數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中應(yīng)當(dāng)掌握的十類算法

1、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中應(yīng)當(dāng)掌握的十類算法,蒙特卡羅算法 數(shù)據(jù)處理算法 數(shù)學(xué)規(guī)劃算法 圖論算法 動(dòng)態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界 三大非經(jīng)典算法 網(wǎng)格算法和窮舉法 連續(xù)離散化方法 數(shù)值分析算法 圖象處理算法,1、蒙特卡羅算法,該算法又稱隨機(jī)性模擬算法，是通過計(jì)算機(jī)仿真來解決問題的算法，同時(shí)可以通過模擬可以來檢驗(yàn)自己模型的正確性，是比賽時(shí)必用的方法,蒙特卡羅(Monte Carlo)方法，或稱計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基于“

2、隨機(jī)數(shù)”的計(jì)算方法。這一方法源于美國在第一次世界大戰(zhàn)進(jìn)研制原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”。該計(jì)劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的Monte Carlo—來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。,考慮平面上的一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形及其內(nèi)部的一個(gè)形狀不規(guī)則的“圖形”，如何求出這個(gè)“圖形”的面積呢？Monte Carlo方法是這樣一種“隨機(jī)化”的方法：向該正方形“隨機(jī)地”投擲N個(gè)點(diǎn)落于“圖形”內(nèi)，則該“圖形”的面積近似

3、為M/N。,另一類形式與Monte Carlo方法相似，但理論基礎(chǔ)不同的方法—“擬蒙特卡羅方法” (Quasi-Monte Carlo方法)—近年來也獲得迅速發(fā)展。我國數(shù)學(xué)家華羅庚、王元提出的“華—王”方法即是其中的一例。這種方法的基本思想是“用確定性的超均勻分布序列(數(shù)學(xué)上稱為L(zhǎng)ow Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的隨機(jī)數(shù)序列。對(duì)某些問題該方法的實(shí)際速度一般可比Monte Carlo方法提

4、出高數(shù)百倍，并可計(jì)算精確度。,具體實(shí)現(xiàn)的matlab代碼：---------------------------------------------------------------------------------------------------function val = ballvol(n, m)% BALLVOL Compute volume of unit ball in R^n%% Computes the

5、 volume of the n-dimensional unit ball % using monte-carlo method.% usage: val = BallVol(n, m)% where: n = dimension % m = number of realisations% If the second argument is omitted, 1e4 is taken as default for m.%

6、(c) 1998, Rolf Krause, krause@math.fu-berlin.deM = 1e4;error = 0;if(nargin 2), error('wrong number of arguments'); endif nargin == 2, M = m; end R = rand(n, M);in = 0;for i=1:Mif(norm(R(:,i),2) <= 1.0

7、), in = in+1; endendval = 2^n*in/M;,2、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法,數(shù)據(jù)擬和: 從給出的一大堆數(shù)據(jù)中找出規(guī)律，即設(shè)法構(gòu)造一條曲線(擬和曲線)反映數(shù)據(jù)點(diǎn)總的趨勢(shì)，以消除其局部波動(dòng)。 參數(shù)估計(jì)：對(duì)給定的統(tǒng)計(jì)問題，在建立了統(tǒng)計(jì)模型以后，我們的任務(wù)就是依據(jù)樣本對(duì)未知總體進(jìn)行各種推斷，參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的重要內(nèi)容之一。包括點(diǎn)估計(jì)方法、頻率替換法、矩法、極大似然估計(jì)法 插值法是函數(shù)逼

8、近的一種重要方法，包括多項(xiàng)式插值、分段插值和三角插值,3、數(shù)學(xué)規(guī)劃算法,線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題（建模競(jìng)賽大多數(shù)問題屬于最優(yōu)化問題，很多時(shí)候這些問題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實(shí)現(xiàn)）,4、圖論算法,這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認(rèn)真準(zhǔn)備,5、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界,這些算法是算法設(shè)計(jì)中比較常用的方

