初等幾何研究——《introduction to geometry》中對(duì)三角形性質(zhì)的探究【開題報(bào)告+文獻(xiàn)綜述+畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文開題報(bào)告</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　初等幾何研究——《Introduction to Geometry》中對(duì)三角形的研究</p><p><b>　　選題的背景與意義</b></p><p&

2、gt;　　初等幾何的發(fā)展源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，內(nèi)容浩煙如海，方法變化多端，在它的發(fā)展過程中，引發(fā)出各種各樣的幾何學(xué)；各種幾何的獨(dú)特方法，反饋到初等幾何，被初等幾何吸收和包容，又促使它在內(nèi)容和方法上得以不斷豐富和拓展。因此，研究初等幾何方法，必須統(tǒng)觀其發(fā)展過程，從發(fā)展的不同階段的特征中理出方法拓展的不同層次，以獲得對(duì)初等幾何方法較系統(tǒng)全面的了解。</p><p>　　數(shù)學(xué)發(fā)展到今天，初等數(shù)學(xué)已經(jīng)相當(dāng)成熟了，古老的初等幾何更是如

3、此。公元前330年的歐幾里得的《幾何原本》問世，初等幾何已達(dá)到了頂峰，但是初等幾何的一些定理、方法至今還在不斷地被發(fā)現(xiàn)，而且仍具魅力。近年來初等幾何的各種方法的研究有了較大的進(jìn)展，我國(guó)初等幾何的方法研究可以說有了廣泛的基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)問題中，問題的開放式越來越重要，如一個(gè)題目，給出條件，去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明，或給出結(jié)論，要去發(fā)現(xiàn)條件，其中常要類比，并引申出新的問題，如果做了這些工作，對(duì)我們傳統(tǒng)古老的初等幾何更是進(jìn)行了升華。</p>

4、<p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題</p><p>　　了解初等幾何的發(fā)展和方法研究；翻譯課本，了解初等幾何中三角形部分的主要概念及定理；在理解內(nèi)容的基礎(chǔ)上通過課后習(xí)題進(jìn)一步掌握重點(diǎn)；對(duì)其中部分知識(shí)做更深入的探索。</p><p>　　三、研究的方法與技術(shù)路線</p><p>　　查閱相關(guān)資料，完成《Introduction to Geo

5、metry》中對(duì)三角形的研究部分的翻譯。在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下完成論文。</p><p>　　研究的總體安排與進(jìn)度</p><p>　　2010．11—2010．12：查閱相關(guān)資料，并做些準(zhǔn)備工作。</p><p>　　2010．12—2011．01：12月17日前完成文獻(xiàn)綜述和開題報(bào)告并交學(xué)院審批。</p><p>　　2011．01—2011

6、．03：完成論文的基本思路和框架。</p><p>　　2011．03—2011．04：4月4日完成兩篇外文的翻譯.完成畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）初稿，</p><p>　　交指導(dǎo)老師審批、修改。</p><p>　　2011．04—2011．06：畢業(yè)論文定稿、修改、打印。</p><p><b>　　五、參考文獻(xiàn)</b><

7、;/p><p>　　[1] 《幾何學(xué)的發(fā)展與初等幾何方法研究》 鄧鶴年、姜樹民 松遼學(xué)刊（自然科學(xué)版） 2001.02</p><p>　　[2] 《初等幾何問題的類比、引申探究》 馮德雄 成都大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版） 2008.08</p><p>　　[3] 《初等幾何的應(yīng)用舉例》 呂學(xué)禮 </p><p>　　[4] 《初等幾何中基

8、本作圖題的作圖方法》 曾壽清 龍巖師專學(xué)報(bào) 2000.06</p><p>　　[5] 《關(guān)于第一篇羅氏非洲幾何論文》 李迪、羅見今 內(nèi)蒙古師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)） 1988</p><p>　　[6] 《歐幾里德<幾何原本>評(píng)介》 宋文檀 高玉彪 榆林高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)報(bào) 2002.04</p><p>　　[7] 《三角形內(nèi)角和定理的演變?cè)跀?shù)學(xué)

9、發(fā)展中的作用》 張銳梅、李冰 高師理科學(xué)刊 2009.03</p><p>　　[8] 《三等分角線構(gòu)成的三角形的性質(zhì)》 梁卷明 中學(xué)數(shù)學(xué) 1997</p><p>　　[9] 《歐拉線定理證法集萃》 李善明、魏春強(qiáng) 內(nèi)江科技 2008.11</p><p>　　[10] 《莫利定理的簡(jiǎn)潔證明》 梁卷明 中學(xué)數(shù)學(xué) 2000.08</p><

10、p>　　[11] 《涉及三角形內(nèi)點(diǎn)的一類幾何不等式》 姜衛(wèi)東 北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)）2004.12</p><p>　　[12] 《銳角三角形中線與角平分線的幾個(gè)不等式》 劉健 湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào) 2008.02</p><p>　　[13]《What is Elementary Geometry?》 Studies in Logic and the Foundations of

11、 Mathematics, Volume 27, 1959, Alfred Tarski</p><p>　　[14]《The first Chinese translation of the last nine books of Euclid’s Elements and its source》 Historia Mathematica, Volume 32, February 2005, Yibao Xu&l

12、t;/p><p><b>　　畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　初等幾何研究——《Introduction to Geometry》中對(duì)三角形的研究</p><p>　　初等幾何的發(fā)展源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，內(nèi)容浩煙如海，方法變化多端，在它的發(fā)展過程中，

13、引發(fā)住各種各樣的幾何學(xué)；各種幾何的獨(dú)特方法，反饋到初等幾何，被初等幾何吸收和包容，又促使它在內(nèi)容和方法上得以不斷豐富和拓展。因此，研究初等幾何方法，必須統(tǒng)觀其發(fā)展過程，從發(fā)展的不同階段的特征中理出方法拓展的不同層次，以獲得對(duì)初等幾何方法較系統(tǒng)全面的了解。為此，文獻(xiàn)[1]回顧了幾何學(xué)的發(fā)展過程和它對(duì)拓展初等幾何方法的影響。歐幾里得《幾何原本》的形成是使幾何知識(shí)邏輯化，通過邏輯推理把當(dāng)時(shí)搜集到的幾何知識(shí)編排成一個(gè)系統(tǒng)的理論；亞歷山大里亞數(shù)學(xué)

14、家使用無理數(shù)，自由地把數(shù)用之于幾何量，使幾何從純粹定性研究的桎梏中得以解放，這項(xiàng)工作的高峰是三角術(shù)的發(fā)展；文藝復(fù)興使幾何學(xué)也得到了復(fù)興，由于建筑、繪圖、測(cè)量等的需要，由初等幾何發(fā)展成射影幾何，它的思想、理論和方法反過來作用于初等幾何，就是利用變換的理論和方法解決初等幾何問題；解析幾何的創(chuàng)立開創(chuàng)了幾何代數(shù)化的洗洗農(nóng)技員，它借助于坐標(biāo)系實(shí)現(xiàn)了幾何結(jié)構(gòu)的數(shù)量化，由此把形與數(shù)、幾何與代數(shù)得到了統(tǒng)一；幾何定理證明的機(jī)械化思想來自希爾伯特的《幾何基

