如何建立數(shù)學(xué)模型

1、1,,數(shù)學(xué)建模競賽論文的寫作與評判國防科技大學(xué) 吳孟達(dá)2013 年 4月,2,一、數(shù)學(xué)建模ABC,A：Assume 如果你的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗告訴你，不要超出已知條件。那么，在數(shù)學(xué)建模中，你要擺脫這種思維的束縛。數(shù)學(xué)建模是面對實際問題的，而實際問題所給出的已知條件往往是不夠的，你必須自己作出假設(shè)—關(guān)于什么是重要的，什么是不重要的；關(guān)于現(xiàn)實背景的某種約定；關(guān)于模糊概念的理解等等。,3,,總之，為你將要建立

2、的模型確定一個邊界較清晰的環(huán)境。事實上，有觀點(diǎn)認(rèn)為：模型就是假設(shè)。假設(shè)決定了模型的方向，假設(shè)與現(xiàn)實的相容度決定了模型的價值。 對現(xiàn)實與理論之間的平衡度的掌握，簡化原則與貼近原則。,4,,B: Borrow 數(shù)學(xué)模型是用抽象形式表達(dá)我們所觀察到的事物的基本特性的一種嘗試，這種嘗試是否成功，既取決于建模者的數(shù)學(xué)能力，同樣（如果不是更多地）取決于建模者關(guān)于該事物的實際知識，這種知識可以從

3、建模者以往的經(jīng)驗中獲得，也可以從別人的經(jīng)驗中獲得，通過文獻(xiàn)或交流。,5,,另外，還取決于建模者的建模素養(yǎng)，這種素養(yǎng)主要不是從課堂講授中得到的，而主要是從建模者的建模實踐中獲得的，其中包括：目的性，鑒別力（信息、方法、模型），建模各個環(huán)節(jié)的把握等等。 對相關(guān)信息的獲取能力與決策能力。,6,,C: Criticize 建模者必須是一個批判者，批判別人也批判自己，這也是建模的一個必不可少的環(huán)節(jié)。建模的過程是一個迭代的

4、過程，也就是一個批判與改進(jìn)的過程。 對問題本質(zhì)的洞察能力。,7,二、數(shù)學(xué)建模的基本要素,The capacity to understand, interpret, criticize, and appreciate models is essential to all. The three most fundamental ideas in mathematical modeling are

5、transience, permanence, and optimality.,8,三、數(shù)學(xué)建模論文的一般結(jié)構(gòu),摘要問題重述與分析問題假設(shè)符號說明模型建立與求解模型檢驗結(jié)果分析模型的進(jìn)一步討論模型優(yōu)缺點(diǎn),9,,,?摘要,主要理解,主要方法,主要結(jié)果,主要特點(diǎn),?問題重述與分析,對題意的理解,建模思路分析,重要概念的約定,—向?qū)?“拿到一個數(shù)學(xué)建模競賽題之后，首先應(yīng)盡可能深入了解其實際背景，并在此基礎(chǔ)上探討解決問題的方法。

6、” —— 數(shù)模競賽中建好數(shù)學(xué)模型之研究,在一定意義下，你的模型的高度取決于你對問題理解的深度。,10,,,05B題—DVD租賃 題意理解問題（1）“保證希望看到該DVD的會員中至少50%在一個月 內(nèi)能夠看到該DVD” ——隨機(jī)需求。 P(ξ > 0.5 ) ≥ 0.95 . （2） “當(dāng)前需要處理的10

7、00位會員的在線訂單” ——第二問一次分配。（3）“95%的會員得到他想看的DVD” ——1張？3張？6張？,11,,,?問題假設(shè),?符號說明,?模型建立與求解,模型的完整性與正確性,一般，以一個模型為主,解法思路描述的清晰性與簡潔性,12,,模型二：當(dāng)模型一無可行解時，以安全裕度利用率最小為目標(biāo)，調(diào)整各機(jī)組出力。,線路安全裕度 rj，安全裕度利用率 qj,例 ：2004 B題 電力市場

