電動(dòng)力學(xué)-電氣工程學(xué)院

1、第三章 靜磁場(chǎng)Static magnetic field,穩(wěn)恒電流激發(fā)靜磁場(chǎng)，在穩(wěn)恒電流的條件下，導(dǎo)體內(nèi)及其周圍空間中，也存在靜電場(chǎng)，此時(shí)的電場(chǎng)與電流的關(guān)系為式中 為電導(dǎo)率。但是，靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)之間并無(wú)直接的關(guān)系。 本章所要研究的與靜電問(wèn)題類似，靜磁問(wèn)題中最基本的問(wèn)題是：在給定電流分布（或給定外場(chǎng)）和介質(zhì)分布的情況下，如何求解空間中的磁場(chǎng)分布。,本 章 主 要 內(nèi) 容穩(wěn)恒電流分布的必要條件穩(wěn)恒電流體系的電

2、場(chǎng)矢勢(shì)及其微分方程磁標(biāo)勢(shì)磁多極矩阿哈羅諾夫—玻姆效應(yīng),?,?,?,?,?,?,§3.1 穩(wěn)恒電流分布的必要條件Essential condition of steady current profile,電荷在導(dǎo)體內(nèi)穩(wěn)恒流動(dòng)，導(dǎo)體內(nèi)部將會(huì)不斷地產(chǎn)生焦耳熱，即電磁能將不斷地?fù)p耗。根據(jù)能量守恒方程由于穩(wěn)恒條件要求,且有當(dāng)存在外來(lái)電動(dòng)力場(chǎng)時(shí)，則故故有,該式的物理意義是： 外來(lái)電動(dòng)力場(chǎng)所作的功等于

3、體系內(nèi)焦耳熱損耗和從體系的界面流出去的能量的總和。因此，體系要保持電荷穩(wěn)恒流動(dòng)的必要條件是必須要有外來(lái)的電動(dòng)力（即外來(lái)電動(dòng)勢(shì)）。,§3.2 穩(wěn)恒電流體系的電場(chǎng)Electric field of steady current system,根據(jù)Maxwell's equation,穩(wěn)恒電流 及其電場(chǎng)所滿足的方程為：在導(dǎo)體內(nèi)流有電荷的情況下，我們并不知道其電荷分布 的情況，所以無(wú)法從（1）式求場(chǎng)，只有從

4、（2）,式出發(fā)：即因?yàn)?，所以用標(biāo)勢(shì)，即 ，于是有由此可見(jiàn)，假若 給定，即可由（3）式求出電勢(shì) 。 在 區(qū)域，（3）式變?yōu)橄鄳?yīng)的邊值關(guān)系為：,用 表示交界面上的關(guān)系，即（4）、（5）式就是分區(qū)均勻的穩(wěn)恒電流體系的電場(chǎng)所滿足的方程和邊值關(guān)系。若整個(gè)體系的邊界條件已知，即可求出電流的電場(chǎng)。,從 出發(fā)，可求得導(dǎo)體內(nèi)的電荷分布：其中，穩(wěn)恒電流

5、條件要求： 從 可看出，均勻?qū)щ婓w系內(nèi)不會(huì)出現(xiàn)電荷堆積，只有當(dāng)導(dǎo)體在沿著電荷流動(dòng)方向不均勻,時(shí)，才有可能有電荷存在。因此，對(duì)于分塊均勻的導(dǎo)電體，電荷只可能分布在交界面上，即利用 ，得到面電荷密度為所以，如果交界面兩側(cè)各自的介電常數(shù)與電導(dǎo)率之比值相等，則交界面上也不存在面電荷密度。,§3.3 矢勢(shì)及其微分方程Vector potential and differ

6、ential equation,1、矢勢(shì) 穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)的基本方程是由此可看出，磁場(chǎng)的特點(diǎn)和電場(chǎng)不同。靜電場(chǎng)是無(wú)旋的，即引入標(biāo)勢(shì) 來(lái)描述。而磁場(chǎng)是有旋的，一般不能引入一個(gè)標(biāo)勢(shì)來(lái)描述整個(gè)空間的磁場(chǎng)，但由于磁場(chǎng)是無(wú)源的，可以引入一個(gè)矢量來(lái)描述它。,即若則 稱為磁場(chǎng)的矢勢(shì)。 根據(jù) ，可得到由此可看到矢勢(shì) 的物理意義是： 矢勢(shì) 沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過(guò)以該回路為

