成都信息工程學(xué)院劉啟寬

1、成都信息工程學(xué)院 劉啟寬,無(wú)約束最優(yōu)化,數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)?zāi)康?實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,2、掌握用數(shù)學(xué)軟件包求解無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題。,1、了解無(wú)約束最優(yōu)化基本算法。,1、無(wú)約束優(yōu)化基本思想及基本算法。,4、實(shí)驗(yàn)作業(yè)。,3、用MATLAB求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。,2、MATLAB優(yōu)化工具箱簡(jiǎn)介,無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題,求解無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的的基本思想,*無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的基本算法,返回,標(biāo)準(zhǔn)形式：,求解無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的基本思想,求解的基本思想 (

2、以二元函數(shù)為例 ),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5,3,1,,,,,,,連續(xù)可微,多局部極小,,,,唯一極小(全局極小),,,,,搜索過(guò)程,,,最優(yōu)點(diǎn) (1 1)初始點(diǎn) (-1 1),,,,,,,,,,,,,,,,-1,1,4.00,,,-0.79,0.58,3.39,,,-0.53,0.23,2.60,,,-0.18,0.00,1.50,,,0.09,-0.03,0.98,,,0.37,0.11,0.47,,

3、,0.59,0.33,0.20,,,0.80,0.63,0.05,,,0.95,0.90,0.003,,,0.99,0.99,1E-4,,,0.999,0.998,1E-5,,0.9997,0.9998,1E-8,返回,無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的基本算法,最速下降法是一種最基本的算法，它在最優(yōu)化方法中占有重要地位.最速下降法的優(yōu)點(diǎn)是工作量小，存儲(chǔ)變量較少,初始點(diǎn)要求不高；缺點(diǎn)是收斂慢，最速下降法適用于尋優(yōu)過(guò)程的前期迭代或作為間插步驟，當(dāng)接近極值點(diǎn)

4、時(shí)，宜選用別種收斂快的算法.,1．最速下降法（共軛梯度法）算法步驟：,2．牛頓法算法步驟：,如果f是對(duì)稱正定矩陣A的二次函數(shù)，則用牛頓法經(jīng)過(guò)一次迭代就可達(dá)到最優(yōu)點(diǎn),如不是二次函數(shù)，則牛頓法不能一步達(dá)到極值點(diǎn)，但由于這種函數(shù)在極值點(diǎn)附近和二次函數(shù)很近似,因此牛頓法的收斂速度還是很快的.,牛頓法的收斂速度雖然較快，但要求Hessian矩陣要可逆，要計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)和逆矩陣，就加大了計(jì)算機(jī)計(jì)算量和存儲(chǔ)量.,3．?dāng)M牛頓法,,返回,Matlab

5、優(yōu)化工具箱簡(jiǎn)介,1.MATLAB求解優(yōu)化問(wèn)題的主要函數(shù),2. 優(yōu)化函數(shù)的輸入變量,使用優(yōu)化函數(shù)或優(yōu)化工具箱中其它優(yōu)化函數(shù)時(shí), 輸入變量見下表:,3. 優(yōu)化函數(shù)的輸出變量下表:,4．控制參數(shù)options的設(shè)置,(3) MaxIter: 允許進(jìn)行迭代的最大次數(shù),取值為正整數(shù).,Options中常用的幾個(gè)參數(shù)的名稱、含義、取值如下:,(1)Display: 顯示水平.取值為’off’時(shí),不顯示輸出; 取值為’iter’時(shí),顯示每次迭代的

6、信息;取值為’final’時(shí),顯示最終結(jié)果.默認(rèn)值為’final’.,(2)MaxFunEvals: 允許進(jìn)行函數(shù)評(píng)價(jià)的最大次數(shù),取值為正整數(shù).,例：opts=optimset(‘Display’,’iter’,’TolFun’,1e-8) 該語(yǔ)句創(chuàng)建一個(gè)稱為opts的優(yōu)化選項(xiàng)結(jié)構(gòu),其中顯示參數(shù)設(shè)為’iter’, TolFun參數(shù)設(shè)為1e-8.,控制參數(shù)options可以通過(guò)函數(shù)optimset創(chuàng)建或修改。命令的格式如下：,(1)

7、 options=optimset(‘optimfun’) 創(chuàng)建一個(gè)含有所有參數(shù)名,并與優(yōu)化函數(shù)optimfun相關(guān)的默認(rèn)值的選項(xiàng)結(jié)構(gòu)options.,（2）options=optimset(‘param1’,value1,’param2’,value2,...) 創(chuàng)建一個(gè)名稱為options的優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù),其中指定的參數(shù)具有指定值,所有未指定的參數(shù)取默認(rèn)值.,(3)options=optimset(oldops,‘para

8、m1’,value1,’param2’, value2,...) 創(chuàng)建名稱為oldops的參數(shù)的拷貝,用指定的參數(shù)值修改oldops中相應(yīng)的參數(shù).,返回,用Matlab解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題,其中（3）、（4）、（5）的等式右邊可選用（1）或（2）的等式右邊。 函數(shù)fminbnd的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，并可能只給出局部最優(yōu)解。,常用格式如下：（1）x= fminbn