15、礎(chǔ)》，近代公理法體系的形成，幾何代數(shù)化方法的創(chuàng)立和</p><p>　　從以上的回顧中得知，初等幾何方法按其發(fā)展可劃分成下列五個(gè)層次：</p><p>　　1.基本邏輯方法（主要是指分析法與綜合法）是貫徹于整個(gè)初等幾何中的基本方法，是其他幾何方法的基礎(chǔ)，是初等幾何的本質(zhì)。</p><p>　　2.度量化方法是就幾何圖形內(nèi)在的性質(zhì)的表現(xiàn)形式（形與量）的轉(zhuǎn)化而言的，它是

16、初等幾何的常用方法。</p><p>　　3.變換方法就是幾何圖形內(nèi)在關(guān)系結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化而言的，它是初等幾何的輔助方法。</p><p>　　4.代數(shù)化方法是就空間關(guān)系結(jié)構(gòu)表現(xiàn)形式的轉(zhuǎn)化而言的，它是超脫于幾何圖形本身的輔助方法。</p><p>　　5.機(jī)械化證明方法是就幾何關(guān)系結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為按程序計(jì)算而言的，它是超脫于人們對(duì)初等幾何為題原有思路的現(xiàn)代化的科學(xué)方法。<

17、/p><p>　　古老的初等幾何發(fā)展到今天已經(jīng)相當(dāng)成熟了，但是一些定理至今還在不斷地被發(fā)現(xiàn)，而且仍具魅力，不論什么學(xué)科，發(fā)現(xiàn)的方法和探究方法非常重要。初等幾何問題如何發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)如何發(fā)現(xiàn)，美國(guó)數(shù)學(xué)教育家J波利亞在他的《數(shù)學(xué)與猜想》等著作中已向人們展示了許多數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法和研究的方法。文獻(xiàn)[2]通過科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般方法，提出初等幾何的類比模式與方法、引申幾何問題的模式與方法，并得到幾個(gè)典型的幾何問題類比、引申的案例和發(fā)現(xiàn)結(jié)

18、果。文獻(xiàn)[3]從幾何來源于實(shí)踐又運(yùn)用于實(shí)踐的角度，舉出了實(shí)際生活中運(yùn)用初等幾何的24個(gè)例子，并從初等幾何的應(yīng)用的教學(xué)內(nèi)容、實(shí)際領(lǐng)域、應(yīng)用特點(diǎn)等方面，得出“解決實(shí)際問題，除了需要具有解決一般問題所需要的幾何知識(shí)外，更需要具備較多的分析、解決問題的能力。文獻(xiàn)[4]以實(shí)例探討了初等幾何中基本的作圖方法。</p><p>　　基于以上對(duì)初等幾何發(fā)展過稱及研究方法的了解，結(jié)合課本《Introduction to Geome

19、try》中第一章對(duì)三角形部分的論述，這一部分主要回顧了初等幾何中的一些著名命題，強(qiáng)調(diào)了對(duì)稱性的重要作用，參照已經(jīng)被使用兩千多年的歐幾里得的命題，以及前人在十九世紀(jì)翻譯過的被仔細(xì)研究過的著述中提到的一些觀點(diǎn)，從等腰三角形的性質(zhì)、中線和重心、內(nèi)切圓和外接圓、歐拉線和垂心、九點(diǎn)圓、兩個(gè)極限問題、莫利定理等幾個(gè)方面研究三角形的性質(zhì)。文獻(xiàn)[6]到文獻(xiàn)[12]對(duì)這部分內(nèi)容做了相應(yīng)的拓展，有助于深入理解，完成本文的翻譯工作。</p>&

20、lt;p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1] 《幾何學(xué)的發(fā)展與初等幾何方法研究》 鄧鶴年、姜樹民 松遼學(xué)刊（自然科學(xué)版） 2001.02</p><p>　　[2] 《初等幾何問題的類比、引申探究》 馮德雄 成都大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版） 2008.08</p><p>　　[3] 《初等幾何的應(yīng)用舉例》 呂學(xué)禮

21、 </p><p>　　[4] 《初等幾何中基本作圖題的作圖方法》 曾壽清 龍巖師專學(xué)報(bào) 2000.06</p><p>　　[5] 《關(guān)于第一篇羅氏非洲幾何論文》 李迪、羅見今 內(nèi)蒙古師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)） 1988</p><p>　　[6] 《歐幾里德<幾何原本>評(píng)介》 宋文檀 高玉彪 榆林高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)報(bào) 2002.04</

22、p><p>　　[7] 《三角形內(nèi)角和定理的演變?cè)跀?shù)學(xué)發(fā)展中的作用》 張銳梅、李冰 高師理科學(xué)刊 2009.03</p><p>　　[8] 《三等分角線構(gòu)成的三角形的性質(zhì)》 梁卷明 中學(xué)數(shù)學(xué) 1997</p><p>　　[9] 《歐拉線定理證法集萃》 李善明、魏春強(qiáng) 內(nèi)江科技 2008.11</p><p>　　[10] 《莫利定理的簡(jiǎn)

23、潔證明》 梁卷明 中學(xué)數(shù)學(xué) 2000.08</p><p>　　[11] 《涉及三角形內(nèi)點(diǎn)的一類幾何不等式》 姜衛(wèi)東 北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)） 2004.12</p><p>　　[12] 《銳角三角形中線與角平分線的幾個(gè)不等式》 劉健 湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào) 2008.02</p><p>　　[13]《What is Elementary Geometry?》 S

24、tudies in Logic and the Foundations of Mathematics, Volume 27, 1959, Alfred Tarski</p><p>　　[14]《The first Chinese translation of the last nine books of Euclid’s Elements and its source》 Historia Mathematica

25、, Volume 32, February 2005, Yibao Xu </p><p><b>　　本科畢業(yè)設(shè)計(jì)</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　初等幾何研究——《Introduction to Geometry》中對(duì)三角形性質(zhì)的探究</p><p&g

26、t;<b>　　摘要</b></p><p>　　【摘要】歷史上對(duì)于初等幾何的研究源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，內(nèi)容浩煙如海，方法變化多端，初等幾何發(fā)展與完善是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要組成部分。兩千多年前偉大的數(shù)學(xué)家歐幾里得對(duì)初等幾何的研究做出了巨大貢獻(xiàn)，他的著作《幾何原本》對(duì)后進(jìn)數(shù)學(xué)及其它科學(xué)的產(chǎn)生起了不可估量的作用。</p><p>　　本文對(duì)H. S. M. Coxerter的《Intr

27、oduction to Geometry》一書第一章三角形部分內(nèi)容進(jìn)行了研究翻譯，回顧了歐幾里得關(guān)于初等幾何的一些有趣的著名命題。</p><p>　　【關(guān)鍵詞】初等幾何；歐幾里得；三角形；對(duì)稱。</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　【ABSTRACT】Researches in the elementar

28、y geometry had a long history, because elementary geometry was rich and colorful in content, and its approaches to problems were the most changeful. The development and improvement of elementary geometry played an import

