數(shù)學(xué)論文-一類遞推數(shù)列的單調(diào)性與極限

1、<p>　　一類遞推數(shù)列的單調(diào)性與極限</p><p>　?。ㄐ⒏袑W(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 湖北 孝感 432000）</p><p>　　摘 要: 本文討論了一類遞推數(shù)列的單調(diào)性與收斂性問題,同時(shí)也推廣與包含了近期一些文獻(xiàn)中的結(jié)果.</p><p>　　關(guān)鍵詞： 遞推數(shù)列；單調(diào)性；不動(dòng)點(diǎn)；收斂 </p><p>　　The L

2、imits and Monotonicity of a Recursive Sequence</p><p>　　XIA Yu-cheng</p><p>　　(Department of Mathematics and Statistics,Xiaogan university,Xiaogan,Hubei 432000,China)</p><p>　　Abstr

3、act: In this paper, the results on the monotonicity and convergence of the recursive sequence in some resent documents are given, and then, the results are generalized.</p><p>　　Key words: recursive sequenc

4、e ; monotonicity; fixed point; convergence.</p><p><b>　　1 引言及定義</b></p><p>　　在近期的一些文獻(xiàn)中,討論了形如</p><p><b>　?。ǎ?lt;/b></p><p>　　的遞推數(shù)列的極限問題[1-7],這類數(shù)列的極

5、限問題經(jīng)常出現(xiàn)在研究生入學(xué)試題與大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中,在高等數(shù)學(xué)中占有重要的地位.</p><p>　　研究結(jié)果表明,這類遞推數(shù)列極限的存在性與求法往往與它的迭代函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián),該遞推數(shù)列的迭代函數(shù)為</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　注意到</b></p><p&g

6、t;　　不變號(hào),它啟發(fā)我們從迭代函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)的不變號(hào)兩方面考慮這類問題.</p><p>　　本文將給出聯(lián)系迭代函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)的幾個(gè)實(shí)用命題,把現(xiàn)行文獻(xiàn)[1-7]中的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行拓廣,通過這些命題使我們可以統(tǒng)一處理有關(guān)例子,揭示這類試題的背景與思想方法. </p><p>　　定義1　對(duì)于函數(shù),若存在實(shí)數(shù),使,則稱為的不動(dòng)點(diǎn).</p><p>　　定義

7、 2　對(duì)于函數(shù),若數(shù)列滿足,,,則數(shù)列稱為遞推數(shù)列,稱為數(shù)列的迭代函數(shù),稱為初始值.</p><p><b>　　2　命題與證明</b></p><p>　　命題1 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在上可導(dǎo),且,,</p><p>　　.設(shè),則遞推數(shù)列（）收斂.</p><p>　　證明 只需證明數(shù)列單調(diào)有界,可用歸納法證之.<

8、/p><p>　　1ο當(dāng)時(shí),由于,,因此</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　又,所以</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　而,故有</b></p>

9、<p><b>　　,</b></p><p><b>　　從而結(jié)論成立.</b></p><p>　　2ο假設(shè)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立,即</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí),由于,則有</b></p>

10、<p><b>　　,</b></p><p><b>　　即得</b></p><p><b>　　,也即,</b></p><p>　　從而當(dāng)時(shí),結(jié)論成立.</p><p><b>　　故命題1得證.</b></p><

11、p>　　命題2 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在上可導(dǎo),且,,</p><p>　　.設(shè),則遞推數(shù)列（,）收斂.</p><p>　　證明 類似于命題1,可以證明數(shù)列單調(diào)遞減并且有界,即</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而數(shù)列收斂.</b></p>&l

12、t;p>　　注:在命題1,命題2的條件下,若還滿足“在上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)”條件,易知數(shù)列必收斂于該不動(dòng)點(diǎn).</p><p>　　事實(shí)上,在滿足所給條件的情況下,由數(shù)學(xué)分析[8]中的確界原理及上確界的定義,對(duì)于命題1中的數(shù)列,必為其上確界.任給,按上確界的定義,存在數(shù)列中的某一項(xiàng),使得.又由的遞增性,當(dāng)時(shí)有.另一方面,由于是的一個(gè)上界,故對(duì)一切都有.所以當(dāng)時(shí)有,從而.</p><p>　

13、　這為命題1,2的應(yīng)用提供了方便.</p><p>　　命題3 設(shè)在區(qū)間上可導(dǎo),,且對(duì)任意的,有.則由,確定的兩個(gè)子列與分別是單調(diào)的,而且具有相反的單調(diào)性.</p><p>　　證明　如果,則由,得</p><p><b>　　,即,</b></p><p><b>　　于是又有</b></

14、p><p><b>　　,,</b></p><p>　　用歸納法可得奇數(shù)項(xiàng)子列單調(diào)增加,而偶數(shù)項(xiàng)子列單調(diào)減少;</p><p>　　如果,同理可得子列單調(diào)減少,而偶數(shù)項(xiàng)子列單調(diào)增加.</p><p>　　推論 [1]　對(duì)于遞推數(shù)列</p><p><b>　?。?）,</b>&

15、lt;/p><p>　　如果全為正數(shù)時(shí),那么數(shù)列收斂,且收斂于,其中</p><p><b>　　,</b></p><p>　　這里是方程的一個(gè)正根.</p><p>　　證明　由于迭代函數(shù)的導(dǎo)數(shù).</p><p><b>　　下面討論之:</b></p><

