包含度及其應(yīng)用【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p><b>　　包含度及其應(yīng)用</b></p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí)

2、 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</

3、b></p><p>　　不確定性推理是人工智能中最為活躍的研究領(lǐng)域, 粗糙集作為處理不精確、不確定與不完全數(shù)據(jù)的理論是由波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak于1982年提出的, 該理論是經(jīng)典集合論的又一推廣形式. 由于該理論能夠處理模糊和不確定性信息, 因此, 經(jīng)過20多年的發(fā)展, 粗糙集作為一種有效的知識(shí)獲取工具受到了人工智能研究者的關(guān)注, 并在專家系統(tǒng)、機(jī)器學(xué)習(xí)、模式識(shí)別、決策分析、過程控制和數(shù)據(jù)庫知識(shí)發(fā)現(xiàn)等獲得了

4、成功應(yīng)用. 研究概念之間的包含關(guān)系是不確定性推理研究的一個(gè)重要方向. 包含度是將“包含關(guān)系”度量化, 從而包容了“關(guān)系”的不確定性. 本文, 我們主要研究包含度及其在人工智能不確定表示中的一些應(yīng)用. 首先, 用公理化方法定義了包含度的概念, 給出了一些特殊類型的包含度及基本性質(zhì). 其次, 給出了包含度的不同生成方法. 最后, 給出了包含度在智能信息系統(tǒng)中不確定性度量刻畫中的一些應(yīng)用. 闡述了信息系統(tǒng)中用粗糙集理論導(dǎo)出的很多不確定性度量可

5、以用包含度進(jìn)行解釋.</p><p>　　關(guān)鍵詞: 包含度; 粗糙集; 不確定性; 信息系統(tǒng)</p><p>　　Inclusion degree of its application</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Uncertainty reasoning is one of

6、 most active research fields in artificial intelligence. The theory of rough sets, proposed by Pawlak in 1982, is an extension of classical set theory for the study of intelligent systems characterized by insufficient an

7、d incomplete information. With more than twenty years development, rough set theory has been found to have very successful applications in the fields of artificial intelligence such as expert systems, machine learning, p

8、attern recognition, decision </p><p>　　Keywords: Inclusion degrees; Rough sets; Uncertainty; Information systems</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></

9、p><p>　　Abstract……….II </p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　1.1 粗糙集的由來和發(fā)展1</p><p>　　1.2 論文的組織結(jié)構(gòu)1</p><p>　　2 包含度的基本概念3</p><p>　　3 包含

10、度的生成方法7</p><p>　　3.1 利用模糊關(guān)系的生成方法8</p><p>　　3.2 利用模糊概率的生成方法9</p><p>　　3.3 利用模糊測(cè)度的生成方法10</p><p>　　3.4 利用條件模糊測(cè)度的生成方法11</p><p>　　3.5 利用條件信息的生成方法12&l

11、t;/p><p>　　4 包含度在粗糙集中的應(yīng)用13</p><p>　　4.1 粗糙集的近似精度和粗糙集的隸屬度可表示為包含度14</p><p>　　4.2 近似分類精度和近似分類質(zhì)量可表示為包含度15</p><p>　　4.3 屬性依賴性度量和屬性重要性度量可表示為包含度16</p><p>　　4.

12、4 規(guī)則決策精度和覆蓋度可表示為包含度17</p><p>　　4.5 規(guī)則可信度可表示為包含度18</p><p><b>　　5 小結(jié)18</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)19</b></p><p><b>　　致謝21</b></p>

13、;<p><b>　　1 前言</b></p><p>　　1.1 粗糙集的由來及發(fā)展</p><p>　　粗糙集作為處理不精確、不確定與不完全數(shù)據(jù)的理論是由波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak于1982年提出的, 該理論是經(jīng)典集合論的又一推廣形式. 從20世紀(jì)90年代起, 粗糙集理論逐漸成為信息科學(xué)的一大研究熱點(diǎn), 受到越來越多國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注. 在一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)中

14、, 有許多不確定的來源. 首先, 人們提出的問題常常是不精確的, 不精確的問題導(dǎo)致不精確的結(jié)果; 第二, 獲取的信息不完全, 知識(shí)獲取的過程也是不精確的; 第三, 推理的過程也是不確定的, 不確定性的推理過程導(dǎo)致不確定性的結(jié)論. 隨著人們研究范圍的擴(kuò)大, 研究的系統(tǒng)越來越復(fù)雜, 系統(tǒng)的復(fù)雜性與經(jīng)典數(shù)學(xué)的精確描述越來越不協(xié)調(diào). Zadeh引入的模糊集合, 將經(jīng)典集合模糊化, 使具有分明邊界的集合變?yōu)榫哂胁环置鬟吔绲哪：? 模糊集合理論

