直接證明與間接證明-2019年領(lǐng)軍高考數(shù)學(xué)（理）---精校解析word版

1、<p>　　考點(diǎn)38 直接證明與間接證明</p><p>　　1．用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，首先應(yīng)該做出與命題結(jié)論相反的假設(shè)，否定“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為 ( )</p><p>　　A． 自然數(shù)都是奇數(shù) B． 自然數(shù)都是偶數(shù)</p><p>　　C． 自然數(shù)至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) D． 自然數(shù)

2、至少有兩個(gè)偶數(shù)</p><p><b>　　【答案】C</b></p><p>　　【解析】命題的否定是命題本題反面的所有情況，所以“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定是“自然數(shù)至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)”，選C.</p><p>　　2．用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程有有理根，那么，，中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)中正確的是（ ）．

3、</p><p>　　A． 假設(shè)，，都是偶數(shù)</p><p>　　B． 假設(shè)，，都不是偶數(shù)</p><p>　　C． 假設(shè)，，至多有一個(gè)是偶數(shù)</p><p>　　D． 假設(shè)，，至多有兩個(gè)是偶數(shù)</p><p><b>　　【答案】B</b></p><p>　　3．用反證

4、法證明命題“等腰三角形的底角必是銳角”,下列假設(shè)正確的是（ ）</p><p>　　A． 等腰三角形的頂角不是銳角 B． 等腰三角形的底角為直角</p><p>　　C． 等腰三角形的底角為鈍角 D． 等腰三角形的底角為直角或鈍角</p><p><b>　　【答案】D</b></p><p>　　【解析】

5、分析：反證法的假設(shè)需要寫(xiě)出命題的反面，結(jié)合題意寫(xiě)出所給命題的反面即可.</p><p>　　詳解：反證法的假設(shè)需要寫(xiě)出命題的反面.</p><p>　　“底角必是銳角”的反面是“底角不是銳角”，即底角為直角或鈍角.</p><p><b>　　本題選擇D選項(xiàng).</b></p><p>　　4．用反證法證明命題“若都是正數(shù)

6、，則三數(shù)中至少有一個(gè)不小于2”，提出的假設(shè)是（ ）</p><p>　　A． 不全是正數(shù) B． 至少有一個(gè)小于2</p><p>　　C． 都是負(fù)數(shù) D． 都小于2</p><p><b>　　【答案】D</b></p><p>　　5．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于”時(shí)，假設(shè)正確的是

7、（ ）</p><p>　　A． 假設(shè)三內(nèi)角都不大于 B． 假設(shè)三內(nèi)角都大于</p><p>　　C． 假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于 D． 假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于</p><p><b>　　【答案】B</b></p><p>　　【解析】根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定，“至少有一個(gè)”的否定：“

8、一個(gè)也沒(méi)有”；即“三內(nèi)角都大于60度”.</p><p><b>　　故選B.</b></p><p>　　6．①已知，是實(shí)數(shù)，若，則且，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)且；②設(shè)為實(shí)數(shù)，，求證與中至少有一個(gè)不小于，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)，且.則</p><p>　　A． ①的假設(shè)正確，②的假設(shè)錯(cuò)誤 B． ①的假設(shè)錯(cuò)誤，②的假設(shè)正確</p>

9、;<p>　　C． ①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤 D． ①與②的假設(shè)都正確</p><p><b>　　【答案】B</b></p><p>　　7．用反證法證明“三角形中至少有兩個(gè)銳角”，下列假設(shè)正確的是（ ）</p><p>　　A． 三角形中至多有兩個(gè)銳角 B． 三角形中至多只有一個(gè)銳角</p&

10、gt;<p>　　C． 三角形中三個(gè)角都是銳角 D． 三角形中沒(méi)有一個(gè)角是銳角</p><p><b>　　【答案】B</b></p><p>　　【解析】用反證法證明“一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)銳角”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)“一個(gè)三角形中最多有一個(gè)銳角”.</p><p><b>　　故選：B.</b></p&

11、gt;<p>　　8．用反證法證明命題“已知為整數(shù)，若不是偶數(shù)，則都不是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)中正確的是（ ）</p><p>　　A． 假設(shè)都是偶數(shù) B． 假設(shè)中至多有一個(gè)偶數(shù)</p><p>　　C． 假設(shè)都不是奇數(shù) D． 假設(shè)中至少有一個(gè)偶數(shù)</p><p><b>　　【答案】D</b></p>&

12、lt;p>　　【解析】由于“都不是”的否定是“不都是”，即“至少有一個(gè)”，所以應(yīng)該假設(shè)中至少有一個(gè)偶數(shù)，故選D.</p><p>　　9．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，，用反證法證明：</p><p>　　中至少有一個(gè)小于0．下列假設(shè)正確的是 （ ）</p><p>　　A． 假設(shè)至多有一個(gè)小于0</p><p>　　B． 假設(shè)中至多有兩個(gè)大于0

