用含參變量的方法解決奇異矩陣的幾個問題

1、<p><b>　　前言</b></p><p>　　在線性方程組的討論中我們看到，線性方程組的一些重要性質(zhì)反應(yīng)在它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質(zhì)上，并且解方程組的過程也表現(xiàn)為變換這些矩陣的過程。除線性方程組之外，還有大量的各種各樣的問題需要矩陣的相關(guān)理論，并且這些問題的研究常常歸結(jié)為有關(guān)矩陣的某些方面的研究，甚至有些性質(zhì)完全不同的、表面上完全沒有聯(lián)系的問題，歸結(jié)為矩陣問題以后卻是相同

2、的，這使矩陣成為數(shù)學(xué)中一個極其重要的應(yīng)用廣泛的概念，因而也就使矩陣成為代數(shù)特別是線性代數(shù)的一個主要研究對象。</p><p>　　矩陣理論既是學(xué)習(xí)經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，又是一門很有實用價值的數(shù)學(xué)理論。它不僅是數(shù)學(xué)的一個重要的分支，而且業(yè)已成為現(xiàn)代各科技領(lǐng)域處理大量有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系的強有力的工具。特別是隨著計算機的廣泛應(yīng)用，為矩陣理論的應(yīng)用開辟了廣闊的前景。例如，系統(tǒng)工程、優(yōu)化方法以及穩(wěn)定性理論等，都與矩陣論有著

3、密切的聯(lián)系。</p><p>　　在矩陣研究中，我們常?？梢杂龅较旅鎯煞N矩陣：奇異矩陣和非奇異矩陣。奇異矩陣指的是一個方陣（行數(shù)和列數(shù)相等），它的行列式等于0；非奇異矩陣指的是一個方陣，它的行列式不等于0。于是就引出了對這兩種矩陣的研究，在對非奇異矩陣的研究中，我們引入了很多方法，因為它的可逆性，使得研究非奇異矩陣變得簡單起來；在研究奇異矩陣的時候，我們可以引入初等變換和用引入?yún)⒆兞康木仃嚨确椒▉斫鉀Q奇異矩陣問題

4、。本文就是主要介紹用含參變量的方法解決奇異矩陣得有關(guān)問題。</p><p><b>　　1．預(yù)備知識</b></p><p>　　1.1 矩陣加減法[1]</p><p>　　1.1.1 矩陣加法</p><p><b>　　設(shè)</b></p><p><b>　　

5、是兩個矩陣，則矩陣</b></p><p>　　1.1.2 矩陣減法</p><p><b>　　設(shè)</b></p><p><b>　　是兩個矩陣，則有</b></p><p>　　我們稱為的負矩陣，所以</p><p><b>　　1.2 矩陣乘法&

6、lt;/b></p><p>　　1.2.1 矩陣與矩陣相乘</p><p><b>　　設(shè)</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　那么矩陣</b></p><p><b>　　其中</b>

7、;</p><p><b>　　稱為與的乘積，記為</b></p><p>　　1.2.2 數(shù)量與矩陣相乘</p><p><b>　　設(shè)</b></p><p><b>　　為一數(shù)量</b></p><p>　　則

8、 </p><p>　　1.3 矩陣與坐標變換</p><p>　　在解析幾何中考慮坐標變換時，如果只考慮坐標系的轉(zhuǎn)軸（反時針方向轉(zhuǎn)軸），那么平面直角坐標變換的公式為 </p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中為軸與軸的夾角。顯然，新舊坐標之間的關(guān)系，完全可以通過公式中系數(shù)所排成的

9、22矩陣</p><p><b>　　（2）</b></p><p>　　表示出來。通常，矩陣（2）稱為坐標變換（1）的矩陣。在空間的情形，保持原點不動的仿射坐標系的變換有公式</p><p><b>　　（3） </b></p><p><b>　　同樣，矩陣</b><

10、;/p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　就稱為坐標變換（3）的矩陣。</p><p>　　1.4 二次曲線與矩陣</p><p>　　二次曲線的一般方程為</p><p>　　（5） （5）的左端可以用表</p><p>　　來表示，其中每一個數(shù)就是它

11、所在的行和列所對應(yīng)的,或1的乘積的系數(shù)，而（5）的左端就是按這樣的約定所形成的項的和。換句話說，只要規(guī)定了, ,1次序。二次方程（5）的左端就可以簡單地用矩陣</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　來表示。通常，（6）稱為二次曲線（5）的矩陣。以后我們會看到，這種表示法不只是形式的。事實上，矩陣（6）的行列式就是解析幾何中二次曲線的不變量，這