15、在復(fù)雜系統(tǒng)中得到了成功的應(yīng)用, 特別是在模糊控制中, 取得了顯著成果. 包含度是將“包含關(guān)系”度量化, 從而包容了“關(guān)系”的不確定性. 由于在復(fù)雜系統(tǒng)中, 不確定性越來越占有主要地位. 不確定性推理的研究方法不斷出現(xiàn), 如概率推理方法、證據(jù)推理方法、模糊推理方法等都屬于不確定性推理方法. 由于推理中的蘊(yùn)涵關(guān)系, </p><p>　　基于上述認(rèn)識(shí), 張文修等于20世紀(jì)90年代初提出了包含度的概念. 經(jīng)過多年的深入

16、研究. 包含度的概念進(jìn)一步明確. 初步建立了包含度理論體系. 在邏輯上與實(shí)踐上都證明了包含度理論是對(duì)已有的各種不確定推理的概括與抽象. 包含度給出了不確定關(guān)系的定量描述. 將確定性關(guān)系的研究推到不確定關(guān)系的研究. 進(jìn)一步擴(kuò)展了關(guān)系的研究范圍. 包含度理論是對(duì)已有的不確定性推理方法. 如概率推理方法. 證據(jù)推理方法與模糊推理方法等的概括. 因而為不確定性推理提供了一個(gè)一般性原理; 同時(shí), 它還便于進(jìn)行信息的合成、 傳播和修正， 特別地在何

17、種關(guān)系數(shù)據(jù)中有著直接的應(yīng)用. 此后， 梁吉業(yè)教授等將包含度理論引入到粗糙集理論的數(shù)據(jù)分析中， 用包含度概念對(duì)粗糙集理論中的基本度量給予了統(tǒng)一的描述， 揭示了它們的本質(zhì). 分析了包含度與粗糙包含之間的關(guān)系， 建立了包含度與粗糙集理論中各種已知度量的關(guān)系. 錢宇華等則研究了完備、非完備以及極大相容塊意義下三類決策表的包含度問題， 并建立了與其協(xié)調(diào)度、模糊度之間的關(guān)系. </p><p>　　此外. 包含度理論的研究為

18、有序結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)理論(如賦范Riesz空間、模糊邏輯等)提供一種定量分析方法. 在人工智能、專家系統(tǒng)和模糊理論等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用. 包含度理論不僅是研究不確定性現(xiàn)象的工具， 而且是研究不確定性的方法學(xué). </p><p>　　1.2 論文的組織結(jié)構(gòu)</p><p>　　本文主要研究了包含度及其應(yīng)用. 包含度給出了不確定關(guān)系的定量描述, 將確定性關(guān)系的研究推到不確定關(guān)系的研究，進(jìn)一步擴(kuò)展了

19、關(guān)系的研究范圍. 本文在粗糙集的基礎(chǔ)上介紹了包含度的基本概念, 包括包含度的定義和性質(zhì)以及它的幾種生成. 同時(shí)也簡(jiǎn)單介紹了包含度在粗糙集中的一些應(yīng)用. </p><p>　　2 包含度的基本概念</p><p>　　在專家系統(tǒng)中有兩類問題: 一是檢索問題, 需要相似度的概念; 一是不確定推理問題, 需要蘊(yùn)含度的概念. 相似度與蘊(yùn)含度的共性即是包含度. 在經(jīng)典邏輯推理中, 要么“蘊(yùn)涵”要么

20、“不蘊(yùn)涵”, 只有真與假兩個(gè)絕對(duì)的概念. 在經(jīng)典邏輯推理基礎(chǔ)上的檢索, 要么“相等”要么“不相等”, 也只有真與假兩個(gè)絕對(duì)的概念. 而在專家系統(tǒng)中. 由于信息的不完全性, 經(jīng)常出現(xiàn)的并不是“蘊(yùn)涵”與“不蘊(yùn)涵”, 而是蘊(yùn)涵的程度. 也不是“相等”與“不相等”, 而是相似的程度. 這樣就產(chǎn)生了包含度理論.</p><p>　　設(shè)是一個(gè)普通集合, 表示中的經(jīng)典集合的全體. 表示中模糊集合的全體.</p>