9、法，很多場(chǎng)合可以用到競(jìng)賽中,動(dòng)態(tài)規(guī)劃,它建立在最優(yōu)原則的基礎(chǔ)上。采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法，可以優(yōu)雅而高效地解決許多用貪婪算法或分而治之算法無法解決的問題。動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法在解決背包問題、圖象壓縮、矩陣乘法鏈、最短路徑、無交叉子集和元件折疊等方面的有很大作用。,算法思想,和貪婪算法一樣，在動(dòng)態(tài)規(guī)劃中，可將一個(gè)問題的解決方案視為一系列決策的結(jié)果。不同的是，在貪婪算法中，每采用一次貪婪準(zhǔn)則便做出一個(gè)不可撤回的決策，而在動(dòng)態(tài)規(guī)劃中，還要考察每個(gè)最優(yōu)決策序列

10、中是否包含一個(gè)最優(yōu)子序列。,尋找問題的解的一種可靠的方法是首先列出所有候選解，然后依次檢查每一個(gè)，在檢查完所有或部分候選解后，即可找到所需要的解。理論上，當(dāng)候選解數(shù)量有限并且通過檢查所有或部分候選解能夠得到所需解時(shí)，上述方法是可行的。不過，在實(shí)際應(yīng)用中，很少使用這種方法，因?yàn)楹蜻x解的數(shù)量通常都非常大（比如指數(shù)級(jí)，甚至是大數(shù)階乘），即便采用最快的計(jì)算機(jī)也只能解決規(guī)模很小的問題。對(duì)候選解進(jìn)行系統(tǒng)檢查的方法有多種，其中回溯和分枝定界法是比較常

11、用的兩種方法。按照這兩種方法對(duì)候選解進(jìn)行系統(tǒng)檢查通常會(huì)使問題的求解時(shí)間大大減少（無論對(duì)于最壞情形還是對(duì)于一般情形）。事實(shí)上，這些方法可以使我們避免對(duì)很大的候選解集合進(jìn)行檢查，同時(shí)能夠保證算法運(yùn)行結(jié)束時(shí)可以找到所需要的解。因此，這些方法通常能夠用來求解規(guī)模很大的問題。,回溯方法,這種方法被用來設(shè)計(jì)貨箱裝船、背包、最大完備子圖、旅行商和電路板排列問題的求解算法。,算法思想,回溯（backtracking）是一種系統(tǒng)地搜索問題解答的方法。為了

12、實(shí)現(xiàn)回溯，首先需要為問題定義一個(gè)解空間（solution space），這個(gè)空間必須至少包含問題的一個(gè)解（可能是最優(yōu)的）。 下一步是組織解空間以便它能被容易地搜索。典型的組織方法是圖或樹。,分治算法,君主和殖民者們所成功運(yùn)用的分而治之策略也可以運(yùn)用到高效率的計(jì)算機(jī)算法的設(shè)計(jì)過程中。利用這一策略可以解決如下問題：最小最大問題、矩陣乘法、殘缺棋盤、排序、選擇和計(jì)算一個(gè)幾何問題——找出二維空間中距離最近的兩個(gè)點(diǎn)。,算法思想,分而治之方法

13、與軟件設(shè)計(jì)的模塊化方法非常相似。為了解決一個(gè)大的問題，可以： 1) 把它分成兩個(gè)或多個(gè)更小的問題； 2) 分別解決每個(gè)小問題； 3) 把各小問題的解答組合起來，即可得到原問題的解答。小問題通常與原問題相似，可以遞歸地使用分而治之策略來解決。,例2-1 [找出偽幣] 給你一個(gè)裝有1 6個(gè)硬幣的袋子。1 6個(gè)硬幣中有一個(gè)是偽造的，并且那個(gè)偽造的硬幣比真的硬幣要輕一些。你的任務(wù)是找出這個(gè)偽造的硬幣。為了幫助你完成這一任務(wù)，將提供一臺(tái)可用來比較

14、兩組硬幣重量的儀器，利用這臺(tái)儀器，可以知道兩組硬幣的重量是否相同。,比較硬幣1與硬幣2的重量。假如硬幣1比硬幣2輕，則硬幣1是偽造的；假如硬幣2比硬幣1輕，則硬幣2是偽造的。這樣就完成了任務(wù)。假如兩硬幣重量相等，則比較硬幣3和硬幣4。同樣，假如有一個(gè)硬幣輕一些，則尋找偽幣的任務(wù)完成。假如兩硬幣重量相等，則繼續(xù)比較硬幣5和硬幣6。按照這種方式，可以最多通過8次比較來判斷偽幣的存在并找出這一偽幣。,假如把1 6硬幣的例子看成一個(gè)大的問題。第

