船舶與海洋工程畢業(yè)設(shè)計船體帶孔甲板的屈曲分析

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　船體帶孔甲板的屈曲分析</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級 船舶與海洋工程

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　目錄</b></p>

3、<p><b>　　摘 要I</b></p><p><b>　　1緒 論1</b></p><p>　　1.1論文研究的背景目的和意義1</p><p>　　1.2 甲板屈曲國內(nèi)外研究現(xiàn)狀分析2</p><p>　　1.3 本文研究的主要內(nèi)容3</p>&

4、lt;p>　　2甲板結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析4</p><p>　　2.1結(jié)構(gòu)的屈曲分析理論4</p><p>　　2.1.1屈曲分析的概念4</p><p>　　2.1.2屈曲分析的類型4</p><p>　　2.2 桿與板的穩(wěn)定性6</p><p>　　2.2.1船體結(jié)構(gòu)概述6</p>&l

5、t;p>　　2.2.2單跨壓桿的穩(wěn)定性7</p><p>　　2.2.3甲板板架的穩(wěn)定性14</p><p>　　2.2.1板的整體屈曲模式17</p><p>　　3 板的中性平衡方程式及其解21</p><p>　　3.1 矩形板的中性平衡微分方程式21</p><p>　　3.2四邊自由支持單向受

6、壓板的解24</p><p>　　3.3三邊自由支持，一邊完全自由單向受壓板的解27</p><p>　　3.4板的后屈曲性能29</p><p>　　3.4.1 基本概念29</p><p>　　3.4.2 板后屈曲的應(yīng)力分布30</p><p>　　3.4.3 板的極限荷重31</p>&

7、lt;p>　　3.4.4 板的有效寬度與折減系數(shù)32</p><p>　　4甲板屈曲分析有限元方法理論35</p><p>　　4.1 有限元法基本簡介35</p><p>　　4.2甲板屈曲有限元的基本思路及準(zhǔn)則指標(biāo)36</p><p>　　4.2.1有限元模型建模準(zhǔn)則37</p><p>　　4.2

8、.2有限元模型性能指標(biāo)37</p><p>　　4.3 甲板屈曲有限元法的基本理論與方法38</p><p>　　4.3.1 彈性力學(xué)基本方程38</p><p>　　4.3.2 彈性力學(xué)基本原理40</p><p>　　5帶孔甲板屈曲算例與分析41</p><p>　　5.1甲板模型的選擇41</p

9、><p>　　5.2邊界條件42</p><p>　　5.3甲板的屈曲有限元計算42</p><p>　　5.3.1對有限元計算的檢驗(yàn)42</p><p>　　5.3.2甲板有限元模型的計算及分析44</p><p>　　6 結(jié)論與展望58</p><p><b>　　外文翻譯

10、60</b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　甲板是船舶的重要組成部分，是船上的主要活動場所之一。以往的研究比較著重甲板對船體總強(qiáng)度的影響。隨著近年一些船舶甲板在事故中嚴(yán)重斷裂，甲板的屈曲問題引起了越來越多的注意。造船中高強(qiáng)度鋼的廣泛應(yīng)用，使得構(gòu)件斷面尺寸越來越小，失穩(wěn)的可能性也就越來越大，研究船舶失穩(wěn)也顯得越來越重要。&

11、lt;/p><p>　　因?yàn)榧装迳祥_口尤其是大開口對于船體的強(qiáng)度影響很大，以往文獻(xiàn)大都集中在強(qiáng)度影響的研究，對于甲板開口的穩(wěn)定性分析很少，所以本文擬分析開孔甲板的穩(wěn)性。主要內(nèi)容包括：</p><p>　　論述甲板屈曲分析理論</p><p>　　介紹有限元分析原理及其其屈曲建模的基本理論和方法</p><p>　　驗(yàn)證擬定的影響帶孔甲板屈曲的因素

12、</p><p>　　[關(guān)鍵詞] 甲板；開孔；屈曲；有限元</p><p>　　Buckling Analysis for Belt Aperture Deck</p><p>　　[Abstract]The deck is an important part of a ship as well as a main place for people’s activi

13、ty. The pre-researches mostly focus on strength analysis. However， many ships cracked in accident have a seriously broken deck which arise more people’s attention. With the widely use of high strength steel in shipbuildi

14、ng， the components’ section is getting smaller and smaller which greatly increases the chance of buckling of the deck. So it is very important to pay due attention to the buckling study.</p><p>　　The hole in

15、 the deck influences the strength of the ship greatly which on the other side distract people’s attention from buckling study. And the thesis is going to analyze the buckling of the aperture deck which contains following

16、.</p><p>　　Discussing the Buckling analysis of decks.</p><p>　　Introducing the principle of the finite element analysis and the basic theory and method of buckling modeling. </p><p>

17、;　　Verifying the factors assumed to influence the buckling of belt aperture deck.</p><p>　　[Key words] deck; hole; buckling; finite element</p><p><b>　　1緒 論</b></p><p>

18、　　1.1論文研究的背景目的和意義</p><p>　　船體上的構(gòu)件板材破壞形式有三種，即：斷裂、局部塑性破壞和屈曲破壞。對船體結(jié)構(gòu)而言，如果從縱向總強(qiáng)度上分析，與之相對應(yīng)的船體損傷有：由于疲勞裂紋產(chǎn)生的脆性破壞，由于砰擊引起的損傷， 及由于異常波浪外力引起的甲板屈曲破壞等等。由疲勞裂紋產(chǎn)生的破壞可以采用改善鋼材低溫特性的辦法予以改善；由砰擊產(chǎn)生的損傷可以通過操船防止，而甲板的穩(wěn)性在船舶設(shè)計完成后就基本已經(jīng)是個定

19、值，所以對甲板屈曲的研究是非常重要的。</p><p>　　船舶所受到的外力非常復(fù)雜。除了船舶本身的自重，裝備和載重等重量以外，船舶還受到包括海水在內(nèi)作用于船體的力。除非船是靜置在水中，否則船上所受到的海水作用力主要是動力。這些動力包括水動壓力、沖擊力以及船在運(yùn)動中的慣性力等等。力學(xué)上，我們在研究船體強(qiáng)度問題時長把船體作為梁來研究。</p><p>　　因?yàn)樵诳紤]屈曲問題時，雖然船體結(jié)構(gòu)中

20、有很多受壓構(gòu)件，但船在波浪中發(fā)生總彎曲時，離船體中性軸最遠(yuǎn)的甲板和船體板更容易失穩(wěn)，因?yàn)榇捉Y(jié)構(gòu)比甲板結(jié)構(gòu)要強(qiáng)，而且甲板離中性軸更遠(yuǎn)，所以在討論船舶結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題時，除了各種支柱外，主要是討論甲板骨架和甲板板的穩(wěn)定性問題。</p><p>　　對于船舶屈曲研究近年發(fā)展很快，之前關(guān)于船體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度研究的文獻(xiàn)很多，但近年來很多由于甲板結(jié)構(gòu)失穩(wěn)引起的船舶破壞實(shí)例的出現(xiàn)，越來越多的注意力被投在了船體的屈曲分析上。隨著現(xiàn)代造