21、<p>　　定義2.1 設(shè), 對(duì)于任意有數(shù)對(duì)應(yīng), 且滿足</p><p><b>　　(1); </b></p><p>　　(2)對(duì)于任意, 當(dāng)時(shí)有; </p><p>　　(3)對(duì)于, 當(dāng)時(shí)有</p><p><b>　　, </b></p><p><

22、b>　　稱為上的包含度.</b></p><p>　　在定義2.1中, 若滿足定義2.1中的(1)與(3), 且滿足</p><p>　　(2)’對(duì)于任何, 即對(duì)于中的經(jīng)典集合與, 當(dāng)時(shí), . 稱為上的弱包含度.</p><p>　　在定義2.1中, 若對(duì)于任意, , 有, 稱為強(qiáng)包含度.</p><p>　　例2.1 設(shè)

23、是有限集合, , 用表示中元素個(gè)數(shù), 表示與公共元素個(gè)數(shù), 則</p><p>　　. (2.1)</p><p>　　為上的強(qiáng)包含度. 當(dāng)時(shí)記. </p><p>　　定義2.1中的(1)與(2)顯然成立. 當(dāng)時(shí)有</p><p><b>　　, ,</b></

24、p><p>　　于是, , 而時(shí), 于是. 因此(2.1)式是上的包含度. </p><p>　　對(duì)于(2.1)式可以驗(yàn)證: 對(duì)于任意, 時(shí)有</p><p>　　. (2.2)</p><p>　　是一個(gè)模糊測(cè)度. 進(jìn)一步可以證明是概率測(cè)度. </p><p>　

25、　例2.2 設(shè)表示上正則模糊集全體,定義</p><p>　　, (2.3)</p><p>　　, (2.4)</p><p>　　則為強(qiáng)包含度, 而為弱包含度. </p><p><b>　　首先, 易見</b></p>

26、<p><b>　　, .</b></p><p>　　對(duì)于, 時(shí), , 但不一定成立. 比如, 顯然有. 這時(shí)</p><p><b>　　, </b></p><p>　　若存在某, 使, 則有. 如果, 那么</p><p><b>　　, </b></p

27、><p><b>　　其中. 若時(shí), 有</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　則, 易證是強(qiáng)包含度. 又因</p><p><b>　　,</b></p&g

28、t;<p><b>　　,</b></p><p>　　及, 則, 從而, 于是為弱包含度.</p><p>　　由上述方法易證, 用表示上全體正則模糊集，有</p><p><b>　　(2.5)</b></p><p><b>　　則是的包含度. </b>&l

29、t;/p><p>　　定理2.1 設(shè)是上的正則模糊集合的全體. 則由(2.3), (2.4)和(2.5)確定的包含度, 和滿足下列性質(zhì), 對(duì)于任意, 若. 有</p><p><b>　　(2.6)</b></p><p><b>　　(2.7)</b></p><p><b>　　(2.8

30、)</b></p><p><b>　　且也是強(qiáng)包含度.</b></p><p>　　證明 (2.6)和(2.7)式顯然成立. 設(shè).</p><p><b>　　若</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b

31、>　　則</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí), . 于是</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　若, 則</b></p><p>

32、<b>　　, </b></p><p>　　從而(2.8)式成立.綜上可知是強(qiáng)包含度. </p><p>　　定理2.2 對(duì)于任意, 以及都是上的條件模糊測(cè)度. </p><p>　　證明 由(2.3)和(2.5)易證</p><p><b>　　, </b></p><

33、p><b>　　. </b></p><p>　　再由(2.6)式及(2.8)式即證及為上的條件模糊測(cè)度.</p><p>　　一般來說, 包含度未必形成一個(gè)條件模糊測(cè)度.</p><p>　　例2.3 為上的經(jīng)典集合的全體, 設(shè)為上的概率測(cè)度, 在上定義為</p><p><b>　　(2.9)&l

34、t;/b></p><p>　　則為上的包含度, 但未必是條件模糊測(cè)度. </p><p>　　首先易見, 時(shí), . 現(xiàn)假定, 則, 于是</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　若, </b></p><p><b>　　.<

35、;/b></p><p>　　若, 顯然, 從而(2.4)式定義的為上的包含度. 但是(2.9)式定義的未必是條件模糊測(cè)度. 例如取</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p>

36、<p><b>　　.</b></p><p>　　在上定義概率, 其中表示中元素個(gè)數(shù). 于是, 且, , </p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p&

37、gt;<p>　　不成立, 從而不是條件模糊測(cè)度. </p><p>　　定義2.2 稱是一個(gè)偏序集, 若上的關(guān)系“”滿足以下條件</p><p>　　(1)自反性: ; </p><p>　　(2)對(duì)稱性: 時(shí); </p><p>　　(3)傳遞性: 時(shí). </p><p>　　顯然, 和是偏序集.

