第六節(jié)平均值-大學數學網-我們致力于廣大學生和

1、,習題課,1. 定積分的應用,幾何方面 :,面積、,體積、,弧長、,物理方面 :,作功、,側壓力、,引力、,2. 基本方法 :,微元分析法,微元形狀 :,條、,段、,帶、,片、,扇、,環(huán)、,等.,定積分的應用,第六章,例1. 求拋物線,在(0,1) 內的一條切線, 使它與,兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小.,解: 設拋物線上切點為,則該點處的切線方程為,它與 x , y 軸的交點分別為,所指面積,且為最小點 .,故所求切線為,得[ 0

2、 , 1] 上的唯一駐點,例2. 設非負函數,曲線,與直線,及坐標軸所圍圖形,(1) 求函數,(2) a 為何值時, 所圍圖形繞 x 軸一周所得旋轉體,解: (1),由方程得,面積為 2 ,,體積最小 ?,即,故得,又,,,(2) 旋轉體體積,又,,為唯一極小點,,因此,時 V 取最小值 .,,故所求旋轉體體積為,例3. 求由,與,所圍區(qū)域繞,旋轉所得旋轉體體積.,解: 曲線與直線的交點坐標為,曲線上任一點,到直線,的距離為,則,例4

3、. 半徑為 R , 密度為,的球沉入深為H ( H > 2 R ),的水池底, 水的密度,多少功 ?,解:,建立坐標系如圖 .,則對應,上球的薄片提到水面上的微功為,提出水面后的微功為,,,,,,,,,,現將其從水池中取出, 需做,微元體積,所受重力,上升高度,因此微功元素為,球從水中提出所做的功為,“偶倍奇零”,,,,,,,,,例5. 設有半徑為 R 的半球形容器如圖.,(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深為,為

4、h (0 < h < R ) 時水面上升的速度 .,(2) 設容器中已注滿水 , 求將其全部抽出所做的功最,少應為多少 ?,解: 過球心的縱截面建立坐標系如圖.,則半圓方程為,,設經過 t 秒容器內水深為h ,,,,,,,,,(1) 求,由題設, 經過 t 秒后容器內的水量為,而高為 h 的球缺的體積為,,半球可看作半圓繞 y 軸旋轉而成,體積元素:,,故有,兩邊對 t 求導, 得,,at (升) ,,,(2) 將滿池水全