16、;p><b>　?。?）若,則.</b></p><p>　　當(dāng)時(shí),由于是函數(shù)唯一的一個(gè)正的不動(dòng)點(diǎn),</p><p>　　因而,于是是常數(shù)列,故;</p><p>　　當(dāng)與時(shí),分別在區(qū)間與上應(yīng)用命題1與命題2,得數(shù)列收斂于不動(dòng)點(diǎn);</p><p><b>　?。?）若,則.</b></p

17、><p><b>　　當(dāng)時(shí),</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　注意到注意到,由</b></p><p><b>　　,即,</b></p><p><b>　　進(jìn)一步有</b&

18、gt;</p><p><b>　　,即,…,</b></p><p>　　易用數(shù)學(xué)歸納法證明:</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　因而</b></p><p><b>　　,</b></p&

19、gt;<p><b>　　即</b></p><p><b>　　,,</b></p><p>　　即與有界,故均收斂.</p><p><b>　　且由</b></p><p>　　分別考慮為奇,偶數(shù)對(duì)此式取極限,得</p><p>&l

20、t;b>　　,,</b></p><p>　　這里是方程的一個(gè)正根;</p><p><b>　　當(dāng)時(shí),類似可證;</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí),有為常數(shù)列.</b></p><p><b>　　故.</b></p><p>

21、;　?。?）若,此時(shí)為常數(shù)列,結(jié)論也成立.</p><p><b>　　綜上可知結(jié)論成立.</b></p><p><b>　　3 相關(guān)應(yīng)用</b></p><p>　　下面我們給出以上命題的一些應(yīng)用.</p><p>　　例1[1-3] 設(shè),（）,求證:數(shù)列收斂,并求其極限.</p>

22、;<p>　　解 數(shù)列的迭代函數(shù)</p><p><b>　　,,,</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　,即,</b></p><p>　　故數(shù)列在區(qū)間上滿足命題1的條件,于是數(shù)列收斂.</p><p

23、>　　又在上有唯一的不動(dòng)點(diǎn),于是</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例 2[9] 已知函數(shù)，且存在，使.設(shè), ,，,其中,證明:</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　證明 由數(shù)列的迭代函數(shù)得</p><p><

24、b>　　,</b></p><p>　　從而在區(qū)間上，由命題1的結(jié)論得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　在區(qū)間上，由命題2的結(jié)論得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　于是有</b&

25、gt;</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　證畢．</b></p><p>　　例3 已知數(shù)列滿足，，，.猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.</p><p>　　解　與分別單調(diào)，但不具有單調(diào)性．下面證明之．</p><p>　　因?yàn)閿?shù)列的迭代

26、函數(shù)為，從而其導(dǎo)函數(shù)</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　又由計(jì)算得</b></p><p><b>　　,,,,</b></p><p><b>　　顯然有</b></p><p><b>

27、;　　,</b></p><p>　　從而根據(jù)命題3的結(jié)論知,由確定的數(shù)列的子列為單調(diào)遞增數(shù)列,為單調(diào)遞減數(shù)列，而不具有單調(diào)性.</p><p>　　例4[4] 設(shè),,,（）,求證:.</p><p><b>　　證明　設(shè)（）,則</b></p><p><b>　　,</b><

28、/p><p><b>　　仿推論有</b></p><p><b>　　,,,</b></p><p>　　即與有界,故均收斂.</p><p><b>　　設(shè)</b></p><p><b>　　,,,</b></p>

29、<p><b>　　又</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　亦由推論得</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　故</b></p>&

30、lt;p><b>　　.</b></p><p>　　最后我們指出,應(yīng)用本文的三個(gè)命題及推論,可以較為簡單的解決文獻(xiàn)[1,2,3,6]中所有例子與結(jié)果,以及文獻(xiàn)[4,5,7]中大部分結(jié)果.</p><p><b>　　[參考文獻(xiàn)]</b></p><p>　　[1] 孫志峰.關(guān)于一類遞推數(shù)列極限的求法的注解[J].高

31、等數(shù)學(xué)研究,2007,10（5）:45-46. </p><p>　　[2] 張乾,陳之兵.一類遞推數(shù)列極限的求法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2006,9（5）:30-31.</p><p>　　[3] 胡付高,蔡運(yùn)舫.一道極限題的多種解法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2004,7（5）:33-36.</p><p>　　[4] 余國林,魏本成.關(guān)于上,下極限的一個(gè)新定理[J].

32、大學(xué)數(shù)學(xué),2007,23（5）:163-166. </p><p>　　[5] 潘杰,蘇化明.一類數(shù)列極限的矩陣解法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2007,10（4）:102-105.</p><p>　　[6] 潘杰,蘇化明.一道極限題的解法及應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究,2003,6（3）:20-23.</p><p>　　[7] 蘇化明,黃有度.一類數(shù)列極限的收斂速度[J

33、].高等數(shù)學(xué)研究,2004,7（5）:20-22.</p><p>　　[8] 華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2001,6第三版:5,6,35.</p><p>　　[9] 王四容,胡付高.用高數(shù)觀點(diǎn)看2006年全國高考理科數(shù)學(xué)(陜西卷)22題[J].數(shù)學(xué)通訊, 2007,15:41-42.</p><p><b>　　致