畢業(yè)論文對(duì)易關(guān)系的物理意義

1、<p>　　2010屆本科畢業(yè)論文</p><p>　　題目：對(duì)易關(guān)系的物理意義</p><p>　　學(xué) 院：物理與電子工程學(xué)院</p><p>　　專業(yè)班級(jí)： 物理實(shí)驗(yàn)班</p><p><b>　　學(xué)生姓名：</b></p><p>　　指導(dǎo)教師： 教

2、授</p><p>　　答辯日期：2010年5月15日</p><p>　　新疆師范大學(xué)教務(wù)處 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p>　　2表示力學(xué)量的算符1</p><p>

3、;　　2.1算符的概念1</p><p>　　2.2 幾種算符1</p><p>　　3對(duì)易關(guān)系的一般概念2</p><p>　　4幾種對(duì)易關(guān)系式3</p><p>　　4.1坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系3</p><p>　　4.2動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系4</p><p>　　4.3角

4、動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系4</p><p>　　4.4角動(dòng)量算符和動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系4</p><p>　　4.5角動(dòng)量算符和坐標(biāo)算符的對(duì)易關(guān)系5</p><p>　　4.6角動(dòng)量算符和角動(dòng)量平方算符的對(duì)易關(guān)系5</p><p>　　5 對(duì)易關(guān)系的物理意義5</p><p><b>　　6測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系5&

5、lt;/b></p><p>　　6.1 坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系6</p><p>　　6.2 角動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系7</p><p>　　6.3力學(xué)量完全集合7</p><p><b>　　7 結(jié)論7</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：9</b>&

6、lt;/p><p><b>　　對(duì)易關(guān)系的物理意義</b></p><p>　　摘要：本文由量子力學(xué)中的一些力學(xué)量的對(duì)易關(guān)系來描述對(duì)易關(guān)系對(duì)量子力學(xué)的重要意義，分別討論對(duì)易和不對(duì)易的情況來解釋是否有確定值的問題。</p><p>　　關(guān)鍵詞：算符； 對(duì)易關(guān)系；測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系</p><p><b>　　1 引言<

7、/b></p><p>　　1927年海森伯提出的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系就是與人類的認(rèn)識(shí)能力和其自身的地位有關(guān)的一條重要定律。測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的發(fā)現(xiàn)可以稱之為認(rèn)識(shí)論上的哥白尼革命 。 海森伯認(rèn)為他提出的不確定原理是根本的,推翻它就不會(huì)有量子力學(xué)，不久就被證明可以從量子力學(xué)的基本原理及其相應(yīng)的數(shù)學(xué)形式中把它推導(dǎo)出來。根據(jù)這個(gè)原理，微觀客體的任何一對(duì)互為共軛的物理量，如坐標(biāo)和動(dòng)量，都不可能同時(shí)具有確定值，即不可能對(duì)它們的測(cè)量結(jié)

8、果同時(shí)作出準(zhǔn)確預(yù)言。測(cè)不準(zhǔn)原理突破了經(jīng)典物理學(xué)關(guān)于所有物理量原則上可以同時(shí)確定的觀念。量子物理學(xué)的歷史證明，它是歷史上最成功并為實(shí)驗(yàn)真確檢驗(yàn)了的一個(gè)理論。</p><p>　　我們知道，力學(xué)量用厄密算符表示是從經(jīng)典力學(xué)到量子力學(xué)所引進(jìn)的一個(gè)基本假設(shè)之一。如何保證使經(jīng)典力學(xué)中的力學(xué)量成為量子力學(xué)中的厄密算符以及滿足相應(yīng)的對(duì)易關(guān)系．通常我們就是直接利用對(duì)應(yīng)原理由經(jīng)典力學(xué)中力學(xué)量的表達(dá)式得到與其對(duì)應(yīng)的量子力學(xué)中的算符。

9、本論文主要討論量子力學(xué)中的任意兩個(gè)算符對(duì)易的情況和不對(duì)易的情況，也就是說力學(xué)量在某一狀態(tài)中究竟有確定值還是沒有確定值，它是量子力學(xué)中比較典型的兩個(gè)問題。</p><p><b>　　2表示力學(xué)量的算符</b></p><p>　　由于微觀粒子具有波粒二象性，微觀粒子狀態(tài)的描述方式和經(jīng)典粒子不同，它需要波函數(shù)來描寫。量子力學(xué)中微觀粒子力學(xué)量（如坐標(biāo)，動(dòng)量，角動(dòng)量，能量等