29、ant part in the course of the history of mathematics. Two thousand years ago, Euclid, the great mathematician, made a significant contribution to the development of elementary geometry. His monumental work, <Elements&

30、gt;, made a great influence o</p><p>　　This article focuses on the translation to Chapter 1 of H. S. Coxerter’s <Introduction to Geometry>, which is about “Triangles”, and reviews a few Euclid’s famous

31、 propositions that seem particularly interesting.</p><p>　　【KEYWORDS】elementary geometry; Euclid; triangles; symmetry.</p><p><b>　　目　錄</b></p><p><b>　　摘要7</b&g

32、t;</p><p>　　Abstract8</p><p><b>　　目　錄9</b></p><p><b>　　1緒論10</b></p><p>　　1.1初等幾何10</p><p>　　1.2歐幾里得與《幾何原本》10</p>&l

33、t;p>　　2《Introduction to Geometry》（《幾何簡(jiǎn)介》）11</p><p>　　第一章 三角形11</p><p>　　2.1歐幾里得11</p><p>　　2.2基本概念及定理12</p><p>　　2.3“笨人難過的橋”13</p><p>　　2.4中線和

34、形心17</p><p>　　2.5內(nèi)切圓和外接圓18</p><p>　　2.6歐拉線和垂心24</p><p>　　2.7九點(diǎn)圓25</p><p>　　2.8兩個(gè)極值問題27</p><p>　　2.8.1Fagnano問題28</p><p>　　2.8.2Fer

35、mat 問題29</p><p>　　2.9莫利定理30</p><p>　　2.9.1莫利定理31</p><p><b>　　3結(jié)束語32</b></p><p><b>　　3.1小結(jié)32</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)34&

36、lt;/b></p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　附錄錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　緒論</b></p><p><b>　　初等幾何</b></p><p>　　統(tǒng)觀初等幾何發(fā)展的過程，我們可以獲得對(duì)初等幾何較為系統(tǒng)全

37、面的了解。從歐幾里得《幾何原本》的誕生，到亞歷山大里亞數(shù)學(xué)家對(duì)無理數(shù)的使用，到文藝復(fù)興時(shí)期射影幾何的發(fā)展，到解析幾何開辟幾何代數(shù)化新紀(jì)元，再到幾何定理證明機(jī)械化道路的開創(chuàng)，初等幾何的發(fā)展源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，人們對(duì)初等幾何的研究存在于整個(gè)人類文明史，其內(nèi)容和方法在人們不斷地研究探索中逐步成熟完善和拓展。盡管初等幾何發(fā)展到今天已經(jīng)達(dá)到了成熟的階段，但是一些新的定理新的解決問題的方法仍源源不斷得被人們所發(fā)現(xiàn)，而且仍具有強(qiáng)大的吸引力。</p>

38、<p>　　歐幾里得與《幾何原本》</p><p>　　說到初等幾何，不得不提的是被后人尊稱為“幾何學(xué)之父”的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid 公元前330-前275），他的巨著《幾何原本》與他一起名垂千古，集整個(gè)古希臘數(shù)學(xué)的成果和精神于一書，也集前人思想和歐幾里得個(gè)人創(chuàng)造性于一體，是使用公理化方法建立起演繹數(shù)學(xué)體系的最早典范、不朽之作。歐幾里得把人們公認(rèn)的一些事實(shí)列成定義和公理，以形式邏輯的方法，

39、用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質(zhì)，建立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理的幾何學(xué)論證方法，形成了一個(gè)嚴(yán)密的邏輯體系——幾何學(xué)，而這本書也就成了歐式幾何的奠基之作。它既是數(shù)學(xué)巨著，又是哲學(xué)巨著，兩千多年來一直被廣泛流傳，對(duì)整個(gè)人類文明都產(chǎn)生了巨大的影響。從它十三卷的內(nèi)容可以看出，目前中學(xué)課程里的初等幾何的主要內(nèi)容已經(jīng)完全包含在《幾何原本》里了，直至今日，中學(xué)幾何教材的內(nèi)容和體系仍保留了《幾何原本》的基本特點(diǎn)。</p&g

40、t;<p>　　本文翻譯的H. S. M. Coxeter的英文著作《Introduction to Geometry》第一章《三角形》就是依據(jù)歐幾里得的命題順序進(jìn)行的，回顧了許多有關(guān)初等幾何的著名命題，從等腰三角形的性質(zhì)、中線和重心、內(nèi)切圓和外接圓、歐拉線和垂心、九點(diǎn)圓、兩個(gè)極限問題、莫利定理等幾個(gè)方面對(duì)三角形以及特殊三角形的性質(zhì)進(jìn)行了探究。譯文如下：</p><p>　　《Introductio

41、n to Geometry》（《幾何簡(jiǎn)介》）</p><p><b>　　第一章 三角形</b></p><p>　　本章我們回顧初等幾何的一些著名命題，強(qiáng)調(diào)對(duì)稱的重要性。我們將按照歐幾里得的順序來參考他那些已經(jīng)被全世界使用了兩千多年的命題。F. Commandino (1509-1575) 翻譯了Archimedes，Apollonius以及Pappus的許多作品，

42、自從他那個(gè)時(shí)代，人們又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了許多在相同精神上的其他理論。19世紀(jì)人們仔細(xì)地研究了這些成果。由于目前的趨勢(shì)是拋棄這些理論而偏向于其他一些數(shù)學(xué)分支，我們將提及其中一些看起來特別有趣的部分。</p><p><b>　　歐幾里得</b></p><p>　　在現(xiàn)在所有的教科書被廢棄和遺忘之后，歐幾里得的作品將被永世傳頌。它是古代最卓越的典范之一。</p>

43、<p>　　——Sir Thomas L. Heath (1861-1940)</p><p>　　大約公元前300年，亞歷山大（埃及港市）的歐幾里得分13卷完成了一個(gè)巨著——《幾何原本》。對(duì)于作者我們知之甚少（令人遺憾的是，人們經(jīng)常把他同早先的哲學(xué)家Euclid of Megara相混淆）。Proclus(410-485A.D.)說：“他將《幾何原本》構(gòu)造成一個(gè)整體，收集了Eudoxus的許多理論，完

44、善了Theaetetus的許多理論，并且?guī)砹藢?duì)他的一些前輩們證明得不是很確切的東西的示范。這個(gè)人生活在第一個(gè)Ptolemy時(shí)代，Ptolemy曾經(jīng)問他在幾何學(xué)中是否有比《幾何原本》更短的捷徑，他回答說，幾何學(xué)中沒有捷徑?！盚eath曾引用過Stobaeus的一個(gè)故事，講的是一個(gè)開始向歐幾里得學(xué)習(xí)幾何的人，他問歐幾里得：“我學(xué)習(xí)這些東西會(huì)得到什么呢？”歐幾里得叫來他的奴隸對(duì)他說：“給他一枚銀幣，因?yàn)樗朐趯W(xué)習(xí)中獲得實(shí)利?！?lt;/p&