7、界的任一曲面的磁通量。必須注意：①只有 的環(huán)量才有物理意義，而在每點(diǎn),上的 值沒(méi)有直接的物理意義。 ②矢勢(shì) 可確定磁場(chǎng) ，但由 并不能唯一地確定 ，這是因?yàn)閷?duì)任意函數(shù) 。即 和 對(duì)應(yīng)于同一個(gè) ， 的這種任意性是由于 的環(huán)量才有物理意義的決定的。2、矢勢(shì)微分方程 由于 ，引入 ，在均勻線性介質(zhì)內(nèi)有 ，將這些代入到 中，即,若

8、 滿足庫(kù)侖規(guī)范條件 ，得矢勢(shì) 的微分方程,或者直角分量：這是大家熟知的Pisson's equation. 由此可見(jiàn)，矢勢(shì) 和標(biāo)勢(shì) 在靜場(chǎng)時(shí)滿足同一形式的方程，對(duì)此靜電勢(shì)的解?？傻玫绞噶康奶亟猓?由此即得作變換 ，即得這就是畢奧——薩伐爾定律。 當(dāng)全空間中電流 給定時(shí)，即可計(jì)算磁場(chǎng) ，對(duì),于電流和磁場(chǎng)互相制約的問(wèn)題，則必須解微分方程

9、的邊值問(wèn)題。3、矢勢(shì)邊值關(guān)系 在兩介質(zhì)分界面上，磁場(chǎng)的邊值關(guān)系為對(duì)應(yīng)矢勢(shì) 的邊值關(guān)系為,其實(shí)，邊值關(guān)系（3）式也可以用簡(jiǎn)單的形式代替，即在分界面兩側(cè)取一狹長(zhǎng)回路，計(jì)算 對(duì)此狹長(zhǎng)回路的積分。當(dāng)回路短邊長(zhǎng)度趨于零時(shí)（如同 時(shí)）。另一方面，由于回路面積趨于零，有因此使得由于 只有,另外，若取 ，仿照第一章關(guān)于法向分量邊值關(guān)系的推導(dǎo)，可得（5）、（6）兩式合算，得到

10、即在兩介質(zhì)分界面上，矢勢(shì) 是連續(xù)的。4、靜磁場(chǎng)的能量 磁場(chǎng)的總能量為,在靜磁場(chǎng)中，可以用矢勢(shì) 和電流 表示總能量，即即有：,這里不能把 看作為能量密度。因?yàn)槟芰糠植加诖艌?chǎng)中，而不僅僅存在于電流分布區(qū)域內(nèi)。另外，能量式中的 是由電流 激發(fā)的。 如果考慮兩個(gè)獨(dú)立電流系之間的相互作用能，則設(shè)電流系 建立矢勢(shì)為 ，另一電流系 建立矢勢(shì)為 ， 分布于 ， 分布于 ，若

11、電流分布為磁場(chǎng)總能量為,由此可見(jiàn)，上式右邊第一、二項(xiàng)是電流系 各自的自能，其相互作用能為,因?yàn)槠渲校核?該兩式相等，因此電流 在外場(chǎng) 中的相互作用能量為5、舉例討論用 計(jì)算 [例1]無(wú)窮長(zhǎng)直導(dǎo)線載電流I，求空間的矢勢(shì) 和磁場(chǎng) 。Solution : 取導(dǎo)線沿z軸，設(shè)p點(diǎn)到導(dǎo)線的垂直距離為R，電流元Idz到p點(diǎn)距離為,因此得到積分結(jié)果是無(wú)窮大（發(fā)散的）。計(jì)算兩點(diǎn)的矢勢(shì)差值可以免除