38、 同樣也是偏序集.</p><p>　　包含度的定義可以從或上擴(kuò)展到更加一般的偏序集上.</p><p>　　定義2.3 設(shè)是偏序集, , 如果對(duì)任意, 有數(shù)對(duì)應(yīng)且滿足 </p><p><b>　　(1);</b></p><p><b>　　(2)時(shí);</b></p><p

39、><b>　　(3)時(shí). .</b></p><p>　　那么稱為上的包含度. </p><p>　　例2.4 設(shè), “”是上的普通的序關(guān)系, 即意味著. 記</p><p>　　則是上的包含度. 同樣地, 有</p><p>　　也是上的包含度. 定義2.3的包含度比定義2.1要廣泛得多. </p>

40、<p>　　包含度的概念實(shí)際上是在半序關(guān)系上給出一種度量. 不僅承認(rèn)時(shí), 而且對(duì)于不成立時(shí), 給出“”的程度. 因此, 它比半序關(guān)系有著更重要的應(yīng)用.</p><p>　　3 包含度的生成方法</p><p>　　包含度有各種生成方法, 每種方法生成的不同的包含度就提供了不同的不確定推理.</p><p>　　3.1 利用模糊關(guān)系的生成方法</

41、p><p>　　為了給出模糊關(guān)系的一般運(yùn)算, 首先給出三角模與反三角模的概念.</p><p>　　定義3.1 在上定義二元函數(shù):</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　若它滿足以下條件</b></p><p><b>　　(1); &

42、lt;/b></p><p><b>　　(2); </b></p><p><b>　　(3); </b></p><p><b>　　(4). </b></p><p>　　則稱為三角模. 若修改(1)為為反三角模, 記為. 若和滿足</p><p

43、><b>　　, </b></p><p><b>　　則稱和是對(duì)偶的. </b></p><p>　　下面的模和模都是對(duì)偶的</p><p>　　, ; </p><p>　　, ; </p><p><b>　　設(shè)為三角模, 記&

44、lt;/b></p><p>　　, , (3.1)</p><p><b>　　于是得到 </b></p><p><b>　　, , .</b></p><p>　　定理3.1 由(3.1)式確定的運(yùn)算具有以下性質(zhì)</p><p>

45、;<b>　　(1)當(dāng)時(shí), ;</b></p><p><b>　　(2); </b></p><p><b>　　(3); </b></p><p><b>　　(4); </b></p><p><b>　　(5).</b><

46、;/p><p>　　證明 (1) .當(dāng)時(shí). . 即證(1).</p><p>　　(2), (3)直接由(3.1)得證.</p><p>　　(4)由(3.1)式存在, 使, 且. 于是</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　(4)得證. </b>

47、</p><p>　　(5)由(3.1)式直接證明.</p><p>　　定理3.2 設(shè)是上的三角模. 為(2.10)式確定的運(yùn)算, 則</p><p><b>　　(3.2)</b></p><p>　　是上的包含度, 且具有以下性質(zhì) </p><p><b>　　(1)若則; &l

48、t;/b></p><p><b>　　(2); </b></p><p><b>　　(3). </b></p><p>　　證明 由定理2.3的(1)和(3)即證為包含度. 性質(zhì)(1), (2), (3)由定理2.3的(2), (4), (5)即證.</p><p>　　3.2 利用模

49、糊概率的生成方法</p><p>　　設(shè)為上的三角模. 為與模對(duì)偶的反三角模. 對(duì)于上的模糊集, 有</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　稱為并, 為交.</b></p><p>

50、　　對(duì)于有限集, 為上的概率測(cè)度, 記</p><p>　　. (3.3)</p><p>　　則為模糊概率. 模糊概率滿足</p><p>　　. (3.4)</p><p><b>　　因此是模糊測(cè)度.</b></p>

