第一節(jié)二階與三階行列式

1、第二章 行列式,第一節(jié) 二階、三階行列式,用消元法解二元線性方程組,,,一、二階行列式的引入,方程組的解為,,,由方程組的四個系數(shù)確定.,由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的矩陣：,定義,,,主對角線,副對角線,對角線法則,二階行列式的計算,,若記,對于二元線性方程組,系數(shù)行列式,,,,,,,,則二元線性方程組的解為,注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式.,二、三階行列式,定義,記,（7）式稱為矩陣（6）

2、所確定的三階行列式.,,,,,,,,,,,,,,,,三階行列式的計算,二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.,三、小結(jié),思考題,思考題解答,解,第二章 行列式,第二節(jié) n 階行列式,n階行列式的定義,定義,一、余子式與代數(shù)余子式,,叫做元素 的代數(shù)余子式．,,,例如對,,,,,,,,,,,,,定理1 n 階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即,二、行列式按行（列）展開法

3、則,例2 計算行列式,解,,,,,,,例3 計算上三角行列式,解,=,例 4,,同理可得下三角行列式,,1. 行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具.,三、小結(jié),第二章 行列式,第三節(jié) 行列式的性質(zhì),一、行列式的性質(zhì),性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等即，,行列式 稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式.,記,證明,證畢,說明 行列式中行與列具有同等的地位,因此行

4、列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.,性質(zhì)3 如果行列式中某一行（列）元素是兩組數(shù)的和，那么這個行列式就等于兩個新行列式的和，而這兩個行列式除這一行（列）外全與原行列式對應(yīng)的行（列）相同，即,同樣用數(shù)學(xué)歸納法可證：,性質(zhì)2 如果行列式中有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.,則D等于下列兩個行列式之和：,例如,,,,,,,,,,性質(zhì)4 （行列式的“初等變換”）若將初等行（列）變換用于 n 階行列式：（1） 行列式的某一行（

5、列）中所有的元素都乘以同一數(shù) ，等于用數(shù) 乘此行列式.,（2）　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù) k 然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式的值不變．,,,例如,從等號右端看，利用性質(zhì)3、性質(zhì)4的（1）及性質(zhì)2即得等號左端。,（3） 互換行列式的兩行（列）,行列式變號.,證明,設(shè)行列式寫成分塊形式，則,,,,,,,推論1　某一行（列）元素全為零的行列式等于零．,推論2　對 n 階行列式及數(shù) k,有

6、 ．,推論3　若有兩行（列）元素對應(yīng)成比例，則行列式等于零，即,計算行列式常用方法：利用運(yùn)算　　　把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．或者在此過程當(dāng)中適當(dāng)使用其它性質(zhì)以簡化計算。,例1 計算4階行列式,性質(zhì)5 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即,證,,,同理,,,關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì),性質(zhì)6 設(shè) U 是有如下分塊形式的 ( n + p )

7、 階矩陣：,矩陣乘積的行列式等于行列式的乘積！,解 將第二列加到第一列，由性質(zhì)4、性質(zhì)2可得,二、應(yīng)用舉例,,,按第4行展開,,,,,按第1列展開,(行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立).,計算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．,三、小結(jié),行列式的6個性質(zhì),思考題1,思考題1解答,解,1、2、3、4行分別提取公因子 a、b、c、

8、d,（1）交換1、2兩列；（2）交換3、4兩列；（3）交換2、3兩列。,思考題2,求第一行各元素的代數(shù)余子式之和,思考題解答,解 由,知第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成,,,,,第二章 行列式,第四節(jié) 行列式的計算,,,例2 計算 階行列式,解法1,將第 都加到第一列得,第1行的 (-1)倍分別加到其余各行！,,,,,,,,,,,,,,,,另解：按第一行展

9、開。,例2（續(xù)） 計算 階行列式,解法2,,,,,,,證,用數(shù)學(xué)歸納法,,,n-1階范德蒙德行列式,,,另解：1.按第一行展開；2.初等變換。,,,,,,遞推可得,,另解：,二、小結(jié),思考題1,思考題1 解答,思考題2,思考題2解答,,,范德蒙德行列式,大下標(biāo)減去小下標(biāo)元素,第二章 行列式,第五節(jié) 行列式的應(yīng)用,定義,行列式 的各個元素的代數(shù)余子式 所構(gòu)成的如下矩陣,稱為矩陣 的伴隨矩陣

10、.也記作 adjA.,一、伴隨矩陣及逆矩陣計算公式,注意下標(biāo),定理1,證明,則,同理可得,,,,,證明,定理2 矩陣 可逆的充要條件是 ，且,證明,必要性，若 可逆，,,按逆矩陣的定義得,證畢。,推論,證明,奇異矩陣與非奇異矩陣的定義,解,例 1,代數(shù)余子式的符號不能丟,設(shè)線性方程組,則稱此方程組為非,齊次線性方程組;,此時稱方程組為齊次線性方程組.,非齊次與齊次線性方程組的概念,二、克拉默法則,定理 3

11、如果線性方程組,的系數(shù)行列式不等于零，即,其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的 階行列式，即,那么線性方程組 有解，并且解是唯一的，解可以表為,證明,在把 個方程依次相加，得,由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,,于是,當(dāng) 時,方程組 有唯一的一個解,也是方程組的 解.,逆否命題 如果線性方程組 無解或有兩個不同的解，

12、則它的系數(shù)行列式必為零.,齊次線性方程組的相關(guān)定理,推論1　 如果齊次線性方程組 的系數(shù)行列式 則齊次線性方程組 只有零解.,三、重要定理,,例 4 解線性方程組,解,由于方程組的系數(shù)行列式,同理可得,故方程組的解為:,解,齊次方程組有非零解，則,所以 或 時齊次方程組有非零解.,四、小結(jié),3. 用克拉默法則

13、解方程組的兩個條件,(1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù);,(2)系數(shù)行列式不等于零.,4. 克拉默法則建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系.它主要適用于理論推導(dǎo).,思考題1,思考題1解答,解,設(shè)所求的二次多項式為,由題意得,故所求多項式為,又,得,它是一個關(guān)于未知數(shù) 的線性方程組,,思考題2,當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時,能否用克拉默法則解方程組?為什么?此時方程組的解為何?,思考題2解答,不能！