12、發(fā)散，若取R0點(diǎn)的矢勢(shì)值為零，則,每項(xiàng)相乘后，再二次項(xiàng)展開(kāi)得亦即故,,0,取 的旋度，得到,,0,結(jié)果與電磁學(xué)求解一致。,[例2]半徑為a的導(dǎo)線園環(huán)載電流為I，求空間的矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度。Solution: 首先求解矢勢(shì),由于問(wèn)題具有軸對(duì)稱性，可以把觀察點(diǎn)選在xz平面上，這樣的好處是φ'=0，故 只與r，θ有關(guān)。其中即得,又∵ 園電流環(huán)在xy平面上，故

13、 ，于是得到因此得到：,,作變換：令,這樣于是有,令 ，則有考慮一般情況，這里的y方向?qū)嶋H上就是 方向，因,此上式可改為：,令這里Κ(k) , Ε(k)分別為第一、第二類橢園積分。從而得到故磁感應(yīng)強(qiáng)度的嚴(yán)格表達(dá)式為,討論： 對(duì)于遠(yuǎn)場(chǎng)，由于R>>a，且有,當(dāng)R>>a情況下，上式分母展開(kāi)為：于是得到,若

14、R>>a，且,于是磁感應(yīng)強(qiáng)度為,可見(jiàn)，對(duì)于一個(gè)園電流環(huán)，在遠(yuǎn)處所激發(fā)的磁場(chǎng)，相當(dāng)于一個(gè)磁矩為 的磁偶極子激發(fā)的場(chǎng)。,§3.4 磁標(biāo)勢(shì)Magnetic scalar potential,本節(jié)所研究的問(wèn)題是避開(kāi)矢量 求磁感應(yīng)強(qiáng)度 的不便理由。類比于靜電場(chǎng)，引入磁標(biāo)勢(shì) 。然后討論 所滿足的微分方程，繼而討論靜磁問(wèn)題的唯一性定理。1、磁標(biāo)勢(shì)引入的條件 （1）

15、所考慮的空間區(qū)域沒(méi)有傳導(dǎo)電流 根據(jù)靜磁場(chǎng)的Maxwell's equation:,若考慮傳導(dǎo)電流為零的空間，則一定有于是可以引入標(biāo)勢(shì) ，從而有這與靜電學(xué)中 完全類似，故 稱為磁標(biāo)勢(shì)，因此引入磁標(biāo)勢(shì)的第一個(gè)條件是空間無(wú)傳導(dǎo)電流。 （2）空間應(yīng)為單連通區(qū)域 根據(jù)積分式子 ，我們將可看到，對(duì)于

16、,一個(gè)任意的積分閉合路徑，如果I=0，有可能定義磁標(biāo)勢(shì)，這時(shí) ，引入磁標(biāo)勢(shì) 是保守場(chǎng)的勢(shì)，但是 只說(shuō)明該區(qū)域內(nèi)沒(méi)有渦旋場(chǎng)的源。許多情況下，區(qū)域內(nèi)雖然沒(méi)有電流分布，但磁場(chǎng)仍然是渦旋的，它就不是保守場(chǎng)，故不能引入磁標(biāo)勢(shì)，這一點(diǎn)由一無(wú)限長(zhǎng)載流導(dǎo)線周圍的空間的場(chǎng)可以看出，即導(dǎo)線外界空間I=0，滿足 ，但磁場(chǎng)是渦旋的。 然而

17、，真實(shí)的情況是由Ampere環(huán)路定律所表達(dá)的。,沿閉合曲線積分一周是否為零取決于路徑的選擇，若考慮一個(gè)環(huán)形電流附近的空間（電流環(huán)除外）中的磁場(chǎng)，顯然，這個(gè)區(qū)域由于不存在傳導(dǎo)電流而認(rèn)為可以用 來(lái)描述。設(shè)該空間磁場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)為 ，且 ，將磁場(chǎng)強(qiáng)度 沿一閉合曲線L積分，而此積分曲線是穿過(guò)電流環(huán)的，因而積分回路包圍電流，故另一方面,于是有因?yàn)?是沿閉合曲線積分的起點(diǎn)和