8、的輸電阻塞管理,13,,,“經(jīng)驗、想象力、洞察判斷能力以及直覺、靈感等在建模過程起很大作用。 無法給出若干條普遍使用的建模準(zhǔn)則和技巧。面對競賽題目，最基本的準(zhǔn)則就是具體問題具體分析。不過還是有些一般性的準(zhǔn)則(經(jīng)驗)： 1. 先要對問題進(jìn)行全面分析，簡明建模的依據(jù)。 2. 盡量采用成熟的數(shù)學(xué)方法和已有的模型。 3. 有時針對問題的具體情況，可以先建立簡單的、基本的模型，

9、再作改進(jìn)或修正。 4. 當(dāng)然，也要注意應(yīng)用新方法?！?—— 數(shù)模競賽中建好數(shù)學(xué)模型之研究,14,,,?模型檢驗,穩(wěn)定性檢驗,敏感性檢驗,誤差分析,仿真檢驗,?結(jié)果分析,清晰、完整的表達(dá),結(jié)果合理性解釋,算法復(fù)雜度分析,不同模型、不同算法的對比,15,,,?模型進(jìn)一步討論,模型的改進(jìn)與拓廣,對題意不同理解下的模

10、型,有意義、有價值的設(shè)想（Valuable idea）,16,四、數(shù)學(xué)建模競賽論文的評判標(biāo)準(zhǔn),假設(shè)的合理性 假設(shè)是建模的基礎(chǔ)，具有導(dǎo)向性，容易被忽視。常犯錯誤有缺少假設(shè)或假設(shè)不切實際。例如97年賽題“零件參數(shù)設(shè)計” 。 對一些關(guān)鍵性的或?qū)Y(jié)果有重大影響的條件或參數(shù)應(yīng)該在假設(shè)中明確約定。 假設(shè)具有導(dǎo)向性作用，不同的假設(shè)可能導(dǎo)致截然不同的結(jié)果。例如04年賽題“電力市場的輸

11、電阻塞管理”。,17,,作假設(shè)的兩個原則： ① 簡化原則：抓住主要矛盾，舍棄次要因素，方便 數(shù)學(xué)處理。 ② 貼近原則：貼近實際。 以上兩個原則是相互制約的，要掌握好“度”。通常是先建模后假設(shè)。,18,,,CMCM—96A(最優(yōu)捕魚策略) 有的隊假設(shè)產(chǎn)卵的過程服從正態(tài)分布，這樣的假設(shè)是可以的，但大大增加了問題的難度。在不失生物學(xué)的真實的前提下，使模型的分析盡量簡單的假設(shè)應(yīng)該是假

12、設(shè)魚群的個體在后四個月的第一天集中一次產(chǎn)卵。,19,,CMCM—05B(DVD租賃) （1）需求分布 一般用樣本均值代替總體均值,即認(rèn)為DVD1的需求為20000張，這樣得到第一問結(jié)果為6250?！耙c(diǎn)”為二項分布B (n,p), 近似為正態(tài)分布N(np,npq), 取置信度為0.95，這樣得到第一問結(jié)果為6315。,20,,（2）還碟時間分布 最簡單的一種是假定60％的會員月中還，4

13、0％的會員月底還，在此假定下，每張碟的每月使用次數(shù)為1.6次。還有其他種種假定。 （3）“95％的會員看到他想看的DVD”的理解。,21,,結(jié)果的正確性 模型的正確性。 計算的正確性（方法、結(jié)果）。 例一：99年“自動化車床”，在計算刀具 發(fā)生故障后的損失時未考慮條件概率，導(dǎo)致計算錯誤。 例二：98年“