21、船中高強(qiáng)度鋼的應(yīng)用，使得構(gòu)件斷面尺寸可以減小，而失穩(wěn)的可能性就增大，于是保證這種高強(qiáng)度鋼構(gòu)件的穩(wěn)定性也就顯得更加重要。</p><p>　　初期對于甲板屈曲的研究，首先考慮板的中性平衡狀態(tài)，即板受中面壓力或剪力作用并獲得小偏移時的平衡狀態(tài)。板在中性平衡狀態(tài)時對應(yīng)的外力就是板的臨界力。通常是用微分方程來描述板的中性平衡狀態(tài)。與桿的情形相仿，板的中性平衡微分方程式可借板在復(fù)雜彎曲（即有橫荷重又有中面力作用）時的彎曲微

22、分方程式導(dǎo)得。60年代出現(xiàn)的有限元法是把彈性體離散為有限個單元，即認(rèn)為彈性體是有限個單元組合體，對于每一個單元用李茲法的思想來求位移與力之間的關(guān)系（即求單元的剛度矩陣），再借助電子計算機(jī)計算。目前廣泛應(yīng)用于屈曲分析的有限元軟件如Patran等都是以此為基礎(chǔ)發(fā)展起來的。</p><p>　　1.2 甲板屈曲國內(nèi)外研究現(xiàn)狀分析</p><p>　　船體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度是指船體結(jié)構(gòu)在抵抗外力作用下而不被

23、破壞，使得構(gòu)件能安全完成其所設(shè)定的使命。所謂能安全完成設(shè)定使命，是指結(jié)構(gòu)要按照預(yù)定設(shè)計功能工作，在各種外載荷的作用下構(gòu)件不破壞，不產(chǎn)生大的變形。對大多數(shù)結(jié)構(gòu)來說，屈服強(qiáng)度計算是必不可少的，在對某些受壓或由高強(qiáng)度材料制成的結(jié)構(gòu)構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度分析時，我們更多的需要考慮其屈曲強(qiáng)度計算而非傳統(tǒng)的屈服強(qiáng)度計算。所以結(jié)構(gòu)屈曲強(qiáng)度是結(jié)構(gòu)設(shè)計中的關(guān)鍵問題之一，它對保證結(jié)構(gòu)的安全性和使用性起著至關(guān)重要的作用。屈曲問題是要找出外部作用力與結(jié)構(gòu)內(nèi)部抵抗力之間的

24、不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，即變形開始急劇增長的狀態(tài)，設(shè)法避免構(gòu)件進(jìn)入該狀態(tài)。</p><p>　　對于甲板的研究，其實(shí)可以簡化成對于加筋板的研究。甲板的實(shí)質(zhì)便是板上加了幾根加強(qiáng)筋。在對簡化成加筋板研究時，需要注意邊界條件的設(shè)定，因?yàn)榇w上的甲板邊界受到各方面的限制，絕對不能以自由邊的形式進(jìn)行分析。在考慮邊界條件時，對于整個甲板或者相對完整的甲板的研究，通常將其舷邊設(shè)定為剛性固定；對于甲板上某一部分的分析，其邊界條件要視實(shí)際

25、情況而定，邊界在各方向上的位移都要考慮進(jìn)去。</p><p>　　以往文獻(xiàn)很少有細(xì)化到對于開孔甲板屈曲分析的，但他們對船體構(gòu)件或是特定船型的屈曲分析，給研究帶孔甲板的屈曲問題提供了寶貴的經(jīng)驗(yàn)。</p><p>　　文獻(xiàn)[3]介紹了中國船級社有關(guān)指南文件中船體結(jié)構(gòu)屈曲強(qiáng)度校核的直接計算方法，并與國外船級社的計算法作了比較。另外，還介紹了開發(fā)的相應(yīng)應(yīng)用軟件系統(tǒng)。</p><

26、p>　　文獻(xiàn)[2]考慮船艙進(jìn)水導(dǎo)致船體梁的結(jié)構(gòu)崩潰而發(fā)生沉沒的事故中艙壁是一個關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，通過能量法導(dǎo)出艙壁扶強(qiáng)材在側(cè)向靜水壓力作用下的彈性屈曲的臨界載荷公式，與有限元數(shù)值計算比較，得出型材發(fā)生側(cè)向失穩(wěn)時的臨界載荷計算公式，便于在工程設(shè)計計算中應(yīng)用。</p><p>　　文獻(xiàn)[1]研究分析船體骨材的側(cè)傾屈曲問題，分析中考慮了板屈曲對骨材側(cè)傾的影響。在計算板屈曲時，采用了更加接近實(shí)際邊界條件的變形撓曲函數(shù)，使

27、得計算結(jié)果更為合理。從計算結(jié)果看，板屈曲采用更為接近實(shí)際的板的屈曲后，骨材的側(cè)傾臨界應(yīng)力顯著提高。</p><p>　　文獻(xiàn)[4]介紹川江及三峽庫區(qū)標(biāo)準(zhǔn)型載貨汽車滾裝船研究背景，分析雙層底對屈曲強(qiáng)度的影響，推導(dǎo)出船底板和內(nèi)底板的規(guī)范公式，最后用標(biāo)準(zhǔn)型凈尺寸臨界船進(jìn)行驗(yàn)證。</p><p>　　文獻(xiàn)[5]移植二維水彈性砰擊與波激力矩程序，應(yīng)用B—R準(zhǔn)則．以相對應(yīng)的靜態(tài)屈曲閾值為基點(diǎn)搜索動態(tài)屈

28、曲．并分析了波高、失穩(wěn)臨界值和屈曲發(fā)生時間的關(guān)系，得出了一些供遠(yuǎn)洋船舶設(shè)計參考的結(jié)論。</p><p>　　文獻(xiàn)[6]對船體縱桁腹板上開口后的強(qiáng)度及穩(wěn)定性進(jìn)行有限元計算分析。探討縱桁腹板上兩種常見的開口形式及其開口大小對縱桁的影響，對兩種不同的開口形式進(jìn)行強(qiáng)度和屈曲性能的對比，為實(shí)際船體結(jié)構(gòu)設(shè)計提供參考。</p><p>　　文獻(xiàn)[7]論述了船舶結(jié)構(gòu)規(guī)范中應(yīng)用的結(jié)構(gòu)屈曲強(qiáng)度評估方法的規(guī)范，

29、如二維屈曲規(guī)范指定性要求，三維有限元模型中高級屈曲方法及其技術(shù)發(fā)展等。對其中的高級屈曲方法中的兩種不同方法論的技術(shù)背景，包括理論基礎(chǔ)和實(shí)際應(yīng)用情況做了闡述，并對其中的非線性有限元加筋板格極限強(qiáng)度分析工作做了闡述，及時掌握目前國際領(lǐng)域新技術(shù)新標(biāo)準(zhǔn)發(fā)展信息。</p><p>　　1.3 本文研究的主要內(nèi)容 </p><p>　　本文研究對象為船體帶孔甲板，對甲板進(jìn)行屈曲分析實(shí)質(zhì)便是對特定邊界條