15、一步，把這一問題分成兩個(gè)小問題。隨機(jī)選擇8個(gè)硬幣作為第一組稱為A組，剩下的8個(gè)硬幣作為第二組稱為B組。這樣，就把1 6個(gè)硬幣的問題分成兩個(gè)8硬幣的問題來解決。第二步，判斷A和B組中是否有偽幣?？梢岳脙x器來比較A組硬幣和B組硬幣的重量。假如兩組硬幣重量相等，則可以判斷偽幣不存在。假如兩組硬幣重量不相等，則存在偽幣，并且可以判斷它位于較輕的那一組硬幣中。最后，在第三步中，用第二步的結(jié)果得出原先1 6個(gè)硬幣問題的答案。若僅僅判斷硬幣是否存在

16、，則第三步非常簡(jiǎn)單。無論A組還是B組中有偽幣，都可以推斷這1 6個(gè)硬幣中存在偽幣。因此，僅僅通過一次重量的比較，就可以判斷偽幣是否存在。,現(xiàn)在假設(shè)需要識(shí)別出這一偽幣。把兩個(gè)或三個(gè)硬幣的情況作為不可再分的小問題。注意如果只有一個(gè)硬幣，那么不能判斷出它是否就是偽幣。在一個(gè)小問題中，通過將一個(gè)硬幣分別與其他兩個(gè)硬幣比較，最多比較兩次就可以找到偽幣。這樣，1 6硬幣的問題就被分為兩個(gè)8硬幣（A組和B組）的問題。通過比較這兩組硬幣的重量，可以判斷

17、偽幣是否存在。如果沒有偽幣，則算法終止。否則，繼續(xù)劃分這兩組硬幣來尋找偽幣。假設(shè)B是輕的那一組，因此再把它分成兩組，每組有4個(gè)硬幣。稱其中一組為B1，另一組為B2。比較這兩組，肯定有一組輕一些。如果B1輕，則偽幣在B1中，再將B1又分成兩組，每組有兩個(gè)硬幣，稱其中一組為B1a，另一組為B1b。比較這兩組，可以得到一個(gè)較輕的組。由于這個(gè)組只有兩個(gè)硬幣，因此不必再細(xì)分。比較組中兩個(gè)硬幣的重量，可以立即知道哪一個(gè)硬幣輕一些。較輕的硬幣就是所要

18、找的偽幣。,分枝定界,類似于回溯法，分枝定界法在搜索解空間時(shí)，也經(jīng)常使用樹形結(jié)構(gòu)來組織解空間。然而與回溯法不同的是，回溯算法使用深度優(yōu)先方法搜索樹結(jié)構(gòu)，而分枝定界一般用寬度優(yōu)先或最小耗費(fèi)方法來搜索這些樹。本章與第1 6章所考察的應(yīng)用完全相同，因此，可以很容易比較回溯法與分枝定界法的異同。相對(duì)而言，分枝定界算法的解空間比回溯法大得多，因此當(dāng)內(nèi)存容量有限時(shí)，回溯法成功的可能性更大,算法思想,分枝定界（branch and bound）是另一

19、種系統(tǒng)地搜索解空間的方法，它與回溯法的主要區(qū)別在于對(duì)E-節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)充方式。每個(gè)活節(jié)點(diǎn)有且僅有一次機(jī)會(huì)變成E-節(jié)點(diǎn)。當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)變?yōu)镋-節(jié)點(diǎn)時(shí)，則生成從該節(jié)點(diǎn)移動(dòng)一步即可到達(dá)的所有新節(jié)點(diǎn)。在生成的節(jié)點(diǎn)中，拋棄那些不可能導(dǎo)出（最優(yōu)）可行解的節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)加入活節(jié)點(diǎn)表，然后從表中選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為下一個(gè)E-節(jié)點(diǎn)。從活節(jié)點(diǎn)表中取出所選擇的節(jié)點(diǎn)并進(jìn)行擴(kuò)充，直到找到解或活動(dòng)表為空，擴(kuò)充過程才結(jié)束。,有兩種常用的方法可用來選擇下一個(gè)E-節(jié)點(diǎn)（雖然也可能存在