10、）的性質(zhì)也不同于經(jīng)典粒子的力學(xué)量。經(jīng)典粒子在任何狀態(tài)下它的力學(xué)量都有確定值。這種區(qū)別的存在，使得我們不得不用和經(jīng)典力學(xué)不同的方式，即算符來表示微觀粒子力學(xué)量。</p><p><b>　　2.1算符的概念</b></p><p>　　量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)相比有兩個(gè)顯著的區(qū)別：一個(gè)是專門引入波函數(shù)描述體系的狀態(tài)，另一個(gè)是用算符表示力學(xué)量。</p><p

11、>　　算符是指作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)。 </p><p><b>　　(2.1.1) </b></p><p>　　表示F把函數(shù)u變成 v，F(xiàn)就是這種變換的算符。</p><p><b>　　2.2 幾種算符</b></p><p>　　動(dòng)量的算符：

12、 (2.2.1)</p><p>　　動(dòng)量平方的算符: (2.2.2)</p><p>　　動(dòng)能的算符: (2.2.3)</p><p>　　坐標(biāo)的算符:

13、 (2.2.4)</p><p>　　勢(shì)能的算符: (2.2.5)</p><p>　　能量的算符: (2.2.6) </p><p>　　角動(dòng)量算：

14、 (2.2.7) </p><p>　　3對(duì)易關(guān)系的一般概念</p><p>　　設(shè)有兩個(gè)算符和，如果把這兩個(gè)算符作用于同一個(gè)波函數(shù)，則所得結(jié)果決定于這兩個(gè)算符作用的順序。即任一個(gè)波函數(shù)，</p><p>　　一般 </p><p>　　如果 ，那么算符和是對(duì)易的， </p><

15、p><b>　　算符和是不對(duì)易的</b></p><p><b>　　把上式可以寫成</b></p><p>　　(3.1) 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　

16、 (3.2)</p><p><b>　　……</b></p><p><b>　　4幾種對(duì)易關(guān)系式</b></p><p>　　4.1坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系</p><p>　　如果把坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符作用于同一個(gè)波函數(shù) </p><p>　　

17、即對(duì)于任一波函數(shù) ，有 </p><p>　　這兩個(gè)結(jié)果并不相同，且 </p><p>　　由于是任意的波函，把上式可以寫成為</p><p><b>　　(4.1.1)</b></p><p>　　(4.1.1)式成為和的對(duì)易關(guān)系式</p><p><b>　　同理

18、可以得到</b></p><p><b>　　(4.1.2)</b></p><p><b>　　(4.1.3)</b></p><p>　　所以得出 (4.1.4)</p><p>　　同理可以得到 </p><p>　　4.2動(dòng)量

19、算符的對(duì)易關(guān)系</p><p><b>　　(4.2.1) </b></p><p>　　同理可得； (4.2.2) </p><p><b>　　(4.2.3) </b></p><p>　　4.3角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系</p><p><b>

20、　　(4.3.1) </b></p><p>　　同理可得： 4.3.2) </p><p>　　可以推出 </p><p>　　4.4角動(dòng)量算符和動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系</p><p><b>　　(4.4.1) </b></p><p

21、>　　來討論角動(dòng)量算符和動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系</p><p><b>　　同理可得</b></p><p><b>　　(4.4.2) </b></p><p>　　4.5角動(dòng)量算符和坐標(biāo)算符的對(duì)易關(guān)系</p><p><b>　　（4.5.1）</b></p>

22、<p><b>　　（4.5.2）</b></p><p>　　4.6角動(dòng)量算符和角動(dòng)量平方算符的對(duì)易關(guān)系</p><p><b>　　(4.6.1)</b></p><p><b>　?。?.6.2）</b></p><p>　　5 對(duì)易關(guān)系的物理意義</

23、p><p>　　若兩個(gè)力學(xué)量算符有一組共同完備的本征函數(shù)系，則這兩個(gè)算符是對(duì)易的。</p><p><b>　　設(shè) </b></p><p>　　和依次是和的本征值，由于 組成完備系，所以任意</p><p>　　態(tài)函數(shù) (x) 可以按展開： </p><p><b>　　則 &l

24、t;/b></p><p>　　因?yàn)?(x) 是任意函數(shù)</p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　6測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系</b></p><p>　　測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系也叫測(cè)不準(zhǔn)原理，它是Heisenberg量子力學(xué)距陣表述的基本原理。根據(jù)這個(gè)原理，微觀客體的任何一對(duì)互為