12、表明了矩陣（6）的性質(zhì)確實反映了它所表示的二次曲線的性質(zhì)。</p><p>　　1.5 國民經(jīng)濟的數(shù)學(xué)問題與矩陣</p><p>　　在討論國民經(jīng)濟的數(shù)學(xué)問題中也常常用到矩陣。例如，假設(shè)在某一地區(qū)，某一種物資，比如說煤，有s個產(chǎn)地和n個銷地，那么一個調(diào)運方案就可用一個矩陣</p><p>　　來表示，其中表示由產(chǎn)地運到銷地的數(shù)量。</p><p&

13、gt;　　1.6 n維向量與矩陣[2]</p><p>　　n維向量也可以看成矩陣的特殊情形。n維行向量就是1n矩陣，n維列向量就是n1矩陣。</p><p>　　以后我們用大寫的拉丁字母或者</p><p><b>　　來表示矩陣。</b></p><p>　　有時候，為了指明所討論的矩陣的級數(shù)，可以把sn矩陣寫成 ,

14、 ,…,或者</p><p>　　(注意矩陣的符號與行列式的符號的區(qū)別)。</p><p>　　設(shè)，如果，,且，對，都成立，我們就說。即只有完全一樣的矩陣才叫做相等。</p><p>　　1.7 矩陣的奇異性與其伴隨矩陣的奇異性的關(guān)系</p><p>　　定理1.7.1 矩陣的奇異性與其伴隨矩陣的奇異性是一致的</p>&l

15、t;p>　　引理1.7.1 若、為同階非奇異矩陣，、分別為、的伴隨矩陣，則：</p><p><b>　　①；②。</b></p><p>　　證明 ①(證明略)</p><p>　　②因為、為同階非奇異矩陣，所以，所以為非奇異矩陣，即因此</p><p>　　引理1.7.2 矩陣為非奇異矩陣，則的伴隨矩陣也

16、為非奇異矩陣，則：。</p><p>　　證明 因為為非奇異矩陣，由（1）可得：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以為非奇異矩陣，且。</p><p><b>　　由，得</b></p><p><b>　　。</b>&l

17、t;/p><p>　　利用此結(jié)論可以簡化有關(guān)伴隨矩陣的計算，</p><p>　　例1 設(shè)，其伴隨矩陣為，則由得</p><p>　　引理1.7.3 矩陣為奇異矩陣，則：的伴隨矩陣也為奇異矩陣。</p><p>　　證明 因為A為奇異矩陣，所以。由得。</p><p><b>　　當(dāng)時，，因此；</

18、b></p><p>　　當(dāng)時，假設(shè)，則為非奇異矩陣，因此</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　這與矛盾，所以。</b></p><p>　　由結(jié)論（2）、（3）可得矩陣和其伴隨矩陣的奇異性是相同的。</p><p>　　2 奇異矩陣的定

19、義與相關(guān)性質(zhì)</p><p>　　2.1 奇異矩陣的定義與研究意義</p><p>　　2.1.1 奇異矩陣的定義</p><p>　　首先，看這個矩陣是不是方陣（即行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。若行數(shù)和列數(shù)不相等，那就談不上奇異矩陣和非奇異矩陣）。 然后，再看此方陣的行列式是否等于0，若等于0，稱矩陣為奇異矩陣；若不等于0，稱矩陣為非奇異矩陣。</p>&l

20、t;p>　　2.1.2 奇異矩陣的研究意義</p><p>　　在矩陣研究中，除了有很多矩陣是非奇異的以外，還有很多矩陣是奇異的，不可逆的，奇異矩陣有很多性質(zhì)是很重要的，在實際應(yīng)用中有很重要的作用，比如奇異矩陣的非奇異化等。我們不光要研究非奇異矩陣，還要研究奇異矩陣，這樣才對矩陣有較全面的研究。</p><p>　　2.2 與奇異矩陣相關(guān)的性質(zhì)與證明[3]</p>&l

21、t;p>　　2.2.1 可逆矩陣與非奇異矩陣</p><p>　　由可知矩陣可逆，可以得出一個重要結(jié)論:可逆矩陣就是非奇異矩陣，非奇異矩陣也是可逆矩陣。</p><p>　　2.2.2 矩陣的伴隨矩陣</p><p><b>　　設(shè)是矩陣</b></p><p>　　中元素的代數(shù)余子式，矩陣</p>

22、<p><b>　　稱為的伴隨矩陣</b></p><p>　　由行列式按一行（列）展開的公式立即得出：</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　如果,那么由（1）得</p><p

23、><b>　?。?）</b></p><p>　　2.2.3 矩陣可逆的充分必要條件</p><p>　　矩陣是可逆的充分必要條件是是非奇異的，而</p><p>　　證明 當(dāng)，由(2)可知，可逆，且</p><p><b>　　（3）</b></p><p>　　反