45、gt;<p>　　在這十三本書中，前六本可以簡(jiǎn)要地描述為分別有關(guān)三角形、矩形、圓、多邊形、比例及相似性的問題。接下來的四本，是有關(guān)數(shù)字的理論，包括兩個(gè)著名的論述：Ⅸ.2和Ⅹ.9。它們證明了“素?cái)?shù)有無限多個(gè)”以及“是無理數(shù)”[Hardy 2,第32-36頁]。第十一本書是對(duì)立體幾何的介紹，第十二本書是有關(guān)角錐體、圓錐體和圓柱體的，第十三本是有關(guān)五面體的。</p><p>　　據(jù)Proclus所說，歐幾

46、里得“把所謂的柏拉圖式結(jié)構(gòu)放在自己之前，作為整個(gè)《幾何原本》的結(jié)尾”。歐幾里得這個(gè)議題的概念得到了Platonic關(guān)于四種立體結(jié)構(gòu)神秘對(duì)應(yīng)關(guān)系的理論的支持。</p><p>　　[比較Coxeter 1,第18頁]</p><p>　　算數(shù)書Ⅷ-X提供了反對(duì)命題的證據(jù)，這些書明顯包含了它們內(nèi)在的趣味性而不是立體幾何的應(yīng)用價(jià)值。</p><p><b>　　

47、基本概念及定理</b></p><p>　　“當(dāng)我使用一個(gè)單詞時(shí)，”Humpty-Dumpty說，“那就是我選擇它所想要表達(dá)的意思——不多也不少。”</p><p>　　——Lewis Carroll(1832-1898)</p><p>　　[Dodgson 2,第六章]</p><p>　　在數(shù)學(xué)分支的邏輯發(fā)展中，每一個(gè)概念或

48、關(guān)系的定義都包含了其它的概念和關(guān)系。因此防止惡性循環(huán)的唯一方法就是允許有運(yùn)用一些不需要定義的特定的基本概念和關(guān)系（通常越少越好）[Synge 1,第32-34頁]。</p><p>　　類似地，每個(gè)命題的證明都需要運(yùn)用其它的命題，因此也要有一些不需要證明的被稱為“公設(shè)”或者“定理”的基本命題。歐幾里得沒有具體指定他的基本概念和關(guān)系，但給出了一些依據(jù)大多數(shù)人都認(rèn)可的觀點(diǎn)而得出的定義。他的五個(gè)公設(shè)如下：</p&

49、gt;<p>　　1.21 兩點(diǎn)確定一條直線</p><p>　　1.22 直線可以無限延長(zhǎng)</p><p>　　1.23 已知圓心和半徑可以確定一個(gè)圓</p><p>　　1.24 所有直角都相等</p><p>　　1.25 一直線與另外兩直線相交，如果無限延長(zhǎng)，另外的兩直線在與第一條直線交角和小于 的一邊相交。</p

50、><p>　　非常自然的是，在2250年時(shí)間的流逝之后，一些細(xì)節(jié)現(xiàn)在似乎有可以改善的可能。（例如，Euclid Ⅰ.1通過畫兩個(gè)圓構(gòu)造了一個(gè)等邊三角形；但是我們?nèi)绾沃肋@兩個(gè)圓是怎樣相交的呢？）神奇的是，歐幾里得的許多成果仍保持著完全的正確。在對(duì)他的幾何學(xué)的現(xiàn)代論述中，[參見Coxeter 3,第161-187頁]，通常都會(huì)公認(rèn)基本的定義“點(diǎn)”和兩個(gè)基本的關(guān)系“中間”（一個(gè)點(diǎn)一定在其他兩點(diǎn)之間）和“迭合”（兩點(diǎn)間的距

51、離可以與另外兩點(diǎn)間的距離相等/兩條線段的長(zhǎng)度可以相等）。</p><p>　　歐幾里得的用來證明Ⅰ.4的“重合原理”提出了一個(gè)問題：“一個(gè)圖形若不改變內(nèi)部結(jié)構(gòu)是否可以移動(dòng)”。這個(gè)原理現(xiàn)在已經(jīng)被更為明確的假設(shè)所代替。例如公理“有尾巴的三角形的固定性”（圖1.2a）：</p><p>　　1.26 是三角形的一邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，是類似的另一個(gè)三角形的一邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，若，，，，那么。<

52、/p><p>　　這個(gè)公理可以將全等的概念進(jìn)行拓展，從線段到更加復(fù)雜的圖形，例如角，因此我們可以通過關(guān)系明確地說出我們的意思。那么我們就不再需要用于證明Euclid Ⅰ.4的那個(gè)有爭(zhēng)議的“重合定理”了：</p><p>　　如果兩個(gè)三角形兩邊對(duì)應(yīng)相等，并且這兩邊的夾角也對(duì)應(yīng)相等，則它們的第三邊也對(duì)應(yīng)相等，剩下的兩個(gè)角也對(duì)應(yīng)相等；事實(shí)上，它們是全等的。</p><p>&

53、lt;b>　　“笨人難過的橋”</b></p><p>　　Minos：有人建議采用等腰三角形的方法來證明1.5，將它翻轉(zhuǎn)，然后覆蓋原三角形。</p><p>　　Euclid：當(dāng)然，就像愛爾蘭公牛反芻一樣，人們會(huì)生動(dòng)地提醒自己在喉嚨里消化所學(xué)到的東西，把空間用來存放嚴(yán)格的哲學(xué)論文？</p><p>　　Minos：我想它的辯護(hù)者們會(huì)說，只是設(shè)想留

54、下了它的軌跡，扭轉(zhuǎn)后的三角形覆蓋在留下的軌跡上。</p><p>　　——C. L. Dodgson (1832-1898) </p><p>　　[Dodgson 3, 第48頁]</p><p>　?、?5 等腰三角形兩底角相等</p><p>　　這個(gè)著名理論的名字“笨人難過的橋”好像源于歐幾里得圖形（在他相當(dāng)復(fù)雜的證明過程中所需的輔助

55、線）橋一樣的外觀，以及那個(gè)“過不了這座橋的人是傻瓜”的說法。幸運(yùn)的是，耶穌紀(jì)元后340年，Pappus of Alexandria提供了一個(gè)更為簡(jiǎn)單的證明方法（圖1.3a）：</p><p>　　在等腰三角形中，，我們?cè)O(shè)想三角形為兩個(gè)重合的三角形，并通過這種方式討論。既然，，那么兩邊、分別與、相等。同樣地，也就等于。因此任何相應(yīng)的部分（對(duì)于三角形和三角形）都是相等的。特別地，。</p><p&

56、gt;　　將等腰三角形同它自己相比較的教學(xué)難點(diǎn)，有時(shí)可以通過連結(jié)頂點(diǎn)以及底邊的中點(diǎn)而避免。中線可以看作是一面映射到的鏡子。因此，我們說等腰三角形是反射對(duì)稱的或者左右對(duì)稱的（當(dāng)然，這面理想化的鏡子在幾何學(xué)中是沒有厚度的，并且兩面都可以反射）。因此不僅僅是的映射，而且也是的映射。</p><p>　　任何圖形，不論它的形狀有多么不規(guī)則，當(dāng)我們把它放到一個(gè)鏡子旁邊并且忽略實(shí)物與像之間的差別時(shí)，將產(chǎn)生一個(gè)對(duì)稱的圖形。這種

