第五章控制系統(tǒng)的頻率法分析

1、1,第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析,2,頻率特性的基本概念頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖頻率特性的極坐標(biāo)圖奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定裕度閉環(huán)系統(tǒng)的性能分析,本章主要內(nèi)容,3,第一節(jié) 頻率特性的基本概念,4,考察一個系統(tǒng)的好壞，通常用階躍輸入下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)來分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 有時也用正弦波輸入時系統(tǒng)的響應(yīng)來分析，但這種響應(yīng)并不是單看某一個頻率正弦波輸入時的瞬態(tài)響應(yīng)，而是考察頻率由低到高無數(shù)個正弦波輸入下所對應(yīng)的每個

2、輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。因此，這種響應(yīng)也叫頻率響應(yīng)。 頻率響應(yīng)盡管不如階躍響應(yīng)那樣直觀，但同樣間接地表示了系統(tǒng)的特性。頻率響應(yīng)法是分析和設(shè)計系統(tǒng)的一個既方便又有效的工具。,5,一、頻率特性的定義：,系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)在正弦作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅、相位與所加正弦作用的頻率之間的依賴關(guān)系。,對于一般的線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入和輸出分別為r(t)和c(t)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)。,式中，

3、 為極點(diǎn)。,若：,則：,6,拉氏反變換為：,若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點(diǎn)都在s左半平面。當(dāng) ，即穩(wěn)態(tài)時：,式中， 分別為：,7,而,式中：Rm 、Cm分別為輸入輸出信號的幅值。,上述分析表明，對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，加入一個正弦信號，它的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個與輸入同頻率的正弦信號，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入不同之處僅在于幅值和相位。其幅值放大了 倍，相位

4、移動了 。 和 都是頻率的函數(shù)。,8,定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與正弦輸入信號的相位差 為系統(tǒng)的相頻特性，它描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對不同頻率輸入信號的相位移特性；,定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值與輸入信號的幅值之比 為系統(tǒng)的幅頻特性，它描述系統(tǒng)

5、對不同頻率輸入信號在穩(wěn)態(tài)時的放大特性；,幅頻特性和相頻特性可在復(fù)平面上構(gòu)成一個完整的向量 ，它也是 的函數(shù)。 稱為頻率特性。,,9,由于這種簡單關(guān)系的存在，頻率響應(yīng)法和利用傳遞函數(shù)的時域法在數(shù)學(xué)上是等價的。,頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系為：,幅頻特性、相頻特性和實(shí)頻特性、虛頻特性之間具有下列關(guān)系：,,,,,10,[結(jié)論]：當(dāng)傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用

6、 代替時，傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性。反之亦然。,到目前為止，我們已學(xué)習(xí)過的線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率特性。它們之間的關(guān)系如下：,11,從另一方面，若線性系統(tǒng)在正弦信號輸入作用下，在穩(wěn)態(tài)情況下，輸入輸出都是正弦函數(shù)，可用矢量表示：,可見，頻率特性就是輸出、輸入正弦函數(shù)用矢量表示時之比。表示線性系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)情況下，輸出、輸入正弦信號之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。是頻率域中的數(shù)學(xué)模型。,12,[例子]：設(shè)傳遞

7、函數(shù)為：,微分方程為：,頻率特性為：,其余略。,13,頻率響應(yīng)法的優(yōu)點(diǎn)之一在于它可以通過實(shí)驗(yàn)量測來獲得，而不必推導(dǎo)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 事實(shí)上，當(dāng)傳遞函數(shù)的解析式難以用推導(dǎo)方法求得時，常用的方法是利用對該系統(tǒng)頻率特性測試曲線的擬合來得出傳遞函數(shù)模型。 此外，在驗(yàn)證推導(dǎo)出的傳遞函數(shù)的正確性時，也往往用它所對應(yīng)的頻率特性同測試結(jié)果相比較來判斷。 頻率響應(yīng)法的優(yōu)點(diǎn)之二在于它可以用圖來表示，這在控制系

8、統(tǒng)的分析和設(shè)計中有非常重要的作用。,14,頻率特性的推導(dǎo)是在線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的假設(shè)條件下得出的。如果不穩(wěn)定，則動態(tài)過程c(t)最終不可能趨于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)cs(t)，當(dāng)然也就無法由實(shí)際系統(tǒng)直接觀察到這種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。但從理論上動態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總是可以分離出來的，而且其規(guī)律性并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此可以擴(kuò)展頻率特性的概念，將頻率特性定義為：在正弦輸入下，線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比。所以對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，盡管無法用實(shí)驗(yàn)方法量測到

9、其頻率特性，但根據(jù)式由傳遞函數(shù)還是可以得到其頻率特性。,15,工程上常用圖形來表示頻率特性，常用的有：1．極坐標(biāo)圖，也稱奈奎斯特(Nyquist)圖。是以開環(huán)頻率特性的實(shí)部 為直角坐標(biāo)橫坐標(biāo)，以其虛部 為縱坐標(biāo)，以 為參變量的幅值與相位的圖解表示法。2．對數(shù)坐標(biāo)圖，也稱伯德(Bode)圖。它是由兩張圖組成，以 為橫坐標(biāo)，對數(shù)分度，分別以 和 作