13、</p><p><b>　　C． 假設(shè)都大于0</b></p><p>　　D． 假設(shè)都是非負(fù)數(shù)</p><p><b>　　【答案】D</b></p><p>　　【解析】由于命題“若a，b，c，d中至少有一個(gè)小于0”的反面是“a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)”，故用反證法證明時(shí)假設(shè)應(yīng)為“a，b，c，d

14、都是非負(fù)數(shù)”．</p><p><b>　　故選D．</b></p><p>　　10．對(duì)于命題：，若用反證法證明該命題，下列假設(shè)正確的是（ ）．</p><p>　　A． 假設(shè)，都不為0 B． 假設(shè)，至少有一個(gè)不為0</p><p>　　C． 假設(shè)，都為0 D． 假設(shè)，中至多有一個(gè)為0</p>

15、<p><b>　　【答案】A</b></p><p>　　11．用反證法證明“已知，求證：.”時(shí)，應(yīng)假設(shè)( )</p><p>　　A． B． C． 且 D． 或 </p><p><b>　　【答案】D</b></p><p>　　【解析】根據(jù)反證法證明

16、數(shù)學(xué)命題的方法，</p><p>　　應(yīng)先假設(shè)要證命題的否定成立，</p><p>　　而的否定為“不都為零”，故選D.</p><p>　　12．用反證法證明命題“已知為非零實(shí)數(shù)，且，，求證中至少有兩個(gè)為正數(shù)”時(shí)，要做的假設(shè)是（ ）</p><p>　　A． 中至少有兩個(gè)為負(fù)數(shù) B． 中至多有一個(gè)為負(fù)數(shù)</p>&

17、lt;p>　　C． 中至多有兩個(gè)為正數(shù) D． 中至多有兩個(gè)為負(fù)數(shù)</p><p><b>　　【答案】A</b></p><p>　　【解析】用反證法證明某命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，</p><p>　　而：“中至少有二個(gè)為正數(shù)”的否定為：“中至少有二個(gè)為負(fù)數(shù)”．</p><p><b>　　

18、故選A．</b></p><p><b>　　13．設(shè)函數(shù)，.</b></p><p>　　(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性；</p><p>　　(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：</p><p>　　【答案】(1) 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.</p><

19、;p><b>　　(2)證明見(jiàn)解析.</b></p><p>　　14．若無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足：是正實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則稱(chēng)是“-數(shù)列”.已知數(shù)列是“-數(shù)列”.</p><p>　　（Ⅰ）若，寫(xiě)出的所有可能值；</p><p>　?。á颍┳C明：是等差數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)單調(diào)遞減；</p><p>　　（Ⅲ）若存在正整數(shù)，對(duì)任意正整數(shù)，都

20、有，證明：是數(shù)列的最大項(xiàng).</p><p>　　【答案】（1）-2，0，2，8.（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析</p><p>　　15．已知集合是集合 的一個(gè)含有個(gè)元素的子集.</p><p><b>　?。á瘢┊?dāng)時(shí),</b></p><p><b>　　設(shè)</b></p><p&g

21、t;　　（i）寫(xiě)出方程的解；</p><p>　?。╥i）若方程至少有三組不同的解,寫(xiě)出的所有可能取值.</p><p>　?。á颍┳C明:對(duì)任意一個(gè),存在正整數(shù)使得方程 至少有三組不同的解.</p><p>　　【答案】（Ⅰ）（）,（）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.</p><p>　　假設(shè)不存在滿(mǎn)足條件的,則這個(gè)數(shù)中至多兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè)、

22、兩個(gè),從而</p><p><b>　　又</b></p><p>　　這與矛盾,所以結(jié)論成立.</p><p>　　16．（1）（用綜合法證明）</p><p>　　已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且A、B、C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，證明：△ABC為等邊三角形。</p>&

23、lt;p>　?。?）（用分析法證明）</p><p>　　設(shè)a，b，c為一個(gè)三角形的三邊，s＝(a＋b＋c)，且s2＝2ab，試證：s<2a.</p><p>　　【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.</p><p>　?。?）要證s<2a，由于s2＝2ab，所以只需證s<，即證b<s. </p><p>　　因

24、為s＝ (a＋b＋c)，所以只需證2b<a＋b＋c，即證b<a＋c. </p><p>　　由于a，b，c為一個(gè)三角形的三條邊，所以上式成立．于是原命題成立．</p><p><b>　　【點(diǎn)睛】</b></p><p>　　所謂綜合法，是指“由因?qū)Ч钡乃季S方法，即從已知條件出發(fā)，不斷地展開(kāi)思考，去探索結(jié)論的方法．</p&