57、左右對(duì)稱性是大多數(shù)動(dòng)物的外形所特有的。</p><p>　　給出幾何學(xué)鏡面一邊的任意一點(diǎn)，可以過點(diǎn)作鏡面的垂線并在另一邊延長(zhǎng)至相等的距離來構(gòu)造影像點(diǎn)，因此鏡面垂直平分線段。在平面上以直線代替鏡面，我們分別以和做圓心，以、為半徑作兩個(gè)圓，兩圓的交點(diǎn)即為和。</p><p>　　我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果運(yùn)用對(duì)稱原理，許多幾何證明可以被簡(jiǎn)化而且更加清晰。但是我們必須記得這個(gè)過程僅僅是一個(gè)刪節(jié)：每一個(gè)這

58、樣的爭(zhēng)論只能借助涉及全等三角形的一種拐彎抹角的說法來避免。例如，因?yàn)槿切闻c三角形是全等的，所以上述的構(gòu)造是有根據(jù)的。</p><p>　　“笨人難過的橋”有許多有用的結(jié)論，例如如下五例：</p><p>　?、?3 如果一個(gè)圓的直徑二等分一條不過圓心的弦，那么這條直徑一定垂直于這條弦；</p><p>　　或者，如果一個(gè)圓的直徑垂直于一條不過圓心的弦，那么這條

59、直徑一定二等分這條弦。</p><p>　?、?20 圓心角等于圓切角的二倍</p><p>　?、?21 在一條弦所對(duì)應(yīng)的劣弧上任取兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)與這條弦的兩端點(diǎn)的連線所成的夾角相等。（例如，在圖1.3c中，）</p><p>　?、?22 圓內(nèi)接四邊形的兩對(duì)角和等于</p><p>　?、?32 在一條弦所對(duì)應(yīng)的劣弧上任取一點(diǎn)，這一點(diǎn)與弦的

60、兩端點(diǎn)的連線所成的夾角同圓在弦的端點(diǎn)處的切線與弦所成夾角相等。（例如，在圖1.3c中）</p><p>　　類似地，我們也將有機(jī)會(huì)在三角形中使用兩個(gè)類似的定理：</p><p>　?、?2 在三角形中，若∥，則;</p><p><b>　　若，則∥</b></p><p>　　Ⅵ.4 如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，那么相

61、應(yīng)的角的兩邊成比例。</p><p>　　結(jié)合Ⅲ.21和Ⅲ.32的最終結(jié)果，我們推斷出關(guān)于圓的割線的兩個(gè)重要的性質(zhì)（如圖1.3c）：</p><p>　?、?35 兩條直線與在圓內(nèi)相交于點(diǎn)，則</p><p>　?、?36 圓的一條切線與一條割線相交于圓外一點(diǎn)，則</p><p>　　第六卷還包括一個(gè)有關(guān)面積的重要性質(zhì)：</p>

62、<p>　?、?19 相似三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度之比的平方</p><p>　　這一結(jié)果產(chǎn)生了一下對(duì)畢達(dá)哥拉斯定理[見Heath 1，第353頁；第210，232,268頁]的簡(jiǎn)單證明：</p><p>　?、?47 在直角三角形中，斜邊長(zhǎng)度的平方等于兩直角邊長(zhǎng)度的平方和</p><p>　　在三角形，是直角，作垂直于斜邊，如圖1.3d。我們得到

63、了三個(gè)相似的直角三角形、、，斜邊分別為、、。根據(jù)Ⅵ.19，面積滿足</p><p><b>　　明顯地，。因此。</b></p><p><b>　　中線和形心</b></p><p>　　東方的數(shù)學(xué)可能是有趣的好奇心，但希臘的數(shù)學(xué)是真實(shí)的東西……希臘人，就像Littlewood對(duì)我說過的一樣，不是聰明的學(xué)生或者“獎(jiǎng)學(xué)金的

64、候選人”，而是“學(xué)院的院士”。所以希臘的數(shù)學(xué)是持久的，甚至比希臘的文學(xué)還要持久。當(dāng)埃斯庫羅斯被眾人遺忘時(shí)，阿基米德還會(huì)被銘記，因?yàn)檎Z言會(huì)消亡而數(shù)學(xué)的思想不會(huì)。</p><p>　　——G. H. Hardy （1877-1947) </p><p>　　[Hardy 2, 第21頁 ]</p><p>　　三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線成為“中線”。</p&

65、gt;<p>　　假設(shè)三條中線中的其中兩條和相交于點(diǎn)（圖1.4a）。設(shè)與的中點(diǎn)分別為、。根據(jù)歐幾里得Ⅵ.2和Ⅵ.4（在第8頁中引用），與都平行且等于的一半。因此，是一個(gè)平行四邊形。又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膬蓪?duì)角線互相平分，我們有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　因此兩條中線和在點(diǎn)三等分。換句話說，若點(diǎn)被定義為一條中線的三等分點(diǎn)，那它

66、也是另外兩條中線的三等分點(diǎn)。這樣，我們就證明了[通過Court 1，第58頁的方法]如下的定理：</p><p>　　1.41 三角形的三條中線交于一點(diǎn)</p><p>　　這個(gè)三條中線的公共點(diǎn)稱為三角形的“形心”。 Archimedes (c. 287-212 b.c.)把它作為一個(gè)密度均勻的三角形板的重心。</p><p><b>　　內(nèi)切圓和外接圓&

67、lt;/b></p><p>　　一個(gè)人的夜晚，我讀《圣經(jīng)》比《歐幾里得》要多。</p><p>　　——Robert Buchanan （1841 -1901) </p><p>　　[An Old Dominie's Story]</p><p>　　歐幾里得Ⅲ.3告訴我們，一個(gè)圓可以被任意直徑分成兩個(gè)對(duì)稱的部分。（然而橢圓

68、只能被兩條特殊的直徑分成兩個(gè)對(duì)稱的部分：長(zhǎng)軸和短軸）。另外，兩條切線所成的夾角可以被兩條切線的公共點(diǎn)與圓心的連線平分。</p><p>　　通過考慮到三角形一個(gè)角兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡，我們可以看到，三角形的內(nèi)、外角平分線相交于四個(gè)點(diǎn)、、、，如圖1.5a，以這四個(gè)點(diǎn)為圓心可以作四個(gè)圓與三條邊、、相切。其中，在三角形內(nèi)部的內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心（歐幾里得Ⅳ.4）。其它三個(gè)是外心、、：是旁切圓（或者外圓）的圓心[

69、Court 2，第72-88頁]。內(nèi)切圓的半徑是內(nèi)半徑，旁切圓的半徑是外半徑、、。</p><p>　　在描述一個(gè)三角形時(shí)，我們通常令</p><p><b>　　，，，</b></p><p><b>　　半周長(zhǎng)</b></p><p><b>　　，</b></p&g

70、t;<p>　　角表示為，，，面積為。</p><p><b>　　因?yàn)?我們有：</b></p><p><b>　　1.51 </b></p><p>　　這一結(jié)論將會(huì)在第九節(jié)中用到。</p><p>　　因?yàn)槿切问且詾榈?，以為高的三角形，所以它的面積為。綜合三個(gè)這樣的三角形，