25、共軛的物理量，如坐標(biāo)和動(dòng)量，都不可能同時(shí)具有確定值，即不可能對(duì)它們的測(cè)量結(jié)果同時(shí)作出準(zhǔn)確預(yù)言。</p><p>　　只要在經(jīng)典力學(xué)中引進(jìn)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，經(jīng)典力學(xué)便從根本上改變了量子力學(xué)。在經(jīng)典物理學(xué)中宏觀物體的位置和動(dòng)量是可以同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)定的。</p><p>　　測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是微觀粒子具有波粒二象形的必然結(jié)果。只要微觀粒子具有波粒二象形，就必然導(dǎo)致測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。因此，并不是我們測(cè)量儀器不精密，或者

26、說測(cè)量儀器“干擾了粒子有序的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)了測(cè)不準(zhǔn)，而是微觀世界的客觀規(guī)律本身就是如此。測(cè)不準(zhǔn)是一種客觀存在，靠改進(jìn)儀器和測(cè)量手段是不可能消除測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系所加的限制的。</p><p>　　若兩個(gè)算符對(duì)易則同時(shí)有確定值；若不對(duì)易，一般來說，不存在共同本征函數(shù)，不能同時(shí)具有確定值。</p><p>　　兩個(gè)不對(duì)易算符所對(duì)應(yīng)的力學(xué)量在某一狀態(tài)中究竟不確定到什么程度？即不確定度是多少？</p&

27、gt;<p>　　6.1 坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系</p><p>　　測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 （6.1.1） </p><p><b>　?。?.1.2）</b></p><p>　　表明：坐標(biāo)與動(dòng)量的偏差不能同時(shí)為零，其一越小，另一就越大</p><p&

28、gt;<b>　　經(jīng)典理論概念；</b></p><p>　　一個(gè)粒子的位置和動(dòng)量可以同時(shí)精確的測(cè)定</p><p><b>　　量子理論的概念；</b></p><p>　　要同時(shí)測(cè)出微粒的位置和動(dòng)量，其精密度有一定的限制</p><p><b>　　精密度的極限為</b>

29、</p><p>　　測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 </p><p>　　能量和時(shí)間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 （6.1.4）</p><p>　　相對(duì)論性能量為 </p><p>　　測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是普遍原理，是物質(zhì)的客觀規(guī)

30、律不是測(cè)量技術(shù)和主管能力的問題是波粒二象性的必然結(jié)果。</p><p>　　6.2 角動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 </p><p><b>　　(6.2.1) </b></p><p>　　6.3力學(xué)量完全集合</p><p>　　為完全確定狀態(tài)所需要的一組相互對(duì)易的力學(xué)量算符的本征值的最小數(shù)目稱為力學(xué)量完全集合。有些情況[5]下

31、力學(xué)量本征值是全部簡并或部分簡并的，一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)若干個(gè)本征函數(shù)。所以，只以的本征值不足以完全確定波函數(shù)。這時(shí)必定存在和獨(dú)立而又和對(duì)易的其它力學(xué)量算符。如果、的共同本征函數(shù)仍然有簡并，則必定還存在獨(dú)立于 而又和、均對(duì)易的其它力學(xué)量算符，,而又均對(duì)易的其它力學(xué)量算符,,,的共同本征函數(shù)是否還有簡并? 一組相互對(duì)易而又相互獨(dú)立的力學(xué)量算符，如果它們的共同本征函數(shù)系是非簡并的，即這一組本征值完壘確定一個(gè)共同本征函數(shù)，剛這組力學(xué)量稱為力學(xué)量完全

32、集。完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般稱為體系的自由度。</p><p><b>　　……</b></p><p><b>　　7 結(jié)論</b></p><p>　　本文講了算符，算符和算符之間的對(duì)易關(guān)系和測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，對(duì)易關(guān)系的物理意義，對(duì)易關(guān)系和測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的證明。通過這種內(nèi)容我們可以得到算符之間的關(guān)系對(duì)易關(guān)系和不對(duì)易關(guān)系，如果算符

33、對(duì)易則同時(shí)有確定值；若不對(duì)易，不存在共同本征函數(shù)，不能同時(shí)具有確定值。那么，必然導(dǎo)致有些力學(xué)量不能同時(shí)確定。</p><p><b>　　……</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　曾瑾言 量子力學(xué) 卷Ⅰ [M]. 北京：，2007.</p><p>　　曾

34、瑾言 量子力學(xué)教程 [M]. 北京：科學(xué)出版社，2004.</p><p>　　鵬程量子力學(xué) [M]. 北京：高等教育出版社，2003.</p><p>　　周世勛量子力學(xué)教程 [M]. 北京：高等教育出版社，2005.</p><p>　　曾心愉,宋宇辰,裴文杰 《量子力學(xué)》自學(xué)輔導(dǎo)之六力學(xué)量算符之間的關(guān)系 [j] 大學(xué)物理, 1