30、件下加筋板的屈曲分析。加筋板通常受軸壓、剪切和側(cè)壓等載荷作用，按照船舶結(jié)構(gòu)的設(shè)計理念，扶強(qiáng)材的抗屈曲能力應(yīng)大于板格，因此，在總體屈曲發(fā)生之前，加強(qiáng)筋之間的板格常常會出現(xiàn)局部屈曲，這時板的撓度增加較快，而筋沒有明顯變形。局部屈曲會降低結(jié)構(gòu)的承載能力，影響外形的準(zhǔn)確性，所以局部屈曲載荷是加筋板設(shè)計的重要參數(shù)之一。黃寶宗和姜澤亞提出一個統(tǒng)一的三角級數(shù)作為彈性邊界矩形平板和圓柱曲板的撓度函數(shù)，用位能原理確定在軸壓、剪切和側(cè)壓作用下板的局部屈曲臨

31、界載荷。J．S．Przmienieck在1973年對加筋板局部穩(wěn)定性做的分析，他采用大撓度的應(yīng)變——位移關(guān)系建立了板條元的剛度矩陣。Eirik Byklum利用半解析有限元方法，提出了一個新的在復(fù)合載荷作用下分析加筋板局部屈曲的有效模型。</p><p>　　本文采用利用有限元軟件Patran擬討論一下幾個可能影響帶孔甲板屈曲的因素：</p><p>　　加強(qiáng)筋根數(shù)對甲板屈曲的影響<

32、/p><p>　　扶強(qiáng)材腹板高度對于甲板屈曲的影響</p><p>　　孔的縱橫向筋對穩(wěn)定性影響的大小之比</p><p>　　孔的圍板對屈曲的影響</p><p>　　板長對甲板屈曲的影響</p><p>　　雙孔情況下甲板的整體屈曲</p><p>　　有限元方法(FEM)是在20世紀(jì)50年代興

33、起的一種數(shù)值計算分析方法，是一門集應(yīng)用數(shù)學(xué)、力學(xué)和計算機(jī)科學(xué)于一體的綜合性交叉學(xué)科。它的興起源于工程實(shí)際的需要，對于大多數(shù)形狀和邊界條件復(fù)雜的工程問題，要想獲得問題的解析解是不可能的，實(shí)用上只能轉(zhuǎn)而尋求各種近似的數(shù)值方法，而夠靈活有限元方法就是這樣一種行之有效的數(shù)值分析方法。有限元法數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，物理概念清晰，能地處理和求解各種復(fù)雜問題，特別是它采用矩陣形式表達(dá)基本公式，便于運(yùn)用計算機(jī)編程運(yùn)算。MSC.Patran 是機(jī)械CAE分析軟件

34、的開放式前后處理平臺，它為工程設(shè)計、分析和分析結(jié)果評估提供完整的三維CAE環(huán)境。其結(jié)果受到很多人的信任。</p><p>　　2甲板結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析</p><p>　　2.1結(jié)構(gòu)的屈曲分析理論</p><p>　　2.1.1屈曲分析的概念</p><p>　　討論屈曲問題時，我們開始接觸的是受壓直桿的屈曲問題。由材料力學(xué)中知道，一根受壓的直

35、桿，當(dāng)壓力大到一定程度時它將不能保持其原來的直線平衡狀態(tài)，此時若稍微給桿一個干擾，桿就將在其最小剛度平面內(nèi)彎曲，這種現(xiàn)象就叫做桿件“喪失了穩(wěn)定性”，或簡稱“失穩(wěn)”，又稱“屈曲”（buckling）。板的屈曲與桿件相似，承受中面壓力或剪力的平板，當(dāng)壓力或剪力大到一定程度時板不能保持它原來的平面平衡狀態(tài)而發(fā)生彎曲，稱為板的屈曲。</p><p>　　2.1.2屈曲分析的類型</p><p>　

36、　Ansys公司在Ansys/Multiiphysics， Ansys/Mechanical， Ansys/Structural中提供兩種結(jié)構(gòu)屈曲載荷和屈曲模態(tài)的分析方法:特征值(線性)屈曲分析和非線性屈曲分析。這兩種方法通常得到不同的結(jié)果，二者是有區(qū)別的。</p><p>　　(1)特征值屈曲分析</p><p>　　特征值屈曲分析用于預(yù)測一個理想彈性結(jié)構(gòu)的理論屈曲強(qiáng)度(分叉點(diǎn))。該方法

37、相當(dāng)于教科書里的彈性屈曲分析方法。為了推導(dǎo)特征值問題，首先求解線彈性載荷狀態(tài){P0}的載荷一位移關(guān)系，即</p><p>　　{}=[]{} (2.1)</p><p>　　假設(shè)位移很小，在任意狀態(tài)下（{}，{}，{}）增量平衡方程式由下式給出</p><p>　　{}=[]+(){}

38、 (2.2)</p><p>　　式中，{}為施加載荷{}的位移結(jié)果，{}為應(yīng)力，[]為彈性剛度矩陣，</p><p>　　[]為某應(yīng)力狀態(tài){}下計算的初始應(yīng)力矩陣。</p><p>　　假設(shè)加載行為是一個外加載荷{}的線性函數(shù):</p><p><b>　　，， (2.3)</b><

39、;/p><p><b>　　則可得:</b></p><p>　　[]=[](2.4)</p><p>　　因此增量平衡方程為:</p><p>　　{}=[]+{} (2.5)</p><p>　　在開始不穩(wěn)定(屈曲載荷{}時，在{}=0的情況下，結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生變形{}屈曲范圍內(nèi)的增量平衡方程可以表

40、示為:</p><p>　　[] + =0(2.6)</p><p>　　上述關(guān)系代表經(jīng)典的特征值問題。為了滿足上面關(guān)系必須有:</p><p><b>　　(2.7)</b></p><p>　　在n自由度的有限元模型中，上述方程產(chǎn)生兄特征值的n階多項式，這情況下特征值向量表示屈曲時疊加到系統(tǒng)上的變形，由計算出兄的最

41、小值給定彈性臨界載荷{}。</p><p>　　特征值屈曲雖然方便快捷，但是，初始缺陷和非線性使得很多實(shí)際結(jié)構(gòu)都不是在其理論彈性屈曲強(qiáng)度處發(fā)生屈曲，因此，特征值屈曲分析經(jīng)常得出非保守結(jié)果，通常不能用于實(shí)際的工程分析。</p><p><b>　　(2)非線性屈曲</b></p><p>　　非線性屈曲分析比線性屈曲分析更精確，可以用于對實(shí)際結(jié)構(gòu)

42、的設(shè)計或計算。該方法用一種逐漸增加載荷的非線性靜力分析技術(shù)來求得使結(jié)構(gòu)開始變得不穩(wěn)定時得臨界載荷。一種近似的非線性求解是將載荷分成一系列的載荷增量?？梢栽趲讉€載荷步內(nèi)或者在一個載荷步的幾個子步內(nèi)施加增量。在每一個增量的求解完成后，繼續(xù)進(jìn)行下一個載荷增量之前，程序調(diào)整剛度矩陣以反映結(jié)構(gòu)剛度的非線性變化。遺憾的是，純粹的增量近似不可避免地隨著每一個載荷增量積累誤差，導(dǎo)致結(jié)果最終失去平衡，如圖1-1 (a)所示。而通過使用牛頓一拉普森(N-R