14、投資組合策略”，使用均方風(fēng)險函數(shù)，違背題義要求。,22,,例三：96年“最優(yōu)捕魚策略”，死亡率意義理解錯?！白匀凰劳雎蕿?.8（1/年）”被理解為每年平均死亡80%，事實上應(yīng)理解為單位時間內(nèi)死亡的魚的數(shù)量與魚的總量之比，是瞬時死亡率概念。 例四：95年“天車與冶煉爐調(diào)度”，對題目要求的理解有誤?！案髋_天車的作業(yè)率盡量均衡（考慮到設(shè)備及人員安全等因素，一般天車作業(yè)率不超過70%）”。,23,,建模的創(chuàng)造性

15、 創(chuàng)造性是靈魂，文章要有閃光點(diǎn)。 好創(chuàng)意、好想法應(yīng)當(dāng)既在人意料之外，又在人意料之中。 新穎性（獨(dú)特性）與合理性皆備。,24,,誤區(qū)之一：數(shù)學(xué)用得越高深，越有創(chuàng)造性。 解決問題是第一原則，最合適的方法是最好的方法。誤區(qū)之二：創(chuàng)造性主要體現(xiàn)在建模與求解上。 創(chuàng)造性可以體現(xiàn)在建模的各個環(huán)節(jié)上，并且可以有多種表現(xiàn)形式。,25,,誤區(qū)之三：好

16、創(chuàng)意來自于靈感，可遇不可求。 好創(chuàng)意來自于對數(shù)學(xué)方法的掌握程度與對問題理解的透徹程度。,26,,例一：94年B題：鎖具裝箱。① 將鎖具按照槽高之和H為奇數(shù)與偶數(shù)分為兩大類，每一類裝49箱。最優(yōu)性證明。② 隨機(jī)銷售方式與序貫銷售方式 。③ 抱怨程度的度量。,27,,例二：95年MCM A題：螺旋線交點(diǎn)問題。 關(guān)鍵是計算速度與計算精度的平衡問題。牛頓迭代法有很高的精度，但速度較慢；

17、線性近似法速度很快，可以滿足實時要求，但精度稍差。 “Rabbit , Turtle and Hunter” 抓住了問題的主要方面——速度。 創(chuàng)造性體現(xiàn)在對問題的理解程度上，進(jìn)而體現(xiàn)在建模思路上。,28,,表達(dá)的清晰性 好的文章 = 好的內(nèi)容 + 好的表達(dá)替讀者著想。該交代的要交代，如對題目的理解，關(guān)鍵指標(biāo)或參數(shù)的引入，建模的思路，結(jié)果

18、的分析等。寫好摘要，包括：建模主要方法、主要結(jié)果，模型主要優(yōu)點(diǎn)。專人負(fù)責(zé)寫作，及早動手。考慮寫作的過程也是構(gòu)思框架、理清思路的過程，有利于從總體上把握建模的思路，反過來促進(jìn)建模。適當(dāng)采用圖表，增加可讀性。,29,,附：94年B題：鎖具裝箱 某廠生產(chǎn)一種彈子鎖具，每個鎖具的鑰匙有5個槽，每個槽的高度從1，2，3，4，5，6這6個數(shù)中任取一數(shù)。由于工藝及其它原因，制造鎖具時對5個槽的高度還有兩個限制：至少有3個不同的數(shù)；

19、相鄰兩槽的高度之差不能為5。滿足以上條件的所有互不相同的鎖具稱為一批。 從顧客的利益出發(fā)，自然希望在每批鎖具中“一把鑰匙開一把鎖”。但是在當(dāng)前工藝條件下，對于同一批中兩個鎖具是否能夠互開，有以下試驗結(jié)果：若二者相對應(yīng)的5個槽的高度中有4個相同，另一個槽的高度差為1，則可能互開；在其他情況下，不可能互開。,30,,原來，銷售部門在一批鎖具中隨意地取每60個裝一箱出售。團(tuán)體顧客往往購買幾箱到幾十箱，他們抱怨購得的鎖具會出現(xiàn)互開的