51、<p>　　定理3.3 設(shè)為上的概率測(cè)度, 為上的(強(qiáng))包含度, 則</p><p><b>　　(3.5)</b></p><p>　　為上的(強(qiáng))包含度.</p><p>　　證明 由于, 則. </p><p>　　若, 則, 于是, 故</p><p><b>　

52、　若，則, ,從而</b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　即證(3.5)式確定的為上的包含度. </p><p>　　例3.1 設(shè), 定義, 為上的三角模, 則</p><p><b>　　(3.6)</b></p><p>　　

53、為上的強(qiáng)包含度. 特別對(duì)有</p><p>　　. (3.7)</p><p><b>　　對(duì)于有</b></p><p>　　. (3.8)</p><p>　　3.3 利用模糊測(cè)度的生成方法</p><p>　　由于等

54、價(jià)于, 因此可以用的測(cè)度作為包含度.</p><p>　　定理 3.3 設(shè)為上的模糊測(cè)度, 為反三角模, 則</p><p><b>　　(3.9)</b></p><p><b>　　為上的弱包含度.</b></p><p>　　證明 由模糊測(cè)度性質(zhì), 知, 且對(duì)經(jīng)典集合和, 當(dāng)時(shí), ,

55、于是. 若, 則, 由反三角模的單調(diào)不減性及模糊測(cè)度的單調(diào)性有</p><p><b>　　, </b></p><p>　　于是(3.9)式確定的為弱包含度.</p><p>　　3.4 利用條件模糊測(cè)度的生成方法</p><p>　　定理3.4 若為(或)上的模糊測(cè)度, 則</p><p>

56、;<b>　　(3.10)</b></p><p><b>　　為強(qiáng)包含度.</b></p><p>　　證明 由于, 則, 當(dāng)時(shí), , 于是. 若, 則</p><p><b>　　. </b></p><p>　　于是(3.10)式確定為強(qiáng)包含度. </p>

57、<p>　　3.5 條件模糊測(cè)度的生成方法</p><p>　　一個(gè)集合或者模糊集合可以看作是一個(gè)命題的外延. 外延越大的命題信息越少, 信息量越少. 如果是一個(gè)模糊測(cè)度, 外延補(bǔ)集或可以看作信息, 而或可以看作信息量. 由于當(dāng)且僅當(dāng), 含于的程度可以看作的信息含于的信息的程度.</p><p>　　定理 3.5 若是上的模糊測(cè)度, 則</p><p&g

58、t;<b>　　(3.11)</b></p><p><b>　　為強(qiáng)包含度.</b></p><p>　　證明 首先由模糊測(cè)的單調(diào)性易證.又因時(shí), 則, 于是. 若, 則, 于是</p><p><b>　　, </b></p><p>　　由(3.11)式確定的為強(qiáng)包含度

59、.</p><p>　　4 包含度在粗糙集中的應(yīng)用</p><p>　　4.1 粗糙集的近似精度與粗糙隸屬度可表示為包含度</p><p>　　是一個(gè)信息系統(tǒng), 其中為對(duì)象的非空有限集合, 為屬性的非空有限集合. 不可區(qū)分關(guān)系是上的等價(jià)關(guān)系, 記為, 也可記為. </p><p>　　令, . 關(guān)于的上下近似定義分別為</p>

60、<p><b>　　, </b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　設(shè)是一個(gè)信息系統(tǒng), , 關(guān)于的近似精度定義為</p><p>　　, . (4.1)</p><p><b>　　易證</b&g

61、t;</p><p><b>　　. </b></p><p>　　元素關(guān)于集合上的粗糙隸屬度定義為</p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　易證</b></p><p><b>　　.</b><

62、/p><p>　　因此和就是包含度. </p><p>　　近似分類精度和近似分類質(zhì)量可表示為包含度</p><p>　　設(shè)是一個(gè)信息系統(tǒng), . 是上的一個(gè)分類或劃分. 這一分類獨(dú)立于屬性. 是分類上的一個(gè)子集, 中的劃分關(guān)于上下近似定義為</p><p><b>　　, </b></p><p>&

63、lt;b>　　. </b></p><p><b>　　數(shù)</b></p><p><b>　　(4.2)</b></p><p>　　稱為關(guān)于的近似精度或近似分類精度. 數(shù)</p><p><b>　　(4.3)</b></p><p&