43、)平衡迭代克服了這種困難，它迫使在每一個載荷增量的末端解達(dá)到平衡收斂(在某個容限范圍內(nèi))。圖1-1(b)描述了在單自由度非線性分析中牛頓一拉普森平衡迭代的使用。在每次求解前，N-R方法估算出殘差矢量，這個矢量是回復(fù)力(對應(yīng)于單元應(yīng)力的載荷)和所加載荷的差值。程序然后使用非線平衡載荷進(jìn)行線性求解，且核查收斂性。如果不滿足收斂準(zhǔn)則，重新估算非平衡載荷，修改剛度矩陣，獲得新解。持續(xù)這種迭代過程直到問題收斂。其步驟如下:</p>

44、<p>　　1)以增量形式逐漸施加載荷;</p><p>　　2)在每一載荷增量中完成平衡迭代來使增量求解達(dá)到平衡;</p><p><b>　　3)求解平衡方程:</b></p><p><b>　　(2.8)</b></p><p>　　式中為切線剛度矩陣，為位移增量，為外部載荷向量，

45、為內(nèi)部力向量;</p><p>　　4)進(jìn)行迭代，直到 -在允許的范圍內(nèi)。</p><p>　　圖2-1 純粹增量近似于牛頓-拉普森的關(guān)系</p><p>　　對某些物理意義上不穩(wěn)定系統(tǒng)的非線性靜態(tài)分析，如果僅僅使用N-R方法，正切剛度矩陣可能變?yōu)榻稻仃?，?dǎo)致嚴(yán)重的收斂問題。這樣的情況包括獨(dú)立實(shí)體從固定表面分離的靜態(tài)接觸分析，結(jié)構(gòu)或者完全崩潰，或者“突然變成”另一

46、個穩(wěn)定形狀的非線性彎曲問題。對這樣的情況，可以采用另外一種迭代方法:弧長方法，來幫助穩(wěn)定求解。</p><p>　　2.2 桿與板的穩(wěn)定性</p><p>　　2.2.1船體結(jié)構(gòu)概述</p><p>　　(1)船體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題</p><p>　　失穩(wěn)——結(jié)構(gòu)因?yàn)槭軌憾荒芫S持原來平衡狀態(tài)的現(xiàn)象或“屈曲”</p><p&

47、gt;　　易失穩(wěn)的構(gòu)件：支柱；（如下圖）</p><p><b>　　縱骨；</b></p><p>　　甲板板架； 縱向骨架和板在總縱彎曲受壓時易失穩(wěn)</p><p><b>　　甲板板</b></p><p>　　圖2-2 板架、板、桿的失穩(wěn)形式</p><p>　　(2

48、) 受壓平衡狀態(tài)</p><p>　　理論上都可以保持直線狀態(tài)，給一小的偏移（干擾），在干擾去掉，然后研究壓桿的狀態(tài)，研究結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性就是要求確定結(jié)構(gòu)的臨界應(yīng)力或臨界荷重，因此，必須研究結(jié)構(gòu)的中性平衡狀態(tài)（小的偏移下）。</p><p>　　(3)臨界力T E ——滿足結(jié)構(gòu)中性平衡狀態(tài)的最小荷重；即壓桿失穩(wěn)時相應(yīng)的壓力（中性平衡狀態(tài)時的壓力彈性范圍內(nèi)又叫歐拉力） ；能保持壓桿在微小彎曲狀態(tài)下

49、的最小軸向壓力</p><p>　　T>T E時，結(jié)構(gòu)將失穩(wěn)。若結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時結(jié)構(gòu)的材料仍處于彈性范圍內(nèi)，則此時的T E 又叫歐拉力。</p><p>　　對于壓桿而言：臨界應(yīng)力（歐拉力）： </p><p><b>　　比較:</b></p><p>　　彎曲問題： ，已知： 屈服極限，求?并與?比較</p&g

50、t;<p>　　穩(wěn)定性問題: ， 已知：實(shí)際工作應(yīng)力，求并與比較</p><p>　　注：臨界荷重取決于結(jié)構(gòu)的尺寸、材料和結(jié)構(gòu)形式，是結(jié)構(gòu)的一個固有值。（正如屈服極限是材料的固有值一樣）</p><p>　　臨界荷重與結(jié)構(gòu)的實(shí)際的工作荷重相比，就可以判斷結(jié)構(gòu)是否失穩(wěn)。</p><p>　　2.2.2單跨壓桿的穩(wěn)定性</p><p&g

51、t;<b>　　一、解析法</b></p><p>　　1、 中性平衡微分方程及其解</p><p>　　由復(fù)雜彎曲公式，無荷重，某種干擾（小的偏移下）結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)。</p><p>　　壓桿中性平衡微分方程式：</p><p><b>　　(2.9)</b></p><p&

52、gt;　　這是一個常系數(shù)其次線性微分方程，其對應(yīng)的特征方程為：</p><p><b>　　(2.10)</b></p><p>　　? (2.11)</p><p><b>　　其通解為：</b></p><p><b>　　(2.12)</

53、b></p><p><b>　　式中：</b></p><p>　　C0 ，C1，C2 ，C3 ——為積分常數(shù)，有邊界條件來定。</p><p>　　上述公式代表了壓桿中性平衡的彎曲狀態(tài)，其中的k（即T）代表了中性平衡時的壓力，即桿件的臨界力，對具體問題，利用上述公式及邊界條件即可求出桿件的臨界應(yīng)力。</p><p&

54、gt;　　考慮兩端自由支持單跨壓桿：</p><p>　　左端邊界條件： v(0)=v’’(0)=0 ? (2.13)</p><p>　　右端邊界條件： v(l )=v’’(l )=0 得：v(l )=0 ? (2.14)</p><p>　　v’’(l )=0 ?

