§2.3一元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗

1、§2.3 一元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗,一、擬合優(yōu)度檢驗 二、變量的顯著性檢驗 三、參數(shù)的置信區(qū)間,回歸分析是要通過樣本所估計的參數(shù)來代替總體的真實參數(shù)，或者說是用樣本回歸線代替總體回歸線。,盡管從統(tǒng)計性質(zhì)上已知，如果有足夠多的重復(fù) 抽樣，參數(shù)的估計值的期望（均值）就等于其總體的參數(shù)真值，但在一次抽樣中，估計值不一定就等于該真值。 那么，在一次抽樣中，參數(shù)的估計值與真值的差異有多大，是否顯著，這就需要進一步進行

2、統(tǒng)計檢驗。 主要包括擬合優(yōu)度檢驗、變量的顯著性檢驗及參數(shù)的區(qū)間估計。,一、擬合優(yōu)度檢驗,擬合優(yōu)度檢驗：對樣本回歸直線與樣本觀測值之間擬合程度的檢驗。 度量擬合優(yōu)度的指標：判定系數(shù)（可決系數(shù)）R2,問題：采用普通最小二乘估計方法，已經(jīng)保證了模型最好地擬合了樣本觀測值，為什么還要檢驗擬合程度？,1、總離差平方和的分解,已知由一組樣本觀測值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到如下樣本回歸直線,如果Yi=?i 即實際觀測值落在樣本回

3、歸“線”上，則擬合最好?？烧J為，“離差”全部來自回歸線，而與“殘差”無關(guān)。,對于所有樣本點，則需考慮這些點與樣本均值離差的平方和,可以證明：,,記,總體平方和（Total Sum of Squares）,回歸平方和（Explained Sum of Squares）,殘差平方和（Residual Sum of Squares ）,TSS=ESS+RSS,Y的觀測值圍繞其均值的總離差(total variation)可分解為兩部分：一部

4、分來自回歸線(ESS)，另一部分則來自隨機勢力(RSS)。,在給定樣本中，TSS不變， 如果實際觀測點離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大，因此 擬合優(yōu)度：回歸平方和ESS/Y的總離差TSS,2、可決系數(shù)R2統(tǒng)計量,稱 R2 為（樣本）可決系數(shù)/判定系數(shù)（coefficient of determination)。,可決系數(shù)的取值范圍：[0，1] R2越接近1，說明實際觀測點離樣本線越近，擬

5、合優(yōu)度越高。,,在例2.1.1的收入-消費支出例中，,注：可決系數(shù)是一個非負的統(tǒng)計量。它也是隨著抽樣的不同而不同。為此，對可決系數(shù)的統(tǒng)計可靠性也應(yīng)進行檢驗，這將在第3章中進行。,二、變量的顯著性檢驗,回歸分析是要判斷解釋變量X是否是被解釋變量Y的一個顯著性的影響因素。 在一元線性模型中，就是要判斷X是否對Y具有顯著的線性性影響。這就需要進行變量的顯著性檢驗。,變量的顯著性檢驗所應(yīng)用的方法是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的假設(shè)檢驗。

6、計量經(jīng)計學(xué)中，主要是針對變量的參數(shù)真值是否為零來進行顯著性檢驗的。,1、假設(shè)檢驗,所謂假設(shè)檢驗，就是事先對總體參數(shù)或總體分布形式作出一個假設(shè)，然后利用樣本信息來判斷原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè)。 假設(shè)檢驗采用的邏輯推理方法是反證法。 先假定原假設(shè)正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由此假設(shè)而導(dǎo)致的結(jié)果是否合理，從而判斷是否接受原假設(shè)。 判斷結(jié)果合理與否，是基于“小概率事件

7、不易發(fā)生”這一原理的,2、變量的顯著性檢驗,檢驗步驟：,（1）對總體參數(shù)提出假設(shè) H0： ?1=0， H1：?1?0,（2）以原假設(shè)H0構(gòu)造t統(tǒng)計量，并由樣本計算其值,（3）給定顯著性水平?，查t分布表，得臨界值t ?/2(n-2),(4) 比較，判斷 若 |t|> t ?/2(n-2)，則拒絕H0 ，接受H1 ； 若 |t|? t ?/2(n-2)，則

8、拒絕H1 ，接受H0 ；,對于一元線性回歸方程中的?0，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計量進行顯著性檢驗：,,在上述收入-消費支出例中，首先計算?2的估計值,t統(tǒng)計量的計算結(jié)果分別為：,給定顯著性水平?=0.05，查t分布表得臨界值 t 0.05/2(8)=2.306 |t1|>2.306，說明家庭可支配收入在95%的置信度下顯著，即是消費支出的主要解釋變量； |t2|<2.

9、306,表明在95%的置信度下，無法拒絕截距項為零的假設(shè)。,假設(shè)檢驗可以通過一次抽樣的結(jié)果檢驗總體參數(shù)可能的假設(shè)值的范圍（如是否為零），但它并沒有指出在一次抽樣中樣本參數(shù)值到底離總體參數(shù)的真值有多“近”。 要判斷樣本參數(shù)的估計值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數(shù)的真值，往往需要通過構(gòu)造一個以樣本參數(shù)的估計值為中心的“區(qū)間”，來考察它以多大的可能性（概率）包含著真實的參數(shù)值。這種方法就是參數(shù)檢驗的置信區(qū)間估計。,三、參數(shù)的置信

10、區(qū)間,,如果存在這樣一個區(qū)間，稱之為置信區(qū)間（confidence interval）； 1-?稱為置信系數(shù)（置信度）（confidence coefficient）， ?稱為顯著性水平（level of significance）；置信區(qū)間的端點稱為置信限（confidence limit）或臨界值（critical values）。,一元線性模型中，?i (i=1，2）的置信區(qū)間:,在變量的顯著性檢驗中已經(jīng)知道：,意味著，如果給定置

11、信度（1-?），從分布表中查得自由度為(n-2)的臨界值，那么t值處在(-t?/2, t?/2)的概率是(1-? )。表示為：,即,,于是得到:(1-?)的置信度下, ?i的置信區(qū)間是,在上述收入-消費支出例中，如果給定? =0.01，查表得：,由于,,于是，?1、?0的置信區(qū)間分別為： （0.6345,0.9195) （-433.32,226.98）,由于置信區(qū)間一定程度