64、gt;　　稱為關(guān)于的近似質(zhì)量或近似分類質(zhì)量. </p><p>　　設(shè)是上的一個(gè)分類或劃分</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　, .</b></p><p>　　在上定義偏序關(guān)系如下 </p><p><b>　　當(dāng)且僅當(dāng). <

65、;/b></p><p><b>　　對(duì)任意, 有 </b></p><p>　　. (4.4)</p><p>　　易證, 是上的包含度. 因?yàn)? </p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　. &l

66、t;/b></p><p>　　所以和可表示為包含度. </p><p>　　4.3 屬性依賴性度量與屬性重要性度量可表示為包含度 </p><p>　　定義4.1 設(shè)是一個(gè)決策表, , . 其中為條件屬性集. 是決策屬性集. 設(shè). 和之間的依賴性測(cè)度定義為</p><p>　　.

67、(4.5)</p><p><b>　　其中. </b></p><p>　　定理4.1 設(shè)表示上的所有劃分, 對(duì)于,</p><p>　　. 定義當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意存在, 使得,</p><p><b>　　對(duì)任意有</b></p><p>　　,

68、 (4.6)</p><p><b>　　則是上的包含度.</b></p><p>　　證明 顯然, , </p><p>　　令,, 有, 存在的一個(gè)劃分, 使得, </p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.<

69、;/b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　令,,,</b></p><p>　　有, 存在的一個(gè)劃分. 使得,</p><p><b>　　.</b>

70、</p><p>　　, 由, 得. 有, , 得. 因此 </p><p>　　. (4.7)</p><p><b>　　由此可證, . </b></p><p><b>　　令, , 對(duì)任意</b></p><p><b&g

71、t;　　有</b></p><p>　　. (4.8)</p><p>　　事實(shí)上, 對(duì), , , 存在, 使得, , 即</p><p><b>　　. </b></p><p>　　可得. 因此是上的包含度. </p><p>　　4.4

72、規(guī)則決策精度和覆蓋度可表示為包含度</p><p>　　設(shè)和為有限全集上的相關(guān)子集. 是測(cè)量集合關(guān)于集合分類的相關(guān)度. 由定義</p><p><b>　　(4.9)</b></p><p>　　得, 即可歸為包含度. 注意若. 則當(dāng)且僅當(dāng). </p><p>　　因此, 可變精度的粗糙模可用包含度表示. </p&

73、gt;<p>　　設(shè). 是上的等價(jià)關(guān)系, 集合上的的下近似逼近可定義為</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　則在集合的上界為</b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　在集合的下界為上界的補(bǔ)集, 即&l

74、t;/p><p><b>　　.</b></p><p>　　4.5 規(guī)則可信度可表示為包含度</p><p>　　設(shè)是和上的決策表. 其中是集合的條件屬性. 是集合的決策屬性. 和分別表示上的等價(jià)關(guān)系的一個(gè)劃分, 令</p><p><b>　　，</b></p><p>&l

75、t;b>　　. </b></p><p>　　表示上的決策規(guī)則. 其中和是和上的唯一描述. 集合的決策規(guī)則對(duì)任意都可定義為</p><p><b>　　. </b></p><p>　　如果, 那么決策規(guī)則為確定的, 否則不確定. 決策規(guī)則的精度和覆蓋度可分別表示為</p><p>　　, .

76、 (4.10)</p><p>　　, 必然度的測(cè)量可以簡(jiǎn)單表示為, . 這表示和可表示為包含度. </p><p><b>　　5 小結(jié)</b></p><p>　　包含度理論包含過去已有的理論和成果. 它包容了不確定性推理的所有結(jié)果, 包含度理論不僅是研究不確定性現(xiàn)象的工具. 而且是研究不確定性的方法學(xué). 本文首先正是在各種不同

77、的不確定性推理方法的抽象與概括基礎(chǔ)上. 引進(jìn)了體現(xiàn)它們共同點(diǎn)特性的包含度的概念以及包含度的一些性質(zhì), 并通過實(shí)例加以驗(yàn)證. 其次給出了包含度的生成方法, 其中主要強(qiáng)調(diào)了利用模糊關(guān)系、模糊概率、模糊測(cè)度、條件模糊測(cè)度和條件信息的生成方法. 最后指出了包含度在粗糙集中的一些應(yīng)用. 通過一些證明得出粗糙集中的一些度量很多都可以用包含度來表示的結(jié)論. </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b>

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