55、(2.15)</p><p>　　欲使 C1， C3 不同時為零，（∵小偏移平衡狀態(tài)）則： =0</p><p>　　即：或——穩(wěn)定性方程</p><p>　　? ，n =1,2,3……代入公式，得 (2.16)</p><p><b>　　(2.17)</b></p><p>　　這就是兩端自由

56、支持的等斷面單跨壓桿的臨界力公式。由于上式結(jié)果由Euler 導(dǎo)得，所以臨界力又叫歐拉力（將歐拉力理解為壓桿在彈性范圍內(nèi)時穩(wěn)的臨界力）。</p><p>　　將代入公式得：，則可得： (2.18)</p><p>　　式中：為不定值（中性平衡，可以有任意很小的撓度）</p><p>　　——表示兩端自由支持壓桿的失穩(wěn)波形，為一個正弦波&l

57、t;/p><p>　　說明：（1）、求是求特征值問題（或固有值問題，取決于結(jié)構(gòu)的尺寸b，h，l ，支座和材料，是結(jié)構(gòu)本身固有的）力學(xué)上穩(wěn)定性問題，就是求于T 相比，判斷是否失穩(wěn)。稱特征值，v(x)稱特征函數(shù)。</p><p>　　數(shù)學(xué)上：確定T 即k 取何值時，方程才有滿足條件的非零解。</p><p>　　齊次方程只有T 取n個確定的離散值方程才有非零解。這樣的常微分

58、方程的問題成為特征值。</p><p><b>　　比較</b></p><p>　　彎曲問題：v中有4 個未知數(shù)C0，C1，C2 ，C3 （q，T 已知），有4個邊界條件來定</p><p>　　穩(wěn)定性問題：v中有5 個未知數(shù)C0，C1，C2 ，C3 ，T(q=0)（q，T 已知），有4個邊界條件及v(x)≠0來定（即C0，C1，C2 ，C3

59、，C4不全為零）。</p><p><b>　　B、懸臂梁壓桿</b></p><p><b>　　∵M(jìn)=0，N=0</b></p><p>　　由梁的右邊邊界條件得:</p><p>　　? (2.19)</p><p>　　?

60、 (2.20)</p><p>　　∵ ，v0不能同時為零 ?=0</p><p>　　∴ ? (2.21)</p><p>　　C、其他邊界條件下的 (2.22)</p><p>

61、　　式中：μ l ——相當(dāng)長度，（失穩(wěn)時桿件變形曲線的反曲點(diǎn)（彎矩為0 點(diǎn)）間的長度）。</p><p><b>　　表1 壓桿形式表</b></p><p>　　? ， ? 細(xì)長，細(xì)長桿 <短粗桿的 ，高強(qiáng)度剛能改善強(qiáng)度，但不能改善穩(wěn)定性。固定情況差? 固定情況越好越穩(wěn)定， 越大。</p><p>　　固定情況：完全自由<

62、; 彈性支座< 彈性固定端< 剛性固定端（固定情況不確定時取桿端自由支持偏于安全）</p><p><b>　　二、能量法</b></p><p>　　對于難用解析法（微分方程求解）計算的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題，例如，變斷面桿、壓力沿桿長變化的桿等可用能量法求解。穩(wěn)定性問題研究中性平衡狀態(tài)，能量無極值，一階變分全為0( )， 二階變分亦為0（），不是確定常數(shù)，而是

63、求撓度不為零時的臨界力。</p><p>　　壓桿的中性平衡條件同樣可以用虛位移原理來描述。設(shè)桿件在中性平衡時有小偏移（撓度v(x)），現(xiàn)在再給以虛位移v(x)，如v(x)時平衡狀態(tài)，則有：V= W</p><p>　　位能駐值原理： (2.23)</p><p>　　滿足此方

64、程式的最小壓力值即為壓桿的歐拉力。</p><p>　　在小的偏移過程中，桿的彎曲應(yīng)變能：</p><p><b>　　(2.24)</b></p><p>　　力函數(shù)： (2.25)</p><p><b>　　(2.2

65、6)</b></p><p><b>　　(2.27)</b></p><p><b>　　李茲法解題步驟：</b></p><p>　　(1)、設(shè)撓曲線函數(shù)： 式中：為滿足位移邊界條件的形狀函數(shù)。</p><p><b>　　(2)、計算V、U</b></p

66、><p><b>　　(3)、 </b></p><p><b>　　(4)、由 ?</b></p><p><b>　　三、非彈性穩(wěn)定性</b></p><p>　　低碳鋼簡單拉伸試驗(yàn)應(yīng)力——應(yīng)變曲線A 點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力 為比例極限，OA 段為直線； B 點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力 為彈性極限，

67、標(biāo)志著彈性變形階段終止及塑性變形階段的開始，亦稱屈服極限。BC段為塑性平臺</p><p>　　圖2-3 拉伸試驗(yàn)應(yīng)力圖</p><p>　　圖2-4 失穩(wěn)模式圖</p><p>　　上述分析表明：用歐拉公式（適用彈性范圍）將導(dǎo)致危險或錯誤的結(jié)果，要尋求超過彈性范圍內(nèi)壓桿失穩(wěn)的力，叫臨界力 ， 。以區(qū)別彈性范圍內(nèi)失穩(wěn)的歐拉力 ， 。</p><

68、p>　　柱子曲線（臨界壓應(yīng)力曲線——失穩(wěn)時壓應(yīng)力與桿的尺度之間的關(guān)系曲線）</p><p>　　先判斷一下，什么尺寸的壓桿在喪失穩(wěn)定性時，材料超過彈性范圍</p><p>　　由(2.9)的簡支壓桿： (2.28)</p><p>　　式中： ——桿的

69、柔度（細(xì)長比） (2.29)</p><p>　　——桿斷面的慣性半徑 (2.30)</p><p>　　對普通鋼：屈服應(yīng)力 比例極限 </p><p>　　代入（2.28）式：</p><p>　?。ū砻?歐拉公式適用）</p><p>　

70、　、 公式，雙曲線</p><p>　　、 二次拋物曲線Engessor</p><p>　　圖2-5 失穩(wěn)曲線圖</p><p>　　2、切線模數(shù)理論（Engessor）</p><p><b>　?。?）、基本思想：</b></p><p>　　圖2-6 切線模數(shù)圖</p&

71、gt;<p>　　彈性范圍內(nèi)（BC段）： (2.31)</p><p>　　非彈性范圍內(nèi)（AB段）：——變量， ——切線模數(shù)</p><p>　　臨界應(yīng)力： (2.32)</p><p>　　求 需要材料壓縮的σ

72、~ε 曲線，假設(shè)不同的σ，由σ ~ε曲線找出相應(yīng)的 ，代入(2.32)式，求出一系列的λ，即可畫出柱子曲線，以供使用（已知λ即可查求 或 ）。這樣方法的缺點(diǎn)是需要材料的σ ~ ε曲線，若無σ ~ε曲線可用二次拋物線來逼近AB段。</p><p>　?。?）、假設(shè)AB 段的方程： </p><p><b>　　(2.33)</b></p><p&g

73、t;　　(或 ) (2.33a)</p><p>　　所得的二次拋物線，即公式（2.33）（2.33a）做成了柱子曲線，當(dāng)沒有σ ~ε 曲線時，可用來計算壓桿的臨界應(yīng)力（要知道 ）</p><p>　　引進(jìn)修正系數(shù)： </p><p>　　代入（2.25a）可解得：

74、 (2.34)</p><p><b>　　()</b></p><p><b>　　( ) 則</b></p><p><b>　　( )</b></p><p>　?。?）、實(shí)用上 代入（2.33）（2.33a）（2.34）</p&

75、gt;<p>　　臨界應(yīng)力： (2.35)</p><p>　　或 (2.36)</p><p><b>　　已知： 求 </b></p><p>　　修正系數(shù)：

