第十講

1、第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§ 1 數(shù)學期望§ 2 方差§ 3 幾種重要隨機變量的 數(shù)學期望和方差§ 4 協(xié)方差及相關系數(shù)§ 5 矩,CDIO教學案例數(shù)學期望,,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,教學目的： 了解數(shù)學期望的起源; 理解數(shù)學期望的概念和性

2、質(zhì); 熟練應用數(shù)學期望。,數(shù)學期望是隨機變量最常用最重要的數(shù)字特征，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中占有重要地位。針對隨機變量的數(shù)學期望的概念進行教學。,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,1. 直觀理解：問題：在一次乒乓球決賽中設立獎金1千元.比賽規(guī)定誰先勝了三盤,誰獲得全部獎金.設甲,乙二人的球技相等,現(xiàn)已打了3盤, 甲兩勝一負, 由于某種特殊的原因必須中止比賽. 問這1000元應如何

3、分配才算公平?,要學生討論：如何分配才算公平？同學們會各抒己見，發(fā)表自己的看法，綜合同學們的方法，然后再一起分析，看哪種方法更合理？,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,方案一: 平均分, 這對甲不公平.,方案二: 全部歸甲, 這對乙不公平.,解析：,方案三: 按已勝盤數(shù)的比例分配.,即甲得2/3(667元), 乙得1/3(333元).,方案四： 甲得888.89元,乙得111.11元.,理由如下：,①甲勝

4、,②乙勝,甲再勝,③乙勝,乙再勝,甲贏,甲贏,乙贏,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,是否還有更合理的分配方案？引導學生繼續(xù)思考。提示：設想如果比賽再繼續(xù)下去，會出現(xiàn)怎樣的結(jié)果？,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,甲的最終所得可能為1000 元，可能為0 元，這是一個隨機變量設為X，且再比賽兩局必可分出勝負，其結(jié)果不外乎以下四種情況之一：,甲甲 甲乙 乙甲

5、 乙乙,因球技相同在這四種情況中有三種情況使甲獲得1000 元，一種情況使甲獲得0 元。即甲獲得1000 元的可能性為3/4，獲得0 元的可能性為1/4。即X的分布列為,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,經(jīng)過上述分析，指出甲的期望所得應為：0×0.25+1000×0.75=750(元)，即甲得750 元，乙得250 元。方案五：甲分 750元 , 乙分 2

6、50元 . 該分法不僅考慮了已經(jīng)比賽的結(jié)果,還包括了對再比賽下去的一種“期望”。,讓同學們思考：此分法更為合理。從而引出隨機變量數(shù)學期望的概念并指出其實質(zhì)是隨機變量的“均值”。,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,2.離散型隨機變量數(shù)學期望定義的推導,(1)設有n 個數(shù) ，那么這n 個數(shù)的平均值為,(2)若這n 個數(shù)中有相同的，不妨設其中有 個取值為

7、 ,將其列表為,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,則其均值應為,即以數(shù)值xi 出現(xiàn)的頻率為權重做加權平均。,(3)對于一個離散型隨機變量X，如果其可能取值為 。則將作為X的均值顯然不恰當。,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,其原因在于X取各個值的概率是不同的，取各個值的概率不同其值出現(xiàn)的機會就不

8、同，因此該取加權平均。怎樣選取權重？由于取值概率大的出現(xiàn)的機會就大則在計算中其權重也應該大，由上例獎金分配問題啟示我們：用取值的概率作權重作加權平均是合理的。經(jīng)過以上分析，就可以給出離散型隨機變量數(shù)學期望的定義。,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,離散型隨機變量的數(shù)學期望,定義,數(shù)學期望簡稱期望,又稱為均值。,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,請同學們思考：定義中的幾個問題：

9、,(1) 數(shù)學期望是什么？,(2) 為什么在定義中要求級數(shù)的絕對收斂？,,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,關于定義的幾點說明,(1) E(X)是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權平均,與一般的算術平均值不同 , 它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量 X 取可能值的真正平均值, 也稱均值.,(2) 級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變 , 之所以這樣要求是因為數(shù)學期望是反映隨機變量X 取可能值的平

10、均值,它不應隨可能值的排列次序而改變.,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,對于連續(xù)型隨機變量其值充滿整個區(qū)間，且取每一特定值的概率為0，因此不能直接利用上述定義求其數(shù)學期望。但可將連續(xù)型隨機變量離散化，再由離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義自然的導出連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望的定義。,有了離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義，那么思考連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望應該如何定義哪？,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§

11、;1 數(shù)學期望,設X是連續(xù)型隨機變量,其密度函數(shù)為f (x),在數(shù)軸上取很密的分點x0 <x1<x2< …,則X落在小區(qū)間[xi, xi+1)的概率是,小區(qū)間[xi, xi+1),陰影面積近似為,3. 連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的引入,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,小區(qū)間[xi, xi+1),由于xi 與xi+1很接近, 所以區(qū)間[xi , xi+1)中的值可以用xi 來近似代替.