18、終點(diǎn)的標(biāo)勢(shì)，是空間同一點(diǎn)的值，應(yīng)該是單值函數(shù)。而現(xiàn)在表明 不是單值的，它與積分回路的選取有關(guān)。因此，僅有“無(wú)傳導(dǎo)電流”這一條件還不夠，必須要求 為單值的。 為此，引入以電流環(huán)為邊界的任意曲面，并規(guī)定積分路徑不允許穿過(guò)此曲面。任何閉合積分路徑都不穿過(guò)曲面，這樣， 就是一個(gè)單值的。從曲面的一側(cè)穿過(guò)曲面到另一側(cè)，磁標(biāo)勢(shì) 不是連續(xù)的。存在著大小為I的躍變，由此可見(jiàn)，若電流是環(huán)形分布的，只能,在挖去環(huán)形電

19、流所圍成的曲面之后剩下的空間才能可用磁標(biāo)勢(shì)。也就是使復(fù)連通區(qū)域成為單連通區(qū)域，所以通常把第二個(gè)條件稱為單連通區(qū)域條件。 如一個(gè)線圈，如果挖去線圈所圍著的一個(gè)殼形區(qū)域S，則在剩下的空間中任一閉合回路都不鏈環(huán)著電流。因此在除去這個(gè)殼形區(qū)域之后, 在此空間中就可引入 又如電磁鐵，兩磁極間隙處的磁場(chǎng)，可引入 ；對(duì)于永久磁鐵，只有分子電流，無(wú)傳導(dǎo)電流，在其全空間（含其體內(nèi)）都可引入 。,2、

20、磁標(biāo)勢(shì) 的方程 在能引入磁標(biāo)勢(shì)的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)滿足：在磁介質(zhì)中， 的關(guān)系是（不論是鐵磁質(zhì)還是非鐵磁質(zhì)）：因?yàn)?，代入上式，則得,與電介質(zhì)中極化電荷密度的表達(dá)式 類比，可以假想磁荷密度為于是，得到與電介質(zhì)中的靜電場(chǎng)方程類似的形式將 代入上式，即得到,從 和 的邊值關(guān)系可以求得

21、 在交界面上的關(guān)系：由 ，得到由 ，及 可得對(duì)于非鐵磁質(zhì)來(lái)說(shuō)， ，故得到,由此可見(jiàn)，交界面上的關(guān)系和靜電介質(zhì)完全類似。因此，引入磁荷和磁標(biāo)勢(shì)的好處在于可以借用靜電學(xué)中的方法。3、靜磁問(wèn)題的唯一性定理 當(dāng)所考慮的區(qū)

22、域是單連通的，其中沒(méi)有傳導(dǎo)電流分布時(shí)，可引入磁標(biāo)勢(shì) ，通過(guò)和靜電學(xué)問(wèn)題的唯一性定理同樣的推導(dǎo)，可得出靜磁問(wèn)題的唯一性定理： 如果可均勻分區(qū)的區(qū)域V中沒(méi)有傳導(dǎo)電流分布，只要在邊界S上給出下列條件之一，則V內(nèi)磁場(chǎng)唯一地確定：,a)磁標(biāo)勢(shì)之值 b)磁場(chǎng)強(qiáng)度的法向分量 c) 磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量4、磁標(biāo)勢(shì)的應(yīng)用舉例[例1] 證明μ→∞的磁性物質(zhì)表面為等磁勢(shì)面。

23、 Solution: 角標(biāo)1代表磁性 物質(zhì)、角標(biāo)2為真空,由磁場(chǎng)邊界條件：以及可得到法向和切向分量為兩式相除，得,因此，在該磁性物質(zhì)外面，H2與表面垂直（切向分量與法向分量之比→0)，因而表面為等磁勢(shì)面。[例2]求磁化矢量為 的均勻磁化鐵球產(chǎn)生的磁場(chǎng)。Solution: 鐵球內(nèi)外為兩均勻區(qū)域，在鐵球外沒(méi)有磁荷分布 ( )，在鐵球內(nèi)由于均勻磁化 , 而