76、 (2.37)</p><p>　　2.2.3甲板板架的穩(wěn)定性</p><p>　　在穩(wěn)定性問題中，所謂的板架通常是指在甲板縱骨與橫梁組成的縱骨架式船的甲板板架。這種板架在船體總彎曲的壓應(yīng)力作用下，有可能整體喪失穩(wěn)定性。這種整體失穩(wěn)是不允許的。實(shí)際船體中板架的結(jié)構(gòu)形式可能有許多種，我們現(xiàn)在只限于討論一種最簡單的情況:即這種板架的縱骨相同并且是等間距

77、的，縱骨兩端自由支持;板架的橫梁亦是等間距的和相同的。</p><p>　　甲板板架的穩(wěn)定性問題和前述的在中間彈性支座上連續(xù)壓桿的穩(wěn)定性問題有密切的聯(lián)系。當(dāng)只有1根縱骨時，顯然這種情況下橫梁可以直接轉(zhuǎn)化為縱骨的彈性支座，這時板架的穩(wěn)定性問題就化成了在彈性支座上連續(xù)壓桿的穩(wěn)定性問題。</p><p>　　圖2-7 板架的彈性支座簡化</p><p>　　而一般所選取的

78、板架結(jié)構(gòu)，縱骨都不止1根?，F(xiàn)在來給出有3根縱骨的甲板板架，其他形式的縱骨和橫梁可以用同樣的方法來處理。對于這種板架，根據(jù)物理意義來判斷，可知橫梁對縱骨的影響仍相當(dāng)于中間支座，問題是彈性支座的剛性系數(shù)不容易求得。</p><p>　　板架實(shí)際上所有的縱骨所受的壓力都相同(此壓力即為船體總彎曲時之壓力)，在這種壓力作用下，甲板板架失穩(wěn)時，實(shí)踐和理論都證明板架中所有縱骨的彎曲形狀都相同。這樣，如果我們將板架的縱骨與橫梁

79、在相交點(diǎn)分開并加上相互作用的節(jié)點(diǎn)力，縱骨將具有如圖2-8的情形。</p><p><b>　　圖2-8節(jié)點(diǎn)力轉(zhuǎn)化</b></p><p>　　現(xiàn)給出第1根縱骨任意一點(diǎn)的撓度：</p><p><b>　　(2.38)</b></p><p>　　式中、、—第一根縱骨上的節(jié)點(diǎn)反力，、、—影響系數(shù)。&l

80、t;/p><p>　　同理可寫出第2根縱骨與第3根縱骨任一點(diǎn)的撓度為：</p><p><b>　　(2.39)</b></p><p>　　以上諸式中的影響系數(shù)與縱骨所受的壓力有關(guān)，但因各根縱骨所受的壓力相同，故這些系數(shù)不隨縱骨的號碼而變化。</p><p>　　因?yàn)椋海?1：：(2.40)</p><

81、;p>　　式中戲、為比例常數(shù)，所以由前面三式有</p><p>　?。海?1：： (2.41)</p><p><b>　?。海?1：：</b></p><p><b>　?。海?1：：</b></p><p>　　這表明板架上每一根橫梁上各節(jié)點(diǎn)力之間

82、成比例。</p><p>　　因此，可以利用這個結(jié)論來計算橫梁作為縱骨彈性支承的剛性系數(shù)。為此，考慮板架中任一根橫梁，如圖2-9所示。梁上受到縱骨作用的三個節(jié)點(diǎn)力：、、。對于圖示的情況，由于對稱條件，有=，并設(shè)=。</p><p>　　圖2-9 單跨梁的撓度</p><p>　　假定橫梁兩端是自由支持的，由兩端自由支持單跨梁的彎曲要素表，可以得</p>

83、<p>　　出橫梁與縱骨相交節(jié)點(diǎn)處的撓度式子如下：</p><p><b>　　(2.42a)</b></p><p><b>　　(2.42b)</b></p><p>　　式中B—橫梁的長度；</p><p>　　I—橫梁的斷面慣性矩。</p><p>　　根

84、據(jù)彈性支座的概念，剛性系數(shù)應(yīng)為橫梁節(jié)點(diǎn)力與相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)撓度之比，即：</p><p>　　， (2.43)</p><p>　　由于=時，=，所以由上式可知K，與K2必然相等，即K，=K2=K，這說明板架中橫梁作為縱骨彈性支座的剛性系數(shù)全部相同。將以上關(guān)系代入式(2.42)得</p><p><b>　　(2.44a)

85、</b></p><p><b>　　(2.44b)</b></p><p>　　從聯(lián)立方程式(2.44)中消去，即得到一個只包含的方程式如下：</p><p>　　解之，取K的一個小的根，得 </p><p><b>　　(2.45)</b></p><p>　

86、　式中，此處b為縱骨的間距，可將上式改寫為：</p><p><b>　　(2.46)</b></p><p>　　到此，就求出了縱骨的中間彈性支座的剛度系數(shù)。并且由以上的分析可見，對于每一根縱骨，其所有的彈性支座剛性系數(shù)都相同:對于不同的縱骨，其彈性支座的剛性系數(shù)也都相同。</p><p>　　對于縱骨數(shù)目不是三的其他情形，用上面同樣的方法可

87、以求出縱骨的彈性支座的剛性系數(shù)。并且可以看出，不論縱骨數(shù)目有多少，只要縱骨是等間距的，并且橫梁兩端是自由支持的，則所得的彈性支座的剛性系數(shù)均可表示為</p><p><b>　　(2.47)</b></p><p>　　式中b為縱骨的間距。</p><p>　　甲板板架的穩(wěn)定性問題就成了彈性支座上連續(xù)壓桿的穩(wěn)定性問題。</p>&

88、lt;p>　　2.2.1板的整體屈曲模式</p><p>　　如果板的筋相對較弱，筋就會和板一起在彈性范圍內(nèi)發(fā)生彎曲屈曲，也就是整體屈曲(破壞模式Ⅳ)。當(dāng)板加強(qiáng)筋多而密時，加筋板就可以看作是一個正交異性板。此時可采用正交異性板的大變形理論來計算板的應(yīng)力分布。</p><p>　　在計算極限強(qiáng)度時，考慮，，和四種載荷，也就是說，正交異性板考慮了焊縫引起的初始缺陷，但殘余應(yīng)力的影響可以忽

89、略不計。初始變形考慮在計算中，而焊接殘余應(yīng)力予以忽略。因?yàn)榇藭r加筋板主要承受面內(nèi)壓力，焊接殘余壓應(yīng)力雖然會減少抗壓能力，但是焊接殘余拉應(yīng)力卻有助于抵抗壓力。反之亦然。因此，焊接殘余應(yīng)力不計在其中。忽略面內(nèi)彎矩的影響，這是因?yàn)?，面?nèi)彎矩雖然使得結(jié)構(gòu)的一些部分受壓但同時又使其他地方受拉，而此拉應(yīng)力的存在又極大的提高了結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，因此，利弊各一半，相互抵消，所以，可以忽略不計。</p><p>　　1縱向面內(nèi)載荷和側(cè)

