§函數(shù)的凸性和拐點(diǎn)

1、<p>　　§5函數(shù)的凸性和拐點(diǎn)</p><p>　　確定下列函數(shù)的凸性區(qū)間與拐點(diǎn)</p><p>　　y=2x-3x-26x+35 (2)y=x+ (3)y=x+ (4)y=ln(x+1)</p><p>　　分析：先求出函數(shù)以及不存在的點(diǎn)，這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義域分成不同的區(qū)間，討論在這些區(qū)間上的符號(hào)。</p><

2、;p>　　解: (1) y=6x-6x-36, y<12x-6.</p><p>　　當(dāng)x∈(-∝, )時(shí),y<0.(-∞,), 是凹區(qū)間; </p><p>　　當(dāng)x∈(, +∞)時(shí),y>0. (,+∞), 是凸區(qū)間.</p><p>　　f ()=0,故點(diǎn)(,)是曲線(xiàn)的拐點(diǎn).</p><p>　　

3、y=1-, y=函數(shù)無(wú)拐點(diǎn).</p><p>　　因?yàn)閤∈(-∞, 0)時(shí), y< 0,是凹區(qū)間;x∈(0,+∞)時(shí),是凸區(qū)間.</p><p>　　解: y＝２x-,y＝２＋．</p><p>　　x∈（－∞，－１）時(shí)，y＞０，是凸區(qū)間；x∈（－１，０）時(shí)，y＜０，是凹區(qū)間；</p><p>　　x∈(0,+∞)時(shí),y>0.

4、是凸區(qū)間;(-1,0)是曲線(xiàn)的拐點(diǎn).</p><p>　　解： y=2x（x+1），y=（2-2x）（x+1）</p><p>　　x∈（-∞，-1）時(shí)，y< 0是凹區(qū)間 ;x∈(-1,1)時(shí),y>0是凸區(qū)間;</p><p>　　x∈(1,+∞)時(shí),y< 0是凹區(qū)間.(1,ln2), (-1,ln2) 是曲線(xiàn)的兩個(gè)拐點(diǎn).</p>&

5、lt;p>　　解: y=-2x(1+x),y=(6x-2)(1+x)</p><p>　　x∈(-∞,0時(shí),y> 0, 是凸區(qū)間 ;x∈(-,)時(shí),y< 0,是凹區(qū)間</p><p>　　x ∈(-,+∞)時(shí),y> 0,是凸區(qū)間;</p><p>　　(-,),(-,)是曲線(xiàn)的倆個(gè)拐點(diǎn).</p><p>　　問(wèn)a和b

6、 為何值時(shí),點(diǎn)(1,3)為曲線(xiàn)y=ax+bx的拐點(diǎn).</p><p>　　分析：應(yīng)為點(diǎn)(1,3)在曲線(xiàn)y=ax+bx上，所以，又因函數(shù)二階可導(dǎo)，據(jù)拐點(diǎn)必要條件有：。</p><p>　　解：因點(diǎn)在該曲線(xiàn)上，故有，即</p><p>　　又因函數(shù)二階可導(dǎo)，據(jù)拐點(diǎn)必要條件有：。</p><p><b>　　而，</b><

7、;/p><p><b>　　故</b></p><p>　　聯(lián)立（1）和（2），解方程組得</p><p><b>　　3. 證明：</b></p><p>　　（1若f(x)為凸函數(shù)，為非負(fù)實(shí)數(shù)，則為凸函數(shù)。</p><p>　　(2).若f(x),g(x)為凸函數(shù)，則為f(x

8、)+g(x)凸函數(shù) .</p><p>　　(3).若f(x)為區(qū)間I上凸函數(shù)，g(x)為的凸增函數(shù)，則為I上凸函數(shù).</p><p>　　分析：嚴(yán)格按凸函數(shù)的定義來(lái)證明，即為凸函數(shù)的充要條件是對(duì)定義區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)及任意，有</p><p>　　證：（1）因?yàn)闉橥购瘮?shù)，所以對(duì)定義區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)及任意，</p><p><b>　　有

9、</b></p><p>　　上式兩邊同乘以非負(fù)實(shí)數(shù)，</p><p><b>　　得</b></p><p><b>　　按定義，為凸函數(shù)。</b></p><p>　?。?）因?yàn)榫鶠橥购瘮?shù)，所以對(duì)定義區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)及任意，</p><p><b>　