24、過來，如果A可逆，那么有使</p><p><b>　　兩邊取行列式，得</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　因而，即非奇異</b></p><p>　　根據(jù)⑶容易看出，對于n階方陣，，如果</p><p>　

25、　那么，就都是可逆的并且他們互為逆矩陣。</p><p>　　上面不但給出了一矩陣可逆的條件，同時也給出了求逆矩陣的公式（3）。按這個公式來求逆矩陣，計算量一半是非常大的。</p><p>　　由（4）可以看出，如果，那么</p><p>　　2.2.4 矩陣可逆與矩陣轉(zhuǎn)置</p><p>　　如果矩陣，可逆，那么與也可逆，且</p&g

26、t;<p>　　證明 由定理即得出前半部證明，現(xiàn)在來證明后半部。由</p><p><b>　　兩邊取轉(zhuǎn)置，有</b></p><p><b>　　因之</b></p><p><b>　　由</b></p><p><b>　　即得</b>

27、;</p><p>　　2.2.5 矩陣的轉(zhuǎn)置</p><p><b>　　設(shè)則</b></p><p>　　顯然，矩陣的轉(zhuǎn)置是矩陣</p><p><b>　　所以有</b></p><p>　　3 用含參變量的方法研究奇異矩陣的有關(guān)性質(zhì)</p><p&

28、gt;　　3.1 關(guān)于等式的證明[4]</p><p><b>　　例1 設(shè)，，求和</b></p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　由題設(shè)可知，</b></p><p><b>　　，，</b></p><

29、;p><b>　　則，</b></p><p><b>　　可得</b></p><p><b>　　例2 設(shè)，，求和</b></p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　由題設(shè)可知，</b></

30、p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　則，</b></p><p><b>　　可得</b></p><p><b>　　例3 設(shè)，，求和</b></p><p><b>　　解：</b>

31、;</p><p><b>　　由題設(shè)可知，</b></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　則，</b></p><p><b>　　可得</b></p><p>　　由上面例題可知，對于和都是奇異矩

32、陣，都是非奇異矩陣，一個是奇異矩陣一個是非奇異矩陣都成立，于是我們可以引入下面的定理的證明：</p><p>　　定理3.1.1 若、均為方陣，則，其中、、分別為，，的伴隨矩陣</p><p>　　證明 （1）在時有</p><p>　　即等式對于非奇異矩陣，成立。</p><p><b>　　（2）在時</b>&l

33、t;/p><p><b>　　令，</b></p><p>　　先證明存在實數(shù)使當(dāng)時</p><p>　　事實上因有n個根，,,,</p><p><b>　　取</b></p><p><b>　　則當(dāng)時，</b></p><p>

34、　　從而可知，當(dāng)時可逆；</p><p><b>　　同理，令，</b></p><p><b>　　當(dāng)時，可逆</b></p><p><b>　　取</b></p><p><b>　　當(dāng)時</b></p><p><b&

35、gt;　　，均可逆</b></p><p>　　所以當(dāng)時，由（1）知</p><p><b>　　兩邊取極限，得</b></p><p><b>　　可得</b></p><p>　　3.2 關(guān)于與的特征多項式</p><p>　　對于矩陣乘法來說，一般來說，那么

36、與的特征多項式又是否相同呢？于是我們引出下面的定理。</p><p>　　定理3.2.1 設(shè)、都是n階矩陣，則與的特征多項式相同</p><p>　　證法一 設(shè)秩，故存在可逆矩陣、</p><p><b>　　使</b></p><p><b>　　從而</b></p><p

37、><b>　　將分塊為則</b></p><p><b>　　= = </b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　又</b></p><p><b>　　所以</b></p>&

38、lt;p><b>　　故</b></p><p>　　證法二 在、中至少有一個非奇異時，不妨設(shè)，則</p><p><b>　　當(dāng)時，由上面的證明</b></p><p><b>　　當(dāng)時</b></p><p><b>　　或</b></p

39、><p>　　于是當(dāng)時矩陣非奇異，從而，與有相同的特征多項式，得</p><p>　　上式左端是關(guān)于，的多項式，從而在時仍成立</p><p><b>　　故</b></p><p>　　比較證法一和證法二，證法二將分為奇異和非奇異兩種情況，先證明非奇異時命題成立，后用奇異矩陣的非奇異化處理方法，證明奇異時命題也成立，其思路

40、清晰，易于掌握，相比下證法一就麻煩得多，且往往不易記住其證明步驟。</p><p>　　在一些線性代數(shù)的證明題里用這種方法證明也比其他方法證明要簡捷，并且還可以把一些結(jié)論進行推廣。</p><p>　　例題4 若、、、為n階矩陣，且 ，則</p><p><b>　　證明 因為</b></p><p><b

