條件由q1(0+)，q2(0+)，q3(0+)，?4(0+)，?5(0+)確定。,,7.3 狀態(tài)方程的解法,狀態(tài)方程是一階微分方程組，最適合用數(shù)值方法（比

19、如龍格庫(kù)塔法）求解。特別是對(duì)于非線性電路和時(shí)變電路，其狀態(tài)方程一般只能用數(shù)值方法求解。,線性非時(shí)變電路狀態(tài)方程是一階線性常微分方程組，其解法有三種，即時(shí)域解法、復(fù)頻域解法（拉氏變換法）和數(shù)值解法。這里僅討論一階線性常微分方程組，即線性非時(shí)變電路狀態(tài)方程的時(shí)域解法和復(fù)頻域解法,一、標(biāo)量一階微分方程解,線性非時(shí)變電路的狀態(tài)方程,可視為向量一階微分方程,它在形式上和標(biāo)量一階微分方程,相同,標(biāo)量一階微分方程的解法,用e-at乘式

20、 兩端，并移項(xiàng)得,有：,7.3.2 線性非時(shí)變電路狀態(tài)方程的時(shí)域解法,對(duì)上式兩端從0到t積分,將x(0)移到等式右邊，再對(duì)等號(hào)兩端乘eat，得,二、狀態(tài)方程的時(shí)域解法,仿照求解標(biāo)量一階微分方程的方式來(lái)求解向量一階微分方程，即求解狀態(tài)方程。,對(duì)狀態(tài)方程,兩端前乘e-At，并移項(xiàng),有,對(duì)上式兩端從0 到t積分,,,移項(xiàng)并左乘eAt，得,當(dāng)w(t)=0時(shí)，有解,可見(jiàn)eAt可以將x(0 ) = x0轉(zhuǎn)移成解xzi，所以稱eAt為狀態(tài)轉(zhuǎn)換

21、矩陣(state transition matrix)函數(shù)。,,當(dāng)x(0)=0時(shí)，有解,該解xzs也與eAt密切相關(guān)，所以計(jì)算eAt是求解狀態(tài)方程的關(guān)鍵。,三、狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)eAt的定義和性質(zhì),1. 狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)eAt的定義,狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)eAt作為矩陣指數(shù)函數(shù)仍然仿照指數(shù)函數(shù),定義為,則狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)eAt是一個(gè)和A同階的n ? n方陣，且當(dāng)t = 0，eAt= e0 =1。,,2. 狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)eAt的性質(zhì),狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩

22、陣函數(shù)eAt的主要性質(zhì)有以下幾點(diǎn)。,(1),(2),(3),(4),3. 狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)eAt的計(jì)算,計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)eAt的方法有多種，這里只討論拉普拉斯變換方法。,設(shè)電路的輸入為零，狀態(tài)方程變?yōu)?對(duì)上式取拉氏變換，得,于是,取拉氏反變換，有,?-1,將上式的解與式 進(jìn)行比較，有,eAt = ?-1,,,,例7.3.1 已知,試求狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣指數(shù)函數(shù)eAt。,解:對(duì)已知矩陣A先寫(xiě)出,,,,取拉氏反變換，

23、得,?-1,四、電路狀態(tài)方程的時(shí)域求解,例7.3.3 圖(a)所示電路中，R1=1?，R2=1/4?，L=1/3H，C =1/2F，uS(t)=?(t)V，iL(0-)=9/5A，uC(0-)=11/5V。試對(duì)電路進(jìn)行狀態(tài)分析。,,解: 按直接觀察的步驟列寫(xiě),(1) 對(duì)電感L確定的基本回路列寫(xiě)KVL方程,,(a),對(duì)電容C確定的基本割集列寫(xiě)KCL方程,可得狀態(tài)方程,,,然后由eAt = ?-1 計(jì)算

24、狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)，,求得零輸入響應(yīng)為,在上例中已經(jīng)求得,,求得零狀態(tài)響應(yīng)為,全響應(yīng)為,7.3.2 線性非時(shí)變電路狀態(tài)方程的復(fù)頻域解法,拉普拉斯變換方法求解電路的狀態(tài)方程的步驟,進(jìn)行拉普拉斯變換，有,移項(xiàng)后可得,于是,根據(jù)：,其中 稱為預(yù)解矩陣(resolvent matrix),,?-1 + ?-1,零輸入響應(yīng),對(duì)上式拉氏反變換,,零狀態(tài)響應(yīng),,eAt = ?-1

25、 = ?-1,,,比較可得,,解：在例7.3.1中已求出預(yù)解矩陣,例7.3.4 已知狀態(tài)方程,和原始狀態(tài)x(0-)=[9/5 11/5] T，試求該狀態(tài)方程的解x(t)。,,可得零輸入響應(yīng)的象函數(shù)為,,零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)為,,,零輸入響應(yīng),?-1,全響應(yīng),,7.4 應(yīng)用實(shí)例：解微分方程電路,,以二階微分方程為例來(lái)分析解微分方程電路,圖示為四個(gè)運(yùn)算放大器構(gòu)成的解微分方程電路，其中C1=C2=C。,利用“虛短”的特

26、性，可知節(jié)點(diǎn)①、③、⑤、⑦的節(jié)點(diǎn)電壓為零；,,,列出節(jié)點(diǎn)①、③、⑤、⑦的節(jié)點(diǎn)電壓方程為,,節(jié)點(diǎn)⑤：,節(jié)點(diǎn)③：,節(jié)點(diǎn)⑦：,節(jié)點(diǎn)①：,,消去 后，可以得到,狀態(tài)方程,輸出方程,如果給出原始狀態(tài)，就可以求解出狀態(tài)方程，從狀態(tài)方程和輸出方程得到輸入輸出方程為,,如果選擇元件R，C的值使之滿足RC=1，則,,若取k1=2，k0=1，R=3.1M?，C=0.33?F，f(t)取圖7.4.2所示的方波時(shí)，電路的輸出y(t)如圖7.4.2所示。,上