25、gt;<p>　　所謂分析法，是指“執(zhí)果索因”的思維方法，即從結(jié)論出發(fā)，不斷地去尋找需知，直至達(dá)到已知事實(shí)為止的方法．</p><p>　　應(yīng)用分析法證題時(shí)，語(yǔ)氣總是假定的，通常的語(yǔ)氣有：“若要證明A，則先證明B；若要證明B，則先證明C，……”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，必先C成立，……”。</p><p>　　17．已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a，b，c，三邊互不相等

26、且滿(mǎn)足b2＜ac</p><p>　　(1)比較與的大小，并證明你的結(jié)論；</p><p>　　(2)求證：B不可能是鈍角．</p><p>　　【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.</p><p>　　學(xué)們的解題能力大有裨益．</p><p>　　一、反證法的基本內(nèi)容</p><p>　　1．

27、步驟：①假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立（反設(shè)）；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾（歸謬）；③由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論成立（結(jié)論）．</p><p>　　其中推出矛盾主要有下列情形：①與已知條件矛盾；②與公理、定理、定義及性質(zhì)矛盾；③與假設(shè)矛盾；④推出自相矛盾的結(jié)論．</p><p>　　2．宜用反證法證明的題型：①易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；②否定性命題；③惟

28、一性命題；④至少至多型命題；⑤一些基本定理；⑥必然性命題等．</p><p>　　18．在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中， 且. </p><p>　?。á瘢┊?dāng)時(shí)，求的值；</p><p>　?。á颍┣笞C：當(dāng)時(shí)，.</p><p>　　【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析.</p><p>　　只需證 ，只需證 .</p&

29、gt;<p><b>　　只需證 ， </b></p><p><b>　　只需證 ， </b></p><p><b>　　根據(jù)均值定理，</b></p><p><b>　　所以原命題成立. </b></p><p>　　19．（1）證

30、明：當(dāng)時(shí)，；</p><p>　　（2）已知，且，求證：與中至少有一個(gè)小于2．</p><p>　　【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.</p><p><b>　　20．（Ⅰ）求證：</b></p><p>　　（Ⅱ）已知，且，求證：和中至少有一個(gè)小于2.</p><p>　　【答案】（

31、Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析.</p><p>　　21．若均為實(shí)數(shù)，且，， ， </p><p>　　，求證：中至少有一個(gè)大于.</p><p>　　【答案】證明見(jiàn)解析.</p><p>　　【解析】證明：設(shè)都不大于，即</p><p><b>　　又</b></p><p&g

32、t;<b>　　,,,</b></p><p><b>　　與矛盾.</b></p><p>　　假設(shè)錯(cuò)誤，原命題正確，即中至少有一個(gè)大于.</p><p>　　22．設(shè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，非零實(shí)數(shù)是與的等差中項(xiàng).</p><p><b>　　求證：.</b><

33、;/p><p><b>　　【答案】見(jiàn)解析</b></p><p>　　點(diǎn)睛：所謂綜合法，是指“由因?qū)Ч钡乃季S方法，即從已知條件出發(fā)，不斷地展開(kāi)思考，去探索結(jié)論的方法．</p><p>　　所謂分析法，是指“執(zhí)果索因”的思維方法，即從結(jié)論出發(fā)，不斷地去尋找需知，直至達(dá)到已知事實(shí)為止的方法．</p><p>　　應(yīng)用分析法證

34、題時(shí)，語(yǔ)氣總是假定的，通常的語(yǔ)氣有：“若要證明A，則先證明B；</p><p>　　若要證明B，則先證明C，……”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，</p><p>　　必先C成立，……”。</p><p>　　23．（1）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且證明： ；</p><p>　?。?）已知結(jié)論：在直角三角形中，若兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊

35、長(zhǎng)為 ，則斜邊上的高 .若把</p><p>　　該結(jié)論推廣到空間：在側(cè)棱互相垂直的四面體中，若三個(gè)側(cè)面的面積分別為，底面面積為，則該四面體的高與之間的關(guān)系是什么？（用表示）</p><p>　　【答案】(1)證明見(jiàn)解析.</p><p><b>　　(2).</b></p><p><b>　　面，顯然成立，

36、故</b></p><p>　　（2）解：記該四面體的三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為，</p><p><b>　　不妨設(shè)，</b></p><p><b>　　由，</b></p><p><b>　　得，</b></p><p><b>　　

37、于是</b></p><p><b>　　即.</b></p><p><b>　　24．求證：</b></p><p><b>　?。?）；</b></p><p><b>　?。?）．</b></p><p>　　【

38、答案】(1)見(jiàn)解析.</p><p><b>　　(2)見(jiàn)解析.</b></p><p><b>　　只要證，</b></p><p><b>　　只要證，</b></p><p><b>　　顯然成立，</b></p><p>&