24、 =0，因此磁荷只能分布在鐵球表面上，故球內(nèi)、外磁勢(shì)都滿足Laplace’s equation.,由于軸對(duì)稱性，極軸沿 方向，上式解的形式為：球外磁標(biāo)勢(shì)必隨距離r增大而減小，即球內(nèi)磁標(biāo)勢(shì)當(dāng)r=0時(shí)必為有限，即故有：,鐵球表面邊界條件為、 當(dāng)r=R0時(shí)：設(shè)球外為真空，則,由邊界條件得：,比較 的系數(shù)： 當(dāng)n=

25、1時(shí)，有所以 當(dāng) 時(shí)，有,從而得到鐵球內(nèi)、外的磁場(chǎng)強(qiáng)度為,其中： 。由此可見(jiàn)鐵球外的磁場(chǎng)相當(dāng)于一個(gè)磁偶極子所激發(fā)的場(chǎng)。把 取在 方向上，即有,進(jìn)一步討論可見(jiàn)： 線總是閉合的， 線且不然， 線是從右半球面上的正磁荷發(fā)出，終止于左半球面的負(fù)磁荷上。在鐵球內(nèi)， 與

26、 反向。說(shuō)明磁鐵內(nèi)部的 與 是有很大差異的。 線是閉合的 線由正磁荷發(fā)出到負(fù)磁荷止,§3.5 磁多極矩Magnetic multipole moment,本節(jié)研究空間局部范圍內(nèi)的電流分布所激發(fā)的磁場(chǎng)在遠(yuǎn)處的展開(kāi)式。與電多極矩（electric multipole moment) 對(duì)應(yīng)。引入磁多極矩概念，并討論這種電流分布在外磁場(chǎng)中的能量問(wèn)題。

27、1、矢勢(shì) 的多極展開(kāi) 給定電流分布在空間中激發(fā)的磁場(chǎng)矢勢(shì)為,如果電流分布集中在一個(gè)小區(qū)域V中，而場(chǎng)點(diǎn) 又距離該區(qū)域比較遠(yuǎn)，這時(shí)可仿照靜電情況的電多極矩展開(kāi)的方法，把矢勢(shì) 作多極展開(kāi)，即把 在區(qū)域內(nèi)的某一點(diǎn)展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù)。若展開(kāi)點(diǎn)取在坐標(biāo)的原點(diǎn)，則,展開(kāi)式的第一項(xiàng)：即表示沒(méi)有與自由電荷對(duì)應(yīng)的自由磁荷存在。,因?yàn)?展開(kāi)式的第二項(xiàng)：,這里用到了穩(wěn)恒電流條件所以,,,0

28、,其中故得到式中：稱此為磁矩。,表示把整個(gè)電流系的磁矩集中在原點(diǎn)時(shí)，一個(gè)磁矩對(duì)場(chǎng)點(diǎn)所激發(fā)的矢勢(shì)。作為一級(jí)近似結(jié)果。展開(kāi)式的第三項(xiàng)：將會(huì)是更高級(jí)的磁矩激發(fā)的矢量勢(shì)。因?yàn)楸容^復(fù)雜，一般不去討論。 綜上所述：小區(qū)域電流分布所激發(fā)的磁場(chǎng)，其矢勢(shì)可看作一系列在原點(diǎn)的磁多極子對(duì)場(chǎng)點(diǎn)激發(fā)的矢勢(shì)的迭加。,2、磁偶極矩的場(chǎng)和磁標(biāo)勢(shì) 根據(jù) ，即有由此可見(jiàn),因?yàn)橛懻摰氖?/p>

29、區(qū)域V外的場(chǎng)，在 處，有故得到由此可見(jiàn)在電流分布以外的空間中,故得3、小區(qū)域內(nèi)電流分布在外磁場(chǎng)中的能量 設(shè)外場(chǎng) 的矢勢(shì)為 ，電流 分布在外磁場(chǎng)中的能量為：,對(duì)于環(huán)形小電流，則有當(dāng)電流環(huán)線度很小， 變化不大時(shí)，取原點(diǎn)在線圈所在區(qū)域適當(dāng)位置上，把 在原點(diǎn)附近展開(kāi)：,所以，得到可見(jiàn),4、磁矩在外磁場(chǎng)中受力和力矩