71、我們推斷：</p><p><b>　　類似地，。因此，</b></p><p>　　1.52 </p><p>　　從著名的公式，我們發(fā)現(xiàn)</p><p><b>　　由此，</b></p><p>　　1.53 </p&g

72、t;<p>　　這個(gè)著名的表達(dá)式將在第18章第4節(jié)備用稿，它是屬于Heron of Alexandria（公元60年）的，但是是Archimedes發(fā)現(xiàn)的（見B. L. van der Waerden，科學(xué)新知，牛津大學(xué)出版社，紐約，1961年，第228-277頁）。結(jié)合Heron的公式和1.52，我們得到</p><p><b>　　1.531 ，</b></p>

73、<p>　　另一個(gè)有關(guān)圓的對(duì)稱性的結(jié)果是，三角形的三條邊的垂直平分線都通過外心，點(diǎn)是外接圓的圓心（歐幾里得IV.5）。這是過三個(gè)頂點(diǎn)、、的唯一的一個(gè)圓。它的半徑稱為三角形的外接圓半徑。因?yàn)閳A心角（圖1.5b），等于兩倍的角，所以全等直角三角形和直角三角形在點(diǎn)處有一個(gè)等于角的角，因此</p><p><b>　　，</b></p><p>　　1.54

74、 </p><p>　　過作垂直于，連接與圓心并延長(zhǎng)，交外接圓于點(diǎn)K，如圖1.5c。根據(jù)歐幾里得Ⅲ.21，直角三角形和直角三角形是相似三角形，因此</p><p><b>　　,.</b></p><p><b>　　因?yàn)?所以有</b></p><p>　　1.55

75、 </p><p>　　因此五個(gè)半徑通過一個(gè)公式聯(lián)系在一起：</p><p>　　1.56 </p><p>　　現(xiàn)在我們考慮相切于6個(gè)不同點(diǎn)的4個(gè)圓、、、。每個(gè)圓都有一個(gè)曲度，定義為半徑的倒數(shù)與一個(gè)未知符號(hào)的乘積，即如果所有的切點(diǎn)都在外部（像在圖1.5d中“輕圓”的情況），則曲度都是正的；但如果有一個(gè)圓繞其他三個(gè)（像“重圓”的情況），則最大

76、圓的曲度取負(fù)值；并且把點(diǎn)看做是曲度為0的圓。不管怎樣，四個(gè)曲度的和是正的。</p><p>　　在1643年11月給波西米亞的伊麗莎白公主的一封信中，Rene Descartes詳盡地闡述了有關(guān)四個(gè)相互相切的圓的半徑的公式?！扒取钡淖⑨屖牵?lt;/p><p>　　1.57 </p><p>　　這個(gè)笛卡兒圓定理在1842年被一個(gè)英國(guó)業(yè)余愛好者Ph

77、ilip Beecroft重新發(fā)現(xiàn)，他觀察到，四個(gè)圓決定了另外四個(gè)圓相切于6個(gè)相同的點(diǎn)：經(jīng)過、、的三個(gè)切點(diǎn)，等等。用來表示的曲度。假如圓、、的圓心構(gòu)成了一個(gè)三角形,既是內(nèi)切圓又是旁切圓。在前一種情況中（圖1.5e），</p><p>　　1.58 ，，，.</p><p>　　在后一種情況中（圖1.5f），</p><p><b>　　，，，

78、.</b></p><p>　　不論哪一種情況，我們從1.531中發(fā)現(xiàn)</p><p><b>　　.</b></p><p>　　類似地，，當(dāng)然我們可以置換下標(biāo)1,2,3,4。因此</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因?yàn)楸磉_(dá)式中與是對(duì)稱

79、的，所以它也等于（）；因此</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　并且，因?yàn)?lt;/b></p><p>　　1.59 .</p><p>　　結(jié)合四個(gè)這樣的等式，并且兩邊加平方，我們推論出，因此</p><p>&l

80、t;b>　　.</b></p><p>　　這樣1.57就被證明出來了。</p><p>　　在1936年，這個(gè)定理被Sir Frederick Soddy重新發(fā)現(xiàn)，他在1921年因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了核素而獲得過諾貝爾獎(jiǎng)。他以詩歌的形式表達(dá)了這個(gè)定理，《The Kiss Precise》，中間的詩句是這樣寫的：</p><p>　　Four circles

81、to the kissing come, </p><p>　　The smaller are the benter. </p><p>　　The bend is just the inverse of </p><p>　　The distance from the centre. </p><p>　　Though their intr

82、igue left Euclid dumb </p><p>　　There's now no need for rule of thumb. </p><p>　　Since zero bend's a dead straight line </p><p>　　And concave bends have minus sign, </p&g

83、t;<p>　　The sum of the squares of all four bends </p><p>　　Is half the square of their sum.</p><p><b>　　歐拉線和垂心</b></p><p>　　盡管古希臘不論在幾何學(xué)還是在最多變的算術(shù)領(lǐng)域都有很多的成就，然而今天的我們不

84、論在哪些領(lǐng)域都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了他們，幾何學(xué)也是如此。</p><p>　　——F. Klein（1849-1925）</p><p>　　[Klein 2,第189頁]</p><p>　　從現(xiàn)在開始，我們將會(huì)經(jīng)常提到L. Euler（1707-1783）的名字，一個(gè)在俄國(guó)度過了她大部分人生的瑞士人，對(duì)數(shù)學(xué)所有的分支都做出了重要貢獻(xiàn)。他的一些最簡(jiǎn)單的發(fā)現(xiàn)都有這樣一種特點(diǎn)，

85、你可以想象歐幾里得的靈魂在對(duì)你說：“為什么我完全不這樣認(rèn)為？”</p><p>　　如果一個(gè)三角形的外接圓圓心與形心重合，每一條中線都垂直于對(duì)應(yīng)的邊，即三角形以三種方式等腰，即等邊。因此，若三角形不是等邊三角形，則它的外接圓圓心與形心在唯一的一條直線上，在這條所謂的歐拉線上，取一點(diǎn)使得，那么（如圖1.6a）。因?yàn)橛钟校瑲W幾里得Ⅵ.2后半部分告訴我們平行于，而垂直平分。因此垂直于。類似地，垂直于，垂直于。</

86、p><p>　　從一個(gè)頂點(diǎn)引出的垂直于對(duì)邊的直線叫做“高線”，以上論述說明：</p><p>　　任意三角形的三條高線都相交于歐拉線上的一點(diǎn)。</p><p>　　三條高線的這個(gè)公共點(diǎn)稱為三角形的“垂心”。</p><p><b>　　九點(diǎn)圓</b></p><p>　　這個(gè)圓是所有初等幾何課程中出現(xiàn)

87、的第一個(gè)真正令人興奮的東西。</p><p>　　——Daniel Pedoe（1910- ）</p><p>　　[Pedoe 1,第1頁]</p><p>　　垂線與對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)（就像圖1.7a中與類似的三個(gè)點(diǎn)）形成了三角形的“正交三角形”（或“垂足三角形”）。正交三角形的外接圓稱為原始三角形的“九點(diǎn)圓”（或者“費(fèi)爾巴哈圓”）。因?yàn)樗粌H僅包含了三條垂線的垂足，

