創(chuàng)意平板折疊桌設(shè)計的數(shù)學(xué)模型

1、<p>　　創(chuàng)意平板折疊桌設(shè)計的數(shù)學(xué)模型</p><p>　　[摘 要]針對客戶對創(chuàng)意平板折疊桌高度、形狀的不同要求，并且在保證折疊桌穩(wěn)固性好、加工方便和用材最省的條件下，運用最小二乘的非線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，確定創(chuàng)意折疊桌的加工參數(shù)。 </p><p>　　[關(guān)鍵詞]創(chuàng)意平板折疊桌 優(yōu)化設(shè)計 最小二乘的非線性規(guī)劃 lingo軟件 MATLAB </p><p&

2、gt;　　中圖分類號：TP391.7 文獻標識碼：A 文章編號：1009-914X（2015）34-0139-02 </p><p>　　引言：建立一個關(guān)于x軸和y軸（在桌面上建立坐標軸）對稱的桌面邊緣曲線和由兩個空間曲面相交而成一般的桌腳邊緣線的基于最小二乘的非線性規(guī)劃的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。 </p><p><b>　　1 理論分析 </b></p>&l

3、t;p>　　假如客戶對折疊桌的要求是圓形，則根據(jù)圓的性質(zhì)運用空間幾何坐標即可求解參數(shù)；非圓形的折疊桌更一般化。對于非圓形的桌子，就存在木條究竟是順著桌面長的方向還是順著寬的方向是一個選擇題，我們下面按照木條順著桌面寬的方向來建模和設(shè)計折疊桌。 </p><p>　　設(shè)所設(shè)計的折疊桌高為，桌面直徑（即桌面最長）為，設(shè)。設(shè)桌面曲線為一封閉連續(xù)光滑曲線，并能以某一條直徑為y軸，在桌面底部該直徑中點處為原點建立的x

4、y平面上，假設(shè)在這個坐標系上桌面邊緣曲線可表示為兩條單值曲線和，并設(shè)，。以垂直向下的射線為軸，使組成右手螺旋的空間直角坐標系，刻度單位為1cm。這樣就得以建立空間直角坐標系。這里還是只考慮長方形面板材料，設(shè)其長為（待確定的變量），寬為，厚度為，必須滿足。由于我們的折疊桌是木條順著寬的方向設(shè)計，從用材最省和加工方便看，取是最合適的。設(shè)，，則長方形面板材料的長應(yīng)滿足。 </p><p>　　設(shè)制作折疊桌的長方形木條的

5、寬度為，且滿足成立或近似成立，其中為正整數(shù)，表示y軸上方和下方的木條數(shù)，也是y軸上方和下方的桌腿數(shù)。 </p><p>　　設(shè)y軸上方根木條桌腳線的數(shù)學(xué)方程是由兩個已知曲面和和相交而成的；y軸下方根木條桌腳線的數(shù)學(xué)方程是由兩個已知曲面和和相交而成的。 </p><p>　　設(shè)第條腿的長度為。因鋼筋仍然固定在每組桌腿最外側(cè)的兩條上，只是位置待確定，設(shè)鋼筋固定在第1根（最外側(cè)）桌腿離腿腳的距離

6、為（待確定的變量），固定在第根（最外側(cè)）桌腿離腿腳的距離為（待確定的變量），固定在第根（最外側(cè)）桌腿離腿腳的距離為（待確定的變量），固定在第根（最外側(cè)）桌腿離腿腳的距離為（待確定的變量），這也是每條腿上開出的空槽的上端位置。設(shè)第條腿的空槽長度為（待確定的變量，實際上可由和表示）。顯然，，，且。設(shè)第1根（最外側(cè)）桌腿與桌面的夾角為，第根（最外側(cè)）桌腿與桌面的夾角為，第根（最外側(cè)）桌腿與桌面的夾角為，第根（最外側(cè)）桌腿與桌面的夾角為， ，，

7、再假定桌面是水平的，桌面高為，所以滿足。 </p><p>　　從產(chǎn)品設(shè)計的要求來看，還是如問題2要考慮加工方便或加工容易就要求總的空槽長度盡量小，但是空槽太短，可能就會使得桌角傾斜較大，即太小，穩(wěn)固性差。而穩(wěn)固性好，就是要使折疊桌穩(wěn)定牢靠，一方面要使折疊桌在安裝好的最后位置的鋼筋剛好在每個空槽的下端位置，而沒有再向下滑動的空間，另一方面也是使折疊桌的承重腿，即使四條最外側(cè)桌腿盡可能縱向垂直，即盡量靠近，或盡量大