90、向壓載</p><p>　　受面內(nèi)載荷和側(cè)向壓載的模型的極限強(qiáng)度公式，早在1995年P(guān)aik&Pedersen就提出來了。此時加筋板中的應(yīng)力分布如圖(2-4)所示。破壞模式Ⅳ的縱向極限強(qiáng)度值，這時板主要受到縱向面內(nèi)載荷(==0)，側(cè)向壓載是次要載荷。在目前的研究方法中，我們認(rèn)為如果板的邊緣屈服，則正交異性板己經(jīng)破壞。板的邊緣屈服利用von Mises方程校核，該法主要用來求薄壁應(yīng)力。這里主要利用大變形正交

91、異性板理論的非線性控制微分方程。</p><p>　　圖2-10 板的縱向邊中部在和組合載荷下出現(xiàn)塑性（C：壓力，T：拉力）</p><p>　　隨著板的偏轉(zhuǎn)位移的增加，在板單元上下邊長中部由于撓度的作用將出現(xiàn)初始屈服。但是，只要沿著板的直線邊緣的載荷在薄壁應(yīng)力作用下重新分配，板將不會破壞。當(dāng)大多數(shù)壓力邊屈服時，板就已經(jīng)破壞，因?yàn)榘暹叢荒茉俦３种本€，導(dǎo)致板的側(cè)向撓度快速增加，而出現(xiàn)塑性點(diǎn)

92、。因此在Paik的極限強(qiáng)度公式中假設(shè)當(dāng)板邊出現(xiàn)塑性板就己經(jīng)破壞。</p><p>　　在圖2-7中縱向板邊中部屈服，板己經(jīng)破壞。此時，極限強(qiáng)度值可以用以下</p><p><b>　　公式表示：</b></p><p><b>　　(2.48)</b></p><p>　　此方程關(guān)于的解就是正交異性

93、板受縱向面內(nèi)載荷的極限強(qiáng)度值。</p><p>　　2橫向面內(nèi)載荷和側(cè)向壓載</p><p>　　當(dāng)板主要受到橫向面內(nèi)載荷(==0)，側(cè)向壓載是次要載荷時，加筋板的應(yīng)力分布圖如圖2-11所示。</p><p>　　圖2-11 板的橫向邊中部在和組合載荷下出現(xiàn)塑性（C：壓力，T：拉力）</p><p>　　與受縱向面內(nèi)載荷和側(cè)向壓載相同的方法

94、大變形正交異性板理論的非線性控制方程求得。最早屈服的是橫向板邊的中部，受到橫向面內(nèi)載荷和側(cè)向壓載的船體板架極限強(qiáng)度用以下公式表示：</p><p><b>　　(2.49)</b></p><p>　　此方程關(guān)于的解就是正交異性板受縱向面內(nèi)載荷的極限強(qiáng)度值。</p><p><b>　　3剪應(yīng)力</b></p>

95、<p>　　基于一系列不同幾何形狀的簡支板的非線性有限元法計算，Paik et al(2000)得出了近似計算船體加筋板極限剪應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式</p><p><b>　　(2-50)</b></p><p>　　式中，為加強(qiáng)筋間板格在長寬比等于1時的彈性屈服剪應(yīng)力，是板的屈服剪應(yīng)力，其中</p><p><b>　　(2

96、.51)</b></p><p>　　在以上的處理方法中，加筋板的剪應(yīng)力極限值近似的看作加強(qiáng)筋間板格的剪應(yīng)力值。由于相鄰加強(qiáng)筋導(dǎo)致的對角線拉力的拉力區(qū)域引起的任何預(yù)應(yīng)力都不計。在此方法中設(shè)計船體加筋板時假設(shè)加強(qiáng)筋在剪應(yīng)力導(dǎo)致屈服前一直保持直線。</p><p><b>　　4剪應(yīng)力和側(cè)向壓載</b></p><p>　　加筋板在剪應(yīng)

97、力和側(cè)向壓載的作用下，同樣假設(shè)加強(qiáng)筋屈服前一直保持直線，此時在組合載荷相互作用下極限值可以用以下公式表示：</p><p><b>　　(2.52)</b></p><p>　　式中，是(2.40)中的剪應(yīng)力單獨(dú)作用時的極限值，是側(cè)向壓載單獨(dú)作用時的極限值。如圖2-6所示，是Paik(2000)等通過SPINE理論方法得出的關(guān)于正方形正交異性板受到剪應(yīng)力和側(cè)向壓載時極

98、限應(yīng)力的相互關(guān)系。式(2.42)是普遍性公式，但沒有考慮板的長寬比，因?yàn)榘宓臉O限剪應(yīng)力公式是基于正方形板而得的。顯然，加筋板的極限強(qiáng)度近似等于板單元的極限強(qiáng)度。</p><p>　　圖2-12 簡支正方形正交異性板在剪切力和側(cè)向壓載作用下極限值的相互關(guān)系</p><p>　　5面內(nèi)載荷、剪應(yīng)力和側(cè)向壓載的組合載荷</p><p>　　基于Paik(1999)的數(shù)字

99、結(jié)果研究，Paik提出以下等式用來計算在面內(nèi)載荷、剪應(yīng)力和側(cè)向壓載的加筋板的極限強(qiáng)度。</p><p><b>　　(2.53)</b></p><p>　　式中，，是分別通過式(2.38)和式(2.40)求出的。如果，是都是壓力，則。如果，其中有一個或兩者都是拉力，則。</p><p>　　3 板的中性平衡方程式及其解</p>

100、<p>　　一塊受到中面力或剪力的平板，如果這些力的數(shù)值達(dá)到一定的程度，平板將不能維持其原來的平面狀態(tài)而將發(fā)生彎曲變形，叫做平板失穩(wěn)。</p><p>　　船體結(jié)構(gòu)中的板由縱橫骨架劃分為許多矩形板格，當(dāng)船在總縱彎曲時，甲板或船底板可能受壓，舷側(cè)板主要受剪力，所以都由可能喪失穩(wěn)定性。</p><p>　　兩個比較：與板的彎曲相比較；與桿的穩(wěn)定性相比較。</p><

101、;p>　?。?）、彎曲——板的四周剛性固定（對稱結(jié)構(gòu)，對稱載荷）</p><p>　　穩(wěn)定性——板的四周自由支持（忽略骨架的船寬方向的抗扭剛度的影響）</p><p>　　（2）、骨架：考慮非彈性穩(wěn)定性 → </p><p>　　板：不考慮非彈性穩(wěn)定性問題，通常為 </p><p>　?。?）、骨架失穩(wěn)后，承受能力喪失；</p&g

102、t;<p>　　板失穩(wěn)后，尚能工作，能力有所降低，因此確定平板失穩(wěn)時的臨界力及研究平板失穩(wěn)后的工作情況，對船體強(qiáng)度分析具有相當(dāng)重要的意義。</p><p>　　3.1 矩形板的中性平衡微分方程式</p><p>　　研究板的穩(wěn)定性與桿的穩(wěn)定性一樣，首先考慮板的中性平衡狀態(tài)，即板受中面壓力或剪力作用并獲得小的偏移時的平衡狀態(tài)。板在中性平衡狀態(tài)時對應(yīng)的外力就是板的中面力。<