12、,這正是,的漸近和式.,陰影面積近似為,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,定義,以上直觀考慮啟發(fā)引進如下定義.,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,例1,設r.v.X的概率密度為,求X的數(shù)學期望E(X).,解,例2:,(分部積分法),第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,二、隨機變量函數(shù)的

13、數(shù)學期望,定理 1：,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,設 Y =g( X ), g( x ) 是連續(xù)函數(shù)，,(2)若 X 的概率密度為 f ( x )，,（1）若 X 的分布率為,定理 2：,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,若(X, Y)是二維隨機變量，,(1) 若 ( X, Y ) 的分布律為,(2) 若(X ,Y)的概率密度為 f ( x , y ) ，且,g ( x , y) 是二元連續(xù)函數(shù)，,

14、§1 數(shù)學期望,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,例3 國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量是隨機變量 X（噸），X ~ U[2000,4000]，每售出這種商品一噸，可為國家掙得外匯3萬元，但銷售不出而囤積在倉庫，則每噸需浪費保養(yǎng)費1萬元。問需要組織多少貨源，才能使國家收益最大。,設 y 為預備出口的該商品的數(shù)量，則,用 Z 表示國家的收益（萬元）,解：,§1 數(shù)學期望,第四章 隨機變量

15、的數(shù)字特征,下面求 EZ，并求 y 使 EZ 達到最大 值，,即，組織3500噸此種商品是最佳的決策。,例3(續(xù)）,§1 數(shù)學期望,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,解：,例 4,設(X,Y)在區(qū)域A上服從均勻分布，其中A為x軸,y 軸和直線x+y+1=0所圍成的區(qū)域。求EX，E(-3X+2Y)，EXY。,§1 數(shù)學期望,三、數(shù)學期望的性質(zhì),第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,

16、例 5,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,對N個人進行驗血，有兩種方案：,（2）將采集的每個人的血分成兩份，然后取其中的一份，按k個人一組混合后進行化驗（設N是k的倍數(shù)），若呈陰性反應，則認為k個人的血都是陰性反應，這時k個人的血只要化驗一次；如果混合血液呈陽性反應，則需對k個人的另一份血液逐一進行化驗，這時k個人的血要化驗k+1次;,（1）對每人的血液逐個化驗，共需 N 次化驗；,退 出,§1 數(shù)學期望,假設

17、所有人的血液呈陽性反應的概率都是p，且各次化驗結(jié)果是相互獨立的。,試說明適當選取 k 可使第二個方案減少化驗次數(shù)。,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,解：設 X 表示第二個方案下的總化驗次數(shù)，,表示第 i 個組的化驗次數(shù)，則,例 5 （續(xù)）,,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,只要選 k 使,即,就可使第二個方案減少化驗次數(shù)；,當q已知時，,第四章 隨機變量的數(shù)字特

18、征,例如：當p=0.1，q=0.9時，可證明k=4可使最小；這時，,,工作量將減少40%.,§1 數(shù)學期望,就可使化驗次數(shù)最少。,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,例6一民航送客車載有20位旅客自機場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車就不停車。以X表示停車的次數(shù)。求EX（設每個旅客在各個車站下車是等可能的，并設各旅客是否下車相互獨立）。,解：,§1 數(shù)學期望,第四章 隨機

19、變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,某工廠的自動生產(chǎn)線加工的某零件的內(nèi)徑 X （單位：mm）服從 規(guī)定該零件的內(nèi)徑小于10 mm或大于12 mm時為不合格品，其余的情形為合格品。又已知該零件的銷售利潤 Y 與 X 有如下關系：,思考題：,問零件的平均內(nèi)徑 取什么值時，銷售一個零件的平均利潤最大？,問平均直徑 ? 為何值時, 銷售一個零件的平均利潤最大？,,解：,第四章 隨機變

20、量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,即,,,可以驗證，,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,練習:設隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為,驗證E(XY)=E(X)E(Y), 問X與Y是否相互獨立？,反例:,驗證E(XY)=E(X)E(Y), 問X與Y是否相互獨立？,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,CDIO教學小結(jié),通過CDIO教學案例的教學，可以達到如下效果：,（1）了解

21、數(shù)學期望產(chǎn)生的歷史背景，而且可以了解為什么取名為期望的緣由；（2）通過討論簡單的實際問題引出離散型隨機變量的數(shù)學期望的概念，從而使學生更容易理解離散型的數(shù)學期望的概念；,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學期望,CDIO教學小結(jié),（3）若直接給出連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望的概念，學生是不理解其實質(zhì)，所以可以通過連續(xù)型隨機變量的離散化來引入連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望的概念，連續(xù)型隨機變量的離散化作為離散型與連續(xù)型隨機變