41、>　　所以</b></p><p><b>　　又因為，所以，從而</b></p><p>　　例題一的條件可以削弱，去掉這個條件時結(jié)論也成立，其證明如下：</p><p>　　當(dāng)時上面已證明結(jié)論成立</p><p><b>　　當(dāng)時</b></p><p>

42、;<b>　　令</b></p><p><b>　　令，</b></p><p>　　先證明存在實數(shù)使當(dāng)時</p><p>　　事實上因有幾個根，，，，</p><p><b>　　取</b></p><p><b>　　則當(dāng)時，</b

43、></p><p><b>　　從而可知</b></p><p><b>　　可逆</b></p><p>　　又由于故由上面的證明有</p><p><b>　　上式兩端取極限即得</b></p><p><b>　　即</b&g

44、t;</p><p>　　3.3 其它應(yīng)用舉例[5]</p><p>　　例題5 證明只與自身相似的矩陣必是純量矩陣</p><p>　　證明 設(shè)是純量矩陣， (是純量)則對任何非奇異矩陣，有</p><p><b>　　即只與自身相似</b></p><p>　　反過來，若只與自身相似，即對

45、任何非奇異矩陣，有，即，故與任何非奇異矩陣可交換。</p><p>　　其次證明與任何奇異矩陣也可交換。</p><p>　　設(shè)是奇異矩陣，因只有有限個根，故有純量使，即是非奇異矩陣，由上面所證，它與可交換。</p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　由于 從上式推出</b&

46、gt;</p><p>　　于是與任何矩陣都可交換</p><p>　　再證明 (與任何矩陣都可交換)是純量矩陣</p><p><b>　　設(shè) </b></p><p>　　令是一位于第行第列的元素為1，其余元素均為零的n階方陣</p><p><b>　　由已知可交換，有</

47、b></p><p><b>　　得</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　再由 得</b></p><p>　　一般地取

48、，則由得，第列上的元素除外全為零，即，第行上的元素除外全是零，即當(dāng)取 ，便知滿足</p><p><b>　　故</b></p><p>　　例題6 設(shè)是n階冪零矩陣，求</p><p>　　解 因是冪零矩陣，故可令</p><p><b>　　其中，，</b></p><

49、p><b>　　于是</b></p><p><b>　　其中 </b></p><p><b>　　因而 所以</b></p><p>　　例題6可以推廣為如下命題</p><p>　　命題3.1 設(shè)、是數(shù)域上的兩個n階方陣，且，又存在一正整數(shù)，使，則<

50、;/p><p>　　證明 當(dāng)是可逆矩陣時，有</p><p>　　又因存在一正整數(shù)，使且故即是冪零矩陣，所以由例題3知</p><p><b>　　因此 </b></p><p>　　又當(dāng)不是可逆矩陣時，可作n階可逆矩陣，因為只有有限個根，故存在數(shù)域中的，使當(dāng)時，有由可得，因而當(dāng)時，由上面證明有</p>

51、<p><b>　　即 </b></p><p>　　上式左端是一個的多項式，有無限多個值使上式成立，因而它是關(guān)于的一個零多項式，從而在時仍成立</p><p><b>　　故</b></p><p>　　4 奇異矩陣的其它應(yīng)用</p><p><b>　　4.1　相關(guān)概念&l

52、t;/b></p><p>　　定義4.1.1 令是數(shù)域上一個n階矩陣,若是存在上n階矩陣,使得 (這里表示n階單位矩陣),那么叫做一個可逆矩陣,而叫做的逆矩陣,記為。</p><p>　　定義4.1.2 在某些較高階矩陣的計算中,經(jīng)常將矩陣按要求劃分成若干小塊,每個小塊看成矩陣的新元素,新元素組成的矩陣稱為分塊矩陣。</p><p>　　定義4.1.3

53、 主對角線下方元素全為零的方陣稱為上三角陣;主對角線上方元素全為零的方陣稱為下三角陣,上下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣。</p><p>　　定義4.1.4 設(shè)為方陣,如果有,則稱為正交矩陣。</p><p>　　4.2 對角占優(yōu)矩陣奇異性的研究</p><p>　　下面總是用表示n階復(fù)方陣全體。</p><p>　　引理4.2.1 （Hada

54、mard定理）嚴格對角占優(yōu)矩陣非奇異</p><p>　　引理4.2.2 設(shè)，，則對于矩陣</p><p><b>　　其中</b></p><p>　　則有相同的奇異性。如為對角占優(yōu)矩陣，則仍為對角占優(yōu)矩陣，且在嚴格對角占優(yōu)的行，在中相應(yīng)行仍為嚴格對角占優(yōu)行。</p><p>　　引理4.2.3 設(shè)為對角占優(yōu)矩陣，