88、還包含了另外六個(gè)重要的點(diǎn)。事實(shí)上，</p><p>　　1.71 三角形三條邊的中點(diǎn)，頂點(diǎn)與垂心連線的中點(diǎn)，還有三條高線的垂足都在同一個(gè)圓上。</p><p>　　證明[Coxeter 2，第29頁]：令、、、、、為、、、、、的中點(diǎn)，、、為高線的垂足，如圖1.7a。再次根據(jù)歐幾里得Ⅵ.2和Ⅵ.4，和都平行于且和都平行于。因?yàn)?是垂直于的，可以得到是一個(gè)矩形。類似地，也是一個(gè)矩形。因此、、是

89、一個(gè)圓的三條直徑。因?yàn)檫@些直徑在點(diǎn)、、對(duì)向直角，所以同一個(gè)圓也經(jīng)過這些點(diǎn)。</p><p>　　如果平面上四個(gè)點(diǎn)被六條不同的直線兩兩連結(jié)，則它們成為一個(gè)完全四邊形的頂點(diǎn)，并且這些直線是他的六條邊。如果兩條邊沒有共同的頂點(diǎn)，則稱它們是相對(duì)的。任意兩條相對(duì)的邊的交點(diǎn)稱為“對(duì)角線點(diǎn)”。應(yīng)該有三個(gè)這樣的點(diǎn)（見圖1.7b）。</p><p>　　如果三角形不是直角三角形，它的頂點(diǎn)和垂心構(gòu)成了一個(gè)特殊

90、的四邊形，她的相對(duì)邊是互相垂直的。用這個(gè)術(shù)語，三條垂線共點(diǎn)可以表述如下：</p><p>　　1.72 如果一個(gè)完全四邊形的兩對(duì)相對(duì)邊是相互垂直的，那么余下的一對(duì)相對(duì)邊也同樣是相互垂直的。</p><p>　　這樣的四邊形被稱為中心正交四邊形。它的六條邊、、、、、是三角形的邊和垂線，并且對(duì)角線點(diǎn)、、為高線的垂足。在四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)中，我們批注給頂點(diǎn)一個(gè)特殊的角色。明顯地，</p>

91、;<p>　　1.73 一個(gè)中心正交四邊形的每個(gè)頂點(diǎn)時(shí)另外三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的垂心。</p><p>　　這四個(gè)三角形（只有一個(gè)銳角三角形）都有相同的正交三角形，因而有相同的九點(diǎn)圓。</p><p>　　在有關(guān)仿射幾何學(xué)的著述中[例如Coxeter 2,8.71]，證明了任意完全四邊形六條邊的中點(diǎn)和三個(gè)對(duì)角線點(diǎn)在一條圓錐曲線上。以上論述說明，當(dāng)四邊形是中心正交四邊形時(shí)，這個(gè)

92、“九點(diǎn)圓錐曲線”變成了一個(gè)圓。</p><p><b>　　兩個(gè)極值問題</b></p><p>　　很多人都有自己對(duì)數(shù)學(xué)的欣賞，就像很多人都有自己喜歡的調(diào)調(diào)一樣。但是可能喜歡數(shù)學(xué)的人比喜歡音樂的人要多。</p><p>　　——G.H.Hardy[2.第26頁]</p><p>　　如果我們可以消除人們?cè)诙瑫r(shí)到所形成

93、的對(duì)數(shù)學(xué)的厭惡感，那么就可以進(jìn)一步激發(fā)他們的興趣。</p><p>　　——Hans Rademocher（1892- ）</p><p>　　[Rademacher and Toeplitz 1，第5頁]</p><p>　　我們將詳盡地描述Fagnano問題和Fermat問題，因?yàn)榻鉀Q這兩個(gè)問題的方法相當(dāng)有趣。第一次提出Fagnano問題的人是J. F. Tos

94、chi di Fagnano，也是他解決了微分問題。這里給出的方法是由L. Fejdr提供的，雖然當(dāng)時(shí)他還只是個(gè)學(xué)生。[Rademacher and Toeplitz 1，第30-32頁]</p><p><b>　　Fagnano問題</b></p><p>　　在一個(gè)給定的銳角三角形中，做出內(nèi)接三角形，使得三角形的周長(zhǎng)最小。</p><p>

95、;　　首先假設(shè)任意三角形，在上，在上，在上。、分別是關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，則有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　這是一條從到的連線，通常是在點(diǎn)和點(diǎn)處有彎折的。當(dāng)這條連線是直線時(shí)最短，如圖1.8a。因此，在給定的三角形的邊上的特殊點(diǎn)與上的和就構(gòu)成了具有最小周長(zhǎng)的三角形。這樣，我們就可以直接在上明確選擇一個(gè)點(diǎn)讓三角形的周長(zhǎng)最小且等于線段的長(zhǎng)。<

96、/p><p>　　因?yàn)楹褪顷P(guān)于與的對(duì)稱線，那么他們?nèi)炔⑶医恰Ｒ虼巳切问且粋€(gè)等腰三角形，并且角的角度是不因?yàn)榈淖兓兓?。?dāng)是最小并且兩邊也是相等的基線也是最小的。也就是說從一個(gè)給定的點(diǎn)到邊的最短距離是。由于直角三角形的斜邊大于兩個(gè)直角邊，因此這個(gè)給定的點(diǎn)就是在邊上的垂點(diǎn)。因此垂線就是垂直高度。</p><p>　　的位置的選擇決定了一個(gè)最小周長(zhǎng)的三角形的位置，這個(gè)三角形比其他任何的位置的

97、三角形周長(zhǎng)都小。由于我們可以把換成或者，因此我們可以知道于也是跟的垂直高度。因此：</p><p>　　銳角三角形的周長(zhǎng)最小的內(nèi)接三角形是三角形的正交三角形。</p><p>　　同樣的方法可以用來證明球形三角形也有類似的結(jié)果。</p><p>　　另外一個(gè)問題，是由Fermat (1601-1665)提出來的。也是同樣的目的，也是為了減少三個(gè)點(diǎn)的距離的總和。在這里

98、給出的方案是由J.E.Hofmann提出來的。</p><p><b>　　Fermat 問題</b></p><p>　　在給出的銳角三角形中，取點(diǎn)使得點(diǎn)到、、三點(diǎn)的距離之和最小。</p><p>　　首先考慮三角形中任意一點(diǎn)。連結(jié)、、，將內(nèi)部三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到新的三角形，因此三角形和三角形都是等邊三角形，如圖1.8b。并且。這是到的連線，通

99、常在點(diǎn)和彎折。當(dāng)這條連線是直線時(shí)最短，在這種情況下</p><p>　　且 .</p><p>　　因此，所求的使得最小的點(diǎn)，就是使三邊、、對(duì)向的角、、都等于的點(diǎn)。這個(gè)“費(fèi)馬點(diǎn)”可以最簡(jiǎn)單地由直線與圓（即等邊三角形的外接圓）的第二個(gè)交點(diǎn)來確定。</p><p>　　據(jù)指出[例如Pedoe 1，第11-12頁]，三角形無需假定為銳角三角形