10、　有</b></p><p><b>　　及</b></p><p>　　不等式兩邊分別相加，得</p><p><b>　　按定義，為凸函數(shù)。</b></p><p>　　（3）因?yàn)闉镮上凸函數(shù)，所以對(duì)任意及任意，有</p><p>　　又因?yàn)镴上增函數(shù)，而且，

11、，</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　再又為J上凸函數(shù)，有</p><p><b>　　從而</b></p><p>　　按定義，為I上凸函數(shù)。</p><p>　　若f(x)為區(qū)間I上凸函數(shù) 。證明：若為f(x)的極小值點(diǎn)，則為f(x)在I上唯一

12、的極小值點(diǎn)。</p><p>　　分析：用反證法和極小值的定義來(lái)證明。</p><p>　　證明：假定在I上還有另一個(gè)極小值點(diǎn)，不妨設(shè)，由定義，存在及，使得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。</p><p><b>　　對(duì)任意，取，則，</b></p><p>　　據(jù)為I上嚴(yán)格凸函數(shù)，有</p><p><b

13、>　　若，則</b></p><p>　　特別的，當(dāng)時(shí)，。這與為極小值點(diǎn)矛盾。</p><p><b>　　若，則</b></p><p><b>　　特別地，當(dāng)時(shí)，。</b></p><p>　　這與為的極小值點(diǎn)相矛盾。故為在I上唯一的極小值點(diǎn)。</p><p

14、>　　應(yīng)用凸函數(shù)概念證明如下不等式：</p><p>　?。?）對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b，有 </p><p>　　（2）對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有 </p><p>　　分析：此題關(guān)鍵是作出輔助函數(shù)，（1）題令，（2）題令，然后按照凸函數(shù)概念來(lái)證明。</p><p>　　證明：（1）設(shè)。由于，故在上為凸函數(shù)，對(duì)任意，取，有</p>

15、<p><b>　　即</b></p><p><b>　　（2）設(shè)，則，</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，。故在上為凹函數(shù)，</p><p>　　從而對(duì)任何非負(fù)實(shí)數(shù)，有</p><p><b>　　即</b></p><p><b

16、>　　從而原不等式成立。</b></p><p>　　證明：若f(x),g(x)均為區(qū)間I上凸函數(shù)，則F(x)=max{ f(x),g(x)}也是I上凸函數(shù)。 </p><p>　　分析：嚴(yán)格按凸函數(shù)的定義來(lái)證明。</p><p>　　證明：對(duì)任意的，任意，據(jù)為I上凸函數(shù)，有</p><p><b>　　由定義知

17、：，</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　同理有</b></p><p><b>　　從而</b></p><p><b>　　即。</b></p><p>　　按定義，是I上的凸

18、函數(shù)。</p><p><b>　　證明：</b></p><p>　　（1）為區(qū)間I上凸函數(shù)的充要條件是對(duì)I上任意三點(diǎn)恒有</p><p>　　(2)為嚴(yán)格凸函數(shù)的充要條件是</p><p>　　分析：先將行列式展開(kāi)。</p><p>　　證明：（1）將行列式中第一行的（-1）倍分別加到第二行，

19、第三行，得</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，等價(jià)于</b></p><p>　　上式正好是為I上凸函數(shù)的充要條件，故結(jié)論成立。</p><p>　　應(yīng)用詹森不等式證明：</p><p><b>　　（1）設(shè)有</b></p><p>　?。?）設(shè)有其中 </p&g

20、t;<p>　　分析：作出輔助函數(shù)，則，故在內(nèi)為凸函數(shù)。根據(jù)凸函數(shù)的定義來(lái)證明。</p><p>　　證明：（1）設(shè)，則，故在內(nèi)為凸函數(shù)。取，由詹森不等式得</p><p><b>　　也就是</b></p><p><b>　　或</b></p><p>　　因上述不等式對(duì)任意n個(gè)正

21、數(shù)成立，故以代替，有</p><p><b>　　或</b></p><p>　　綜合以上論述，原不等式成立。</p><p><b>　?。?）分兩步：</b></p><p>　　?。┫茸C時(shí)結(jié)論成立，即：若，則</p><p>　　事實(shí)上，仍由為凸函數(shù)，取，有</p