103、/p><p>　　板的中性平衡狀態(tài)可以用微分方程來描述，與桿的情形相仿，板的中性平衡微分方程在復(fù)雜彎曲（既有橫向載荷又有中面力作用）時的彎曲微分方程導(dǎo)得，為此先得出矩形板的復(fù)雜彎曲微分方程式。</p><p>　　可以導(dǎo)出在沒有中面力時剛性板的彎曲微分方程式:</p><p>　　現(xiàn)在考慮中面力，設(shè)板因中面力在板內(nèi)產(chǎn)生有中面應(yīng)力σx ，σy 及τxy，由于研究的是穩(wěn)定性

104、問題，故中面應(yīng)力σx與σy均假定為壓應(yīng)力，這時板的斷面中除了彎矩Mx，My，扭矩Mxy，垂向剪力Nx，Ny，之外還有中面壓力與剪力。設(shè)板在x和y方向單位寬度的中面壓力為Tx，Ty，單位寬度的中面剪力為Txy，它們分別為σx，σy及τxy在板斷面上的合力，如圖3-1所示。</p><p>　　圖3-1 中面應(yīng)力圖</p><p>　　由微塊的平衡條件可知這些中面力滿足以下的關(guān)系：</p

105、><p><b>　　(3.1)</b></p><p>　　∵要建立計及上述中面力的微塊靜力平衡方程式，為此需考慮徵塊在變形后的位置，在圖3-1(b)中畫出了微塊變形后的中面及其受力情況. </p><p>　　現(xiàn)保留彎矩Mx，My，扭矩Mxy及垂向剪力Nx，Ny，間的靜力平衡關(guān)系，僅考慮中面力Tx，Ty， Txy在平衡方程式中產(chǎn)生的項，然后把這

106、些項加到板的彎曲公式中，就可以得到最后的結(jié)果。</p><p>　　事實(shí)上Tx，Ty的存在，對x軸及y軸形成了力矩，參看圖3-2，有Tx對y軸形成的力矩為:</p><p><b>　　(3.2)</b></p><p>　　此力矩矢量朝向y軸的負(fù)向，故式中有負(fù)號。</p><p>　　此外有Ty對x軸形成的力矩為:

107、 （3.3）此力矩矢量朝向x軸的正向。</p><p>　　圖3-2 力矩矢量圖</p><p>　　Txy的存在相當(dāng)于板上增加有附加橫荷重，參看圖3-3， Txy在z方向的分力為: </p><p>　　圖3-3 附加橫荷重圖</p><p><b>　　略去高階微量后得:</b></p><

108、;p>　　同理可得Tyx在z方向的分力為: </p><p>　　將以上兩式所表示的力相加，得:</p><p><b>　　(3.4)</b></p><p>　　現(xiàn)先將(3.2)和(3.3)式中的力矩除以dxdy后分別加到板的彎曲方程中，即得:</p><p>　　將上兩式代入 ，將(3.4)式除以dxdy后

109、與該式等號右邊的q合并，并計及關(guān)系式(3.1)，最后可得:</p><p><b>　　(3.5)</b></p><p>　　將M 用w來表示得板的復(fù)雜彎曲方程式：</p><p><b>　　(3.6)</b></p><p>　　當(dāng)q=0時，即得板在中面力Tx，Ty， Txy作用下的中性平衡方

110、程式如下：</p><p><b>　　(3.7)</b></p><p>　　3.2四邊自由支持單向受壓板的解</p><p>　　大多數(shù)的船體板可認(rèn)為在一個方向受壓，四周自由支持在剛性周界上矩形板 ，因?yàn)榇w板僅受船總彎曲時沿船長方向的壓力，并且四周可認(rèn)為自由支持在骨架上。 </p><p>　　我們討論這種情況下的

111、矩形板的解(見圖3-4): </p><p>　　由于板在x=0及x=b的邊上受到均布的壓應(yīng)力σx，因此有Tx=σxt，此處t為板厚.將此Tx及Ty=Txy=0代入方程式(3.7)，得:</p><p>　　圖3-4 矩形板應(yīng)力圖</p><p><b>　　(3.8)</b></p><p>　　相應(yīng)的邊界條件為: &

112、lt;/p><p><b>　　(3.9)</b></p><p>　　滿足邊界條件的方程式(3.8)的解可用下面的雙三角級數(shù)表示</p><p>　　將此解代入(3.8)式中，得:</p><p><b>　　(3.10)</b></p><p>　　由于在荷重有Tx=σxt作

113、用下，上式中任一大括號內(nèi)的式子為零時，所論的板都可能失去穩(wěn)定性，所以板失穩(wěn)時的力可由 中求到，此式給出： </p><p><b>　　或 (3.11)</b></p><p>　　為了求得板的臨界應(yīng)力，必須選擇m與n使得式(3.11)中括號內(nèi)的值為最小.由于當(dāng)n增大時σx亦隨著增大

114、.故必須取n=1，這表示板在失穩(wěn)時在y方向形成一個半波形，這樣</p><p><b>　?。?.12）</b></p><p>　　為了求得σx的最小值，相應(yīng)于不同的邊長比a/b，假定m=1，2，3，…即可畫出σx 的曲線(見圖3-5)，此曲線的最低部分(即圖中的實(shí)線部分)即為所需的臨界應(yīng)力。</p><p><b>　　圖3-5

115、k值圖</b></p><p>　　圖中縱坐標(biāo)k值為： </p><p>　　從而臨界應(yīng)力為： (3.13)</p><p><b>　　由圖3-5可知: </b></p><p>　　1)當(dāng)a/b＞1時，k≈4

116、，所以實(shí)用上可取: </p><p><b>　　(3.14)</b></p><p>　　2)當(dāng)a/b＜1時，m=1，k(b/a+a/b)2，所以</p><p><b>　　(3.15)</b></p><p>　　3)如a/b＜＜1，或b＞＞a，則在上式中可略去括號內(nèi)的a2/b2，于是&

117、lt;/p><p><b>　　(3.16)</b></p><p>　　這就是在x方向受壓的板條梁的歐拉應(yīng)力，這說明板在失穩(wěn)時將按筒形面發(fā)生彎曲。</p><p>　　在船舶結(jié)構(gòu)計算中，公式(3.14)與(3.16)可用來分別計算縱骨架式板及橫骨架式板的臨界應(yīng)力。</p><p>　　將彎曲剛度D中的E=2.1×

118、105N/mm2及μ=0.3代入，即得通常的計算公式如下：</p><p>　　<1> 縱骨架式船體板（圖3-6a）</p><p><b>　　(3.17)</b></p><p>　　<2> 橫骨架式船體板(圖3-6b)</p><p><b>　　(3.18)</b>&

119、lt;/p><p>　　圖3-6 橫骨、縱骨船體板</p><p>　　由此可見縱骨架式船體板與橫骨架式船體板相比，如果骨架的間距相同，則前者的臨界應(yīng)力約為后者的四倍，這就說明縱骨架式板在穩(wěn)定性方面比橫骨架式板有明顯的優(yōu)越性。 </p><p>　　3.3三邊自由支持，一邊完全自由單向受壓板的解</p><p>　　現(xiàn)研究三邊自由支持在剛性支座上