100、。只要沒有角大于，上述方法都是有效的。</p><p>　　除了繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到等邊三角形，我們還可以繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到等邊三角形，如圖1.8c。因此三條直線、、都經(jīng)過費(fèi)馬點(diǎn)，而且其中任意兩條為它提供了一個(gè)可供選擇的構(gòu)造方式。此外，線段、、的長(zhǎng)度都等于，因此</p><p>　　如果在任意三角形外部作三個(gè)等邊三角形、、，那么線段、、的長(zhǎng)度相等，同時(shí)，相互成角。</p><p>

101、;<b>　　莫利定理</b></p><p>　　數(shù)學(xué)中的許多證明過程都又長(zhǎng)又錯(cuò)綜復(fù)雜。其它的，雖然不長(zhǎng)，但構(gòu)造地很巧妙。</p><p>　　——E.C.Titchmarsh（1899-1963）</p><p>　　[Titchmarsh 1，第23頁]</p><p>　　初等幾何中最令人稱奇的理論是在大約189

102、9年由F. Morley（他的兒子Christopher寫了許多小說，例如《Thunder on the left》）發(fā)現(xiàn)的。他對(duì)他的朋友們提及了這個(gè)理論，他的朋友們以數(shù)學(xué)八卦的形式將它在全世界范圍內(nèi)散布開來。最終十年之后，M. Satyanarayna發(fā)表了三角證明方法，M. T. Naraniengar發(fā)表了初等證明方法。</p><p><b>　　莫利定理</b></p>

103、<p>　　任意三角形三個(gè)角的相鄰的角三等平分線的三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成了一個(gè)等邊三角形。</p><p>　　換句話說，如圖1.9a，對(duì)于任意三角形，三個(gè)角分別被和，和，和三等分，那么可以得到一個(gè)等邊三角形。（如果我們嘗試直接證明的方法將困難重重，但如果我們反推進(jìn)行將會(huì)變得容易。開始時(shí)先給出一個(gè)等邊三角形，然后再建立一個(gè)一般的三角形，之后可以證明他就是給定的三角形）</p><p>

104、　　在給出的等邊三角形中，在邊、、上分別建立三角形、、；底角、、滿足等式和不等式</p><p><b>　　，，，</b></p><p>　　延長(zhǎng)三個(gè)等腰三角形的兩腰直到它們?cè)邳c(diǎn)、、處相交。因?yàn)?，我們可以立即推斷?jì)算出其它的角度，如圖1.9a所示。例如，三角形在頂點(diǎn)處的角度一定為，因?yàn)樗诤偷慕嵌确謩e為和。</p><p>　　參考1.51

105、，我們知道確定三角形的內(nèi)心的一個(gè)方法是確定它在角的平分線上滿足。</p><p>　　運(yùn)用三角形中點(diǎn)的這一原理，我們發(fā)現(xiàn)直線（它既是等邊三角形的中線，也是等腰三角形的中線）在處平分，的一半等于，并且</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此是三角形的內(nèi)心。同樣，是三角形的內(nèi)心，是三角形的內(nèi)心。所以，角的三個(gè)小角是相等的，

106、角和角處也是同樣地情況。換句話說，三角形的三個(gè)內(nèi)角被三等分了。</p><p>　　點(diǎn)處的三個(gè)小角每個(gè)都等于；類似地，在角、角處也成立。因此</p><p><b>　　，，.</b></p><p>　　通過選擇我們的等腰三角形底角的值，我們可以確保上述過程產(chǎn)生的三角形是給定的三角形。</p><p><b>

107、;　　這就完成了證明。</b></p><p><b>　　結(jié)束語</b></p><p><b>　　小結(jié)</b></p><p>　　通過對(duì)書中三角形部分的翻譯和研究，我們可以更加深切地體會(huì)到歐幾里得的歐式幾何學(xué)的奇妙，還有歐幾里得和他的《幾何原本》不論在幾何學(xué)、論證方法還是作為教材的重大意義和影響。我國(guó)科

108、學(xué)家徐光啟評(píng)論《幾何原本》時(shí)曾說：“此書為益能令學(xué)理者祛其浮氣，練其精心；學(xué)事者資其定法，發(fā)其巧思，故舉世無一人不當(dāng)學(xué)。”其大意是：讀《幾何原本》的好處在于能去掉浮夸之氣，練就精思的習(xí)慣，會(huì)按一定的法則，培養(yǎng)巧妙的思考，所以每個(gè)人都應(yīng)該認(rèn)真學(xué)習(xí)幾何。</p><p>　　本人認(rèn)為最應(yīng)該學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟《幾何原本》的一些思想和方法，例如公理化思想，它的主要精神是從盡可能少的概念出發(fā)，推導(dǎo)出盡可能多的命題，這是形成幾何結(jié)構(gòu)

109、嚴(yán)整性的主要原因。公理的選擇，定義的給出，內(nèi)容的編排，方法的運(yùn)用以及命題的嚴(yán)格證明都需要這種思想的支撐。對(duì)于我所翻譯的這部分關(guān)于三角形的內(nèi)容還有很多值得拓展和深究的內(nèi)容和方法，我們應(yīng)該懷著這種精神不斷超越前人，讓初等幾何的研究之路越走越寬，讓幾何學(xué)更加完善。 參考文獻(xiàn)</p><p>　　鄧鶴年，姜樹民.幾何學(xué)的發(fā)展與初等幾何方法研究[J].松遼學(xué)刊（自然科學(xué)版），2001（1）： 53~55 .</

110、p><p>　　馮德雄.初等幾何問題的類比、引申探究[J].成都大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2008（11），第22卷，124~129.</p><p>　　曾壽清.初等幾何中基本作圖題的作圖方法[J].龍巖師專學(xué)報(bào)，2000，第18卷，124~125.</p><p>　　李迪，羅見今.關(guān)于第一篇羅氏非歐幾何論文[J].內(nèi)蒙古師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1983（2）,59~

111、65.</p><p>　　宋文檀，高玉彪.歐幾里德《幾何原本》評(píng)介[J].榆林高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2002（4）,第12卷，53~54.</p><p>　　張銳梅，翟曼月，李冰.三角形內(nèi)角和定理的演變?cè)跀?shù)學(xué)發(fā)展中的作用[J].高師理科學(xué)刊，2009（2），第29卷，102~107.</p><p>　　梁卷明.三等分角線構(gòu)成的三角形的性質(zhì)[N].中學(xué)數(shù)學(xué)，1997

112、（7）,32~35.</p><p>　　李善明，魏春強(qiáng).歐拉線定理證法集萃[N].內(nèi)江科技，2008（11），40~66.</p><p>　　梁卷明.莫利定理的簡(jiǎn)潔證明[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（月刊），2000（8）.</p><p>　　張珍根.莫利定理的三角證法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，1999年增刊，114.</p><p>　　姜衛(wèi)東.涉及三

113、角形內(nèi)點(diǎn)的一類幾何不等式[J].北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004（4），第18卷，48~50.</p><p>　　劉健.銳角三角形中線與角平分線的幾個(gè)不等式[J].湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008（1），第30卷，29~32.</p><p>　　Alfred Tarski. What is Elementary Geometry [J]. Studies in Logic and t