20、其他的方法）： 1) 先進(jìn)先出（F I F O） 即從活節(jié)點(diǎn)表中取出節(jié)點(diǎn)的順序與加入節(jié)點(diǎn)的順序相同，因此活節(jié)點(diǎn)表的性質(zhì)與隊(duì)列相同。 2) 最小耗費(fèi)或最大收益法在這種模式中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的耗費(fèi)或收益。如果查找一個(gè)具有最小耗費(fèi)的解，則活節(jié)點(diǎn)表可用最小堆來建立，下一個(gè)E-節(jié)點(diǎn)就是具有最小耗費(fèi)的活節(jié)點(diǎn)；如果希望搜索一個(gè)具有最大收益的解，則可用最大堆來構(gòu)造活節(jié)點(diǎn)表，下一個(gè)E-節(jié)點(diǎn)是具有最大收益的活節(jié)點(diǎn)。,6、模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、

21、遺傳算法,模擬退火法（Simulated Annealing）是Kirkpatrick等人在一九八三年提出并成功地應(yīng)用在組合最佳化問題中，它是蒙特卡羅演算法的推廣。 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本結(jié)構(gòu): 遞歸網(wǎng)絡(luò)和前饋網(wǎng)絡(luò) 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的典型模型有:自適應(yīng)諧振理論(ART)、 Kohonen 網(wǎng)絡(luò) 、 反向傳播(BP)網(wǎng)絡(luò) 、 Hopfield網(wǎng),遺傳算法（Ｇｅｎｅｔｉｃ Ａｌｇｏｒｉｔｍｓ，簡(jiǎn)稱ＧＡ）是以自然選擇和遺傳理論為基礎(chǔ)，將生

22、物進(jìn)化過程中適者生存規(guī)則與群體內(nèi)部染色體的隨機(jī)信息交換機(jī)制相結(jié)合的搜索算法。遺傳算法是具有"生成＋檢測(cè)"的迭代過程的搜索算法。基本流程如圖１所示?？梢?，遺傳算法是一種群體型操作，該操作以群體中的所有個(gè)體為對(duì)象。選擇（ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ）、交叉（ｃｒｏｓｓｏｖｅｒ）和變異（ｍｕｔａｔｉｏｎ）是遺傳算法的三個(gè)主要操作算子。遺傳算法包含如下６個(gè)基本要素：參數(shù)編碼、生成初始群體、適應(yīng)度評(píng)估檢測(cè)、選擇、交叉操作、變異,7、網(wǎng)格

23、算法和窮舉法,網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點(diǎn)的算法，在很多競(jìng)賽題中有應(yīng)用，當(dāng)重點(diǎn)討論模型本身而輕視算法的時(shí)候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級(jí)語言作為編程工具,窮舉法是基于計(jì)算機(jī)特點(diǎn)而進(jìn)行解題的思維方法。一般是在一時(shí)找不出解決問題的更好途徑時(shí)，可以根據(jù)問題中的部分條件（約束條件）將所有可能解的情況列舉出來，然后通過一一驗(yàn)證是否符合整個(gè)問題的求解要求，而得到問題的解。這種解決問題的方法我們稱之為窮舉算法。窮舉法特點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，但

24、運(yùn)行時(shí)所花費(fèi)的時(shí)間量大。,8、連續(xù)離散化方法,很多問題都是實(shí)際來的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計(jì)算機(jī)只認(rèn)的是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后進(jìn)行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的,9、數(shù)值分析算法,如果在比賽中采用高級(jí)語言進(jìn)行編程的話，那一些數(shù)值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運(yùn)算、函數(shù)積分等算法就需要額外編寫庫函數(shù)進(jìn)行調(diào)用,10、圖象處理算法,賽題中有一類問題與圖形有關(guān)，即使與圖形無關(guān)，論文中也應(yīng)該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以