9、d (fun,x1,x2)（2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)（3）[x，fval]= fminbnd（...）（4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（...）（5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（...）,To Matlab(wliti1),主程序?yàn)閣liti1.m: f='2*exp(-x).*sin(x)'

10、;; fplot(f,[0,8]); %作圖語(yǔ)句 [xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8) f1='-2*exp(-x).*sin(x)'; [xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8),例2 對(duì)邊長(zhǎng)為3米的正方形鐵板，在四個(gè)角剪去相等的正方形以制成方形無(wú)蓋水槽，問(wèn)如何剪法使水槽的容積最大？,解,先編寫M文件f

11、un0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).^2*x;,主程序?yàn)閣liti2.m: [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5); xmax=x fmax=-fval,運(yùn)算結(jié)果為: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為0.5米時(shí)水槽的容積最大,最大容積為2立方米.,To Matlab(wliti2),命令格式為:

12、（1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ）（2）x= fminunc（fun,X0 ，options）； 或x=fminsearch（fun,X0 ，options）（3）[x，fval]= fminunc（...）； 或[x，fval]= fminsearch（...）（4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）； 或[x，f

13、val，exitflag]= fminsearch（5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）； 或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...）,2、多元函數(shù)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題,標(biāo)準(zhǔn)型為：min F(X),[3] fminunc為中型優(yōu)化算法的步長(zhǎng)一維搜索提供了兩種算法， 由options中參數(shù)LineSearchType控制：LineSear

14、chType=’quadcubic’(缺省值)，混合的二次和三 次多項(xiàng)式插值；LineSearchType=’cubicpoly’，三次多項(xiàng)式插,使用fminunc和 fminsearch可能會(huì)得到局部最優(yōu)解.,說(shuō)明:,fminsearch是用單純形法尋優(yōu). fminunc的算法見以下幾點(diǎn)說(shuō)明：,[1] fminunc為無(wú)約束優(yōu)化提供了大型優(yōu)化和中型優(yōu)化算法。由o

15、ptions中的參數(shù)LargeScale控制：LargeScale=’on’(默認(rèn)值),使用大型算法LargeScale=’off’(默認(rèn)值),使用中型算法,[2] fminunc為中型優(yōu)化算法的搜索方向提供了4種算法，由 options中的參數(shù)HessUpdate控制：HessUpdate=’bfgs’（默認(rèn)值），擬牛頓法的BFGS公式；HessUpdate=’dfp’，擬牛頓法的DFP公式；HessUpdate=

16、’steepdesc’，最速下降法,例3 min f(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1),To Matlab(wliti3),1、編寫M-文件 fun1.m: function f = fun1 (x) f = exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 2、輸入M文件wliti3.m如下: x0 = [-1

17、, 1]; x=fminunc(‘fun1’,x0); y=fun1(x),3、運(yùn)行結(jié)果: x= 0.5000 -1.0000 y = 1.3029e-10,To Matlab (wliti31),To Matlab (wliti32),3.用fminsearch函數(shù)求解,To Matlab(wliti41),輸入命令: f='100*(x(2)

18、-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2'; [x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f, [-1.2 2]),運(yùn)行結(jié)果: x =1.0000 1.0000fval =1.9151e-010exitflag = 1output = iterations: 108 funcCount: 202

19、 algorithm: 'Nelder-Mead simplex direct search',4. 用fminunc 函數(shù),To Matlab(wliti44),(1)建立M-文件fun2.m function f=fun2(x) f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2,(2)主程序wliti44.m,Rosenbrock函數(shù)不同算法的計(jì)算結(jié)果,可

20、以看出，最速下降法的結(jié)果最差.因?yàn)樽钏傧陆捣ㄌ貏e不適合于從一狹長(zhǎng)通道到達(dá)最優(yōu)解的情況.,例5 產(chǎn)銷量的最佳安排 某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品有甲、乙兩個(gè)牌號(hào)，討論在產(chǎn)銷平衡的情況下如何確定各自的產(chǎn)量，使總利潤(rùn)最大. 所謂產(chǎn)銷平衡指工廠的產(chǎn)量等于市場(chǎng)上的銷量.,基本假設(shè),1．價(jià)格與銷量成線性關(guān)系,2．成本與產(chǎn)量成負(fù)指數(shù)關(guān)系,模型建立,,若根據(jù)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),求出系數(shù)b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a

21、22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20, r2=100,λ2=0.02,c2=30,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題：求甲,乙兩個(gè)牌號(hào)的產(chǎn)量x1，x2，使總利潤(rùn)z最大.,為簡(jiǎn)化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求: z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2 的極值. 顯然其解為x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 =

22、70,我們把它作為原問(wèn)題的初始值.,總利潤(rùn)為： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2,模型求解,1.建立M-文件fun.m: function f = fun(x) y1=((100-x(1)- 0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1); y2=((280-0.2*x(1)- 2*x(2))-(100*exp(-0.02*x(2))+3