30、體積V內(nèi)的電流受外磁場(chǎng)的作用力為而從而得到,第二項(xiàng)：,第一項(xiàng)：,,,,0,故,同理，考慮一個(gè)小區(qū)域內(nèi)的電流在外磁場(chǎng)中受到的力矩為：展開(kāi)式的第一項(xiàng)：,,0,,故得到,§3.6 阿哈羅諾夫—玻姆效應(yīng)Aharonov-Bohm effects,在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中，場(chǎng)的基本物理量是電場(chǎng)強(qiáng)度 和磁感應(yīng)強(qiáng)度 ，勢(shì) 和 是為了數(shù)學(xué)上的方便而引入的輔助量， 和 不是唯一確定的。為對(duì)應(yīng)

31、一個(gè)磁場(chǎng),可以有無(wú)窮多的矢勢(shì) ，所以在經(jīng)典意義上說(shuō)， 和 不是直接觀察意義的物理量。但是，在量子力學(xué)中，勢(shì) 和 具有可觀測(cè)的物理效應(yīng)。1959年，阿哈羅諾夫(Aharonov)和玻姆(Bohm)提出這一新的效應(yīng)（以下簡(jiǎn)稱A-B效應(yīng)），并被隨后的實(shí)驗(yàn)所證明實(shí)。 下圖為電學(xué)雙縫衍射實(shí)驗(yàn)裝置。,一束以電子槍發(fā)射出來(lái)的電子經(jīng)雙縫分為兩束，分別經(jīng)過(guò)路徑c1,c2到達(dá)熒光屏

32、上，兩束電子有一定的相位差，在屏上可得到 干涉花紋。若在雙縫后面放置一個(gè)細(xì)長(zhǎng)螺線管 ，管上加一定電壓，以阻止電子進(jìn)入螺線管，電子只能在管外區(qū)域行進(jìn)。,y,實(shí)驗(yàn)分兩步進(jìn)行：首先在螺線管不通電的情況下進(jìn)行，這時(shí)整個(gè)空間 ， 。屏幕上有一定的干涉條紋。然后給螺線管通電，管外區(qū)域 （可視為無(wú)限長(zhǎng)螺線管），但管外區(qū)域 ，這是因?yàn)樵诎鼑菥€管的任一閉合路徑積分有

33、 ，其中 為管內(nèi)磁通。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，屏幕上的干涉條紋發(fā)生移動(dòng)。因?yàn)殡娮硬粫?huì)進(jìn)入管內(nèi)區(qū)域，因而兩種情況下的差別僅在于管外區(qū)域的矢勢(shì) 不同，所以可以認(rèn)為管外的矢勢(shì) 對(duì)電子運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生了作用。 干涉條紋的移動(dòng)是由于兩束電子產(chǎn)生了附加的相位差, 這種現(xiàn)象稱為阿哈羅諾夫——玻姆效應(yīng)(即A-B,效應(yīng)），這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明，磁場(chǎng)的物理效應(yīng)不能完全用 來(lái)描述，而 不再是一個(gè)沒(méi)有直接觀測(cè)意義的物理量，它可以影

34、響電子波束的相位，從而使干涉條紋發(fā)生移動(dòng)。 A-B效應(yīng)是量子力學(xué)現(xiàn)象?，F(xiàn)在從量子力學(xué)的基本原理出發(fā)，對(duì)以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果作一簡(jiǎn)要分析。 當(dāng)螺線管不通電時(shí)， 。自由電子波函數(shù)由平面波描述，即,其中 是電子的動(dòng)量， ， 為普朗克常數(shù)。 兩束電子波函數(shù)的相位差為其中d為雙縫寬度（即雙縫的間距），L為雙縫到屏幕的

35、距離，因?yàn)閐>>L, y<<L。故近似有,當(dāng)螺線管通電時(shí)，管外 ，電子波函數(shù)中的正則動(dòng)量為兩電子束的相位差為,式中c為由c2和-c1組成的閉合回路， 是通過(guò)此回路內(nèi)的磁通量。由此可見(jiàn)，螺線管通前后電子束的相位差不同。 但由于 引起的附加相位差 對(duì)屏幕上任一點(diǎn)都是相同的。故干涉條紋的圖樣不變，只是沿y方向平移了y0，而y0可由下式得到：將