8、而接近于1，即盡量小，，其中由長方形平板的長度和桌腳線等確定。越靠近，可能就要求空槽較長，就使得、和都要大。最后材料省就是盡量小.因此最后的模型就是在一定的約束下最小化的加權(quán)和。設(shè)它們的非負權(quán)系數(shù)分別為。但是由于桌面高度、桌面邊緣線和桌腳邊緣線的任意性，可能會出現(xiàn)沒有滿足所有約束條件的可行解，所以最后可能只能求近似解，如目標規(guī)劃或者最小二乘法求解。 </p><p><b>　　2 數(shù)學(xué)建模過程 <

9、;/b></p><p>　　為了簡化計算，下面還是對一個關(guān)于y軸對稱的桌面邊緣線來建模，即，由于對稱性，我們下面也只計算前條桌腿的一組。此外，即使桌面不是關(guān)于x軸對稱，為計算方便，也假定鋼筋固定在同一組兩條最外側(cè)桌腿離桌腳的距離相同，即。如果桌面關(guān)于x軸不對稱，折疊過程和折疊后的鋼筋都是斜的，計算復(fù)雜，時間來不及，所以這里還是假定桌面曲線關(guān)于x軸也對稱，因此，而且，。 </p><p&

10、gt;　　首先計算前條桌腿的長度，還是與問題1類似，假定寬度為的長方形木條其中點位置剛好由鉸鏈連接在桌面邊沿對應(yīng)點的位置上，于是：， </p><p>　　其次，計算每條桌腿與桌面連接處的坐標 </p><p>　　顯然，。而當(dāng)時，。 </p><p>　　第三，計算在折疊桌鋪平成平板時，鋼筋穿過每條桌腿的位置到該桌腿鉸鏈處的距離。也就是折疊桌的第條腿空槽的上端位置

11、。 </p><p>　　第四，計算折疊桌的第條腿空槽的下端位置，即折疊桌成型后的鋼筋位置。 </p><p>　　解直角三角形和相似三角形可求得鋼筋固定在和處的z坐標，。因都在連接和的線段上，因此對所有的，。 </p><p>　　由假設(shè)連接鉸鏈的桌腿只能沿著鉸鏈旋轉(zhuǎn)，不發(fā)生側(cè)移，因此的x坐標保持不變，與的x坐標相同，即。解直角三角形和相似三角形可得知。由對稱性很

12、容易知鋼筋的另一端點也有，因此鋼筋所在的直線平行于x軸及xz平面，則。 </p><p>　　于是和問題1類似，桌腳的參數(shù)方程為： </p><p>　　由于有很多個點，而桌腳線實際上是兩個曲面方程組成的方程組，只有兩個未知數(shù)和，因此每個點代入桌腳邊緣線方程就能求出一組和，因此最合適的方法是用最小二乘法的非線性規(guī)劃模型求出最優(yōu)和，這也就能達到盡可能接近客戶所期望的形狀的目的。因此在給定適當(dāng)

13、的正權(quán)系數(shù)下，數(shù)學(xué)模型為： </p><p><b>　　3 計算實例： </b></p><p>　　桌面取橢圓，桌面曲線方程為，。桌腳邊緣線取方程：，.，即；。桌面高取為，于是，因此長方形平板材料的寬就是，厚度為，則，仍然取，因此 </p><p>　　對應(yīng)的橢圓軌道的求解加工參數(shù)，最優(yōu)權(quán)重為200 </p><p>

14、;　　則最優(yōu)加工參數(shù)下得到的各桌腿鏈條槽對應(yīng)的長度如表所示 </p><p><b>　　4 結(jié)束語 </b></p><p>　　對于此模型適當(dāng)做參數(shù)修改，可以使模型對于最優(yōu)方案的參數(shù)設(shè)計更為精確；模型也可用于對其他家具、機械制造的最優(yōu)策略設(shè)計與選擇，提高產(chǎn)品質(zhì)量，贏得市場占有率。 </p><p><b>　　5 參考文獻 <

15、;/b></p><p>　　[1] 張欣琦.論家具動態(tài)設(shè)計之折疊結(jié)構(gòu)類型，2014.9.13。 </p><p>　　[2] 孫洪.可展開折疊網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)極限承載力的可靠性研究，2014.9.12。 </p><p>　　[3] 銀小剛.基于層次分析法和隸屬度的可靠性評定簡述. </p><p>　　[4] 姜啟源.《 